Matemática elementar/Funções

Origem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.
Ir para: navegação, pesquisa

Uma função é uma relação especial, que é definida da seguinte maneira: sejam dois conjuntos A e B, tais que para todo elemento x pertencente a A, haja uma correspondência de um elemento y pertencente a B. Essa correspondência é a função: a associação, definida de algum modo, entre todos os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto.

A função que associa um elemento x a outro valor pode ser indicada por f(x). O aparecimento de x na simbologia da função não ocorre por acaso, uma vez que o valor f(x) depende de x. Por isso mesmo, x é chamada variável independente e f(x) (ou y) é chamada de variável dependente. Matematicamente a função é definida:

, ou mais simplificadamente,

Um exemplo de função: dado o conjunto dos números naturais, uma função pode associar cada número ao seu quadrado. Assim, essa função assumiria os valores: { 1,4,9,16,... }.

Uma função pode, na verdade, associar mais de um conjunto a outro; podem haver diversas variáveis independentes. Por exemplo: uma função pode tomar dois valores inteiros e expressar sua soma:

No entanto, neste livro será dada mais atenção às funções de uma variável, apenas. São duas características da função enquanto relação:

  • correspondência unívoca entre um elemento e o valor associado a ele pela função: isso significa que para cada valor assumido pela variável independente (x), há um único valor da variável dependente (y) associado pela função. Consequentemente, se t = f(x) e w = f(x), então t = w.
  • a correspondência é total, ou seja, um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente.

A tabela a seguir mostra dois exemplos de relações que não são funções:

Naofuncao1.png Naofuncao2.png
Nesse caso, um mesmo elemento (3) do domínio X aparece associado a dois elementos do contradomínio Y (c,d). Aqui a correspondência não é total: falta um valor associado a 1.

Já o diagrama a seguir representa uma função:

Funcao venn.png

Duas funções f(x) e g(x) são ditas iguais (f = g) se e somente se para cada valor de x no domínio D, f(x) e g(x) assumam o mesmo valor:

OBS.: uma função é uma relação, por isso não possui grau. Quem possui grau são os polinômios associados a função. Dessa maneira é um equívoco pensar em "função de 1° ou 2° graus".

Introdução[editar | editar código-fonte]

Relações que estabeleçam dependência entre os elementos de dois conjuntos são denominadas funções.

Um exemplo clássico de função é a do salário de vendedores que ganham por comissão:

Existe um valor fixo que o vendedor ganha mesmo se não conseguir vender nada naquele mês e uma comissão, que depende da quantidade de vendas que o vendedor realizou. Por exemplo:

Gráfico salário X vendas
Vendas Comissão por venda Valor Fixo Salário
0 55 300 300
1 55 300 355
2 55 300 410
... ... ... ...

Da tabela acima podemos construir uma relação entre as vendas e o salário do vendedor:

E com isso, construímos um gráfico que relaciona vendas a salário, onde verifica-se que:

  • O salário depende das vendas.
  • O salário é uma função das vendas.

Definição[editar | editar código-fonte]

Ao aplicar uma função em um dado conjunto , cada elemento deste deverá ter como correspondente um elemento em um dado conjunto .

Ao conjunto denomina-se domínio da função, sendo seus elementos denominados abscissas, e ao conjunto denomina-se contra-domínio, sendo seus elementos denominados ordenadas ou imagens, quando estas se correlacionarem a um elemento de .


Ou seja:

Dados dois conjuntos e não vazios, dizemos que a relação f de em será função se, e somente se,

.

(Para qualquer x pertencente a D existe um y pertencente a C tal que o par ordenado (x,y) pertence à função f)

Obs: Para cada , deve haver apenas um

Representações[editar | editar código-fonte]

Existem várias maneiras de se representar funções.

Abaixo você pode ver as três mais comumente utilizadas, sendo a primeira a predominante.

As representações abaixo são de uma função em relação a seu domínio e contra-domínio.

Há também as representações por sua fórmula algébrica em relação a sua imagem, como a seguir:

Condições de existência[editar | editar código-fonte]

As condições básicas de existência são:

  1. Todo e qualquer elemento do domínio deve possuir uma única imagem no contra-Domínio.
  2. Caso a equação algébrica da função contenha uma fração, seu denominador deve ser diferente a 0 (zero).
  3. Caso a equação algébrica da função possua uma raíz de índice par, para que seu resultado pertença aos Reais, o radicando deve ser maior ou igual a 0 (zero).
    1. Caso essa mesma raíz esteja no denominador de uma fração, o radicando deve ser estritamente maior que 0 (zero).
    2. Caso o índice dessa raíz seja um número ímpar, a única restrição é que o radicando seja diferente de 0 (zero).

Com isso, cada função deverá ter suas restrições particulares, mas sempre obedecendo as gerais acima. Algumas regras não são aplicáveis a funções com contradomínio Complexo.

Nomenclaturas[editar | editar código-fonte]

Abaixo você confere o que significa cada nome utilizado ao se falar sobre funções:

Domínio, contradomínio e imagem[editar | editar código-fonte]

Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contra-domínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto A do exemplo dado no início deste capítulo: contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o conjunto B do exemplo é o contradomínio: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.

Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.

Por exemplo, suponha a função que associa um elemento do domínio D = { 1,2,3,4,5 } a uma vogal ordenada no alfabeto.

O domínio, já especificado, é
O contradomínio é
A imagem é

Gráfico Cartesiano[editar | editar código-fonte]

Abscissa 
Todo e qualquer elemento do domínio.
Ordenada 
Todo e qualquer elemento do conjunto imagem.
Gráfico em Plano Cartesiano da função 
Representação de todos os pontos que compõem uma função através de dois eixos perpendiculares.

Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras[editar | editar código-fonte]

Funções Pares e Ímpares[editar | editar código-fonte]

  • Uma função é denominada par quando , para todo (domínio de f).
  • Uma função é denominada ímpar quando , para todo .

Propriedades das funções[editar | editar código-fonte]

Continuidade[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita contínua sobre um intervalo dado, , se possui um valor definido para todos os números contidos nesse intervalo. Por exemplo, a função:

, definida para o contradomínio , não é contínua no intervalo , uma vez que não está definida para x < 0.

Crescimento e decrescimento[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita crescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), .

Paridade[editar | editar código-fonte]

A paridade de uma função é uma propriedade relacionada a simetria da mesma, e portanto só pode ser definida para funções cujo domínio é simétrico (veja a definição de conjunto simétrico). Sendo um elemento pertencente a um conjunto simétrico , uma função é dita:

  • par, se para todo , ; ou seja, o valor da função é definido apenas de acordo com o módulo da variável independente;
  • ímpar, se para todo , ;
  • sem paridade, se não corresponder a nenhum dos dois casos anteriores.
Função 5x2 + 120 Função x3
Exemplo de função par: -5x2 + 120. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = f(-x); por exemplo:
f(2) = -5*(22) + 120 = -5*4 + 120 = 100,
f(-2) = -5*(-22) + 120 = -5*4 + 120 = 100
f(2) = f(-2)
Exemplo de função ímpar: x3. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = -f(-x); por exemplo:
f(2) = 23 = 8
f(-2) = -23 = -8
f(2) = -f(-2)

Funções polinomiais de primeiro e segundo graus[editar | editar código-fonte]

Existem dois tipos especiais de funções a respeito das quais cabe fazer comentários aqui. Uma função é dita polinomial do primeiro grau ou afim quando pode ser expressa na forma:

Função polinomial de primeiro grau, definida por .

A função polinomial do primeiro grau sempre toma no gráfico a forma de pontos colineares. Se o domínio da função for o conjunto R, tem-se uma reta.

O valor da constante , na função e que tem domínio igual a , é chamado coeficiente angular da reta que define a função. Ele pode ser obtido a partir da relação entre quaisquer dois pontos da reta (ou valores associados da variável independente e dependente), conforme a equação:

Para o caso específico da constante ser igual a zero, a função é chamada função linear.

Função polinomial do segundo grau:
.

Já a função do segundo grau toma a forma:

Graficamente, a função do segundo grau é sempre uma parábola, cuja concavidade depende unicamente do sinal da constante a. Se a for negativo, a parábola tem o vértice voltado "para cima"; se a for positivo, a parábola tem o vértice voltado "para baixo". (Considerando a representação usual do plano cartesiano.)

Operações sobre funções[editar | editar código-fonte]

Soma, produto e quociente[editar | editar código-fonte]

Composição de funções[editar | editar código-fonte]

O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula matemática". Funções descrevem relações matemáticas entre dois objetos, e . O objeto é chamado o argumento da função , e o objeto , que depende de , é chamado imagem de pela .

Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento um único valor da função . Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula ou regra de associação, um gráfico, ou uma simples tabela de correspondência...

Alguns tipos de funções[editar | editar código-fonte]

Propriedades fundamentais, gráficos, máximos, mínimos, equações e inequações envolvendo estas funções.

  1. Função polinomial
    1. Função linear
    2. Função quadrática
  2. Função exponencial e Função logaritmica
  3. Função trigonométrica
  4. Função modular
  5. Função afim
Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Função