Matemática elementar/Função afim

Funções afim são as funções com domínio real e contradomínio real do tipo $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,;x\to f(x)=ax+b$, sendo que a e b são constantes. É uma função de primeiro grau, pois sobre a variável há o expoente 1 (implícito). Observe o exemplo abaixo:

Em uma fábrica, a cada hora trabalhada produz-se quatro pares de sapato. Surgiu uma encomenda de quatorze pares. Quantas horas serão necessárias para produzir a quantidade encomendada?

Este exemplo pode ser resolvido por uma regra de três simples:

${\frac {1}{x}}={\frac {4}{14}}$

E facilmente descobre-se que o tempo necessário é igual a 3 horas e 30 minutos. Neste exemplo, observa-se que a produção está em função das horas, sendo que o tempo é proporcional à produção de sapatos. Assim, observa-se uma progressão aritmética de razão 4:

${\begin{array}{c|c}\mathrm {horas} &\mathrm {sapatos} \\\hline 0&0\\1&4\\2&8\\3&12\\\end{array}}$

A mesma pode ser representada em um gráfico no primeiro quadrante:

${\begin{array}{c|c c c c c c}y&&&&&\\14&&&&\bullet &&\\12&&&\bullet &&&\\8&&\bullet &&&&\\4&\bullet &&&&&\\\hline &1&2&3&4&x\\\end{array}}$

Quando estes pontos são ligados, eles originam uma reta. A função da reta é bijetora e consequentemente é ímpar. Isto significa que para cada valor x haverá um valor y.

Classificação

A equação pode estar em duas formas:

• Reduzida - Apresenta-se na forma ax + b = y (o coeficiente de y é 1);
• Desenvolvida - Apresenta-se na forma ax + by + c = 0.

Deve-se observar que é possível toda equação desenvolvida tornar-se uma equação reduzida.

Exemplo - Qual a equação reduzida de 2x + 2y - 4 = 0?

$2x-4=-2y\to {\frac {2x-4}{-2}}=y$

Que simplificada:

$-2x+2=y$

A reta é classificada em:

• Crescente - os valores de y são proporcionais aos valores de x. Neste caso, a reta direciona-se do terceiro ao primeiro quadrante, e o coeficiente de x na equação reduzida é positivo;
• Decrescente - os valores de y são inversamente proporcionais aos valores de x. Desta forma, a reta direciona-se do quarto ao segundo quadrante, e o coeficiente de x na equação reduzida é negativo;
• Constante - o valor de y independe do valor de x. Assim, a reta direciona-se do quarto ao primeiro quadrante, ou do terceiro ao segundo quadrante. A reta pode, também, pertencer ao eixo das abcissas. Com a função constante, o coeficiente de x na equação reduzida é zero.

Exemplo de reta crescente.

Exemplo de reta decrescente.

Exemplo de reta constante.

Características

Coeficientes

Sendo a expressão geral f(x) = ax + b, dizemos que a é o coeficiente angular, e b o coeficiente linear.

O coeficiente angular, como se descreve, determina o ângulo entre a reta e o eixo das abcissas (α):

$a=\tan \alpha$

Já o coeficiente linear é o ponto em y em que a reta intercepta o eixo das ordenadas.

Exemplo - Na função f(x) = x + 2 o ângulo entre a reta e o eixo das abcissas é 45° e esta intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0;2).

Reta dados dois pontos

Dados dois pontos quaisquer, há apenas uma função afim que passa por estes. Sendo (x₁; y₁) e (x₂; y₂) estes pontos, esta função pode ser determinada por um sistema de equações ou pelo determinante de uma matriz:

$f(x)={\begin{cases}ax_{1}+b=y_{1}\\ax_{2}+b=y_{2}\end{cases}}$

$f(x)=\det {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x&y&1\end{vmatrix}}$

Exemplo - Qual a função da reta que passa pelos pontos (-1;0) e (2;3)?

$f(x)={\begin{cases}-a+b=0\\2a+b=3\end{cases}}$

$f(x)=\det {\begin{vmatrix}-1&0&1\\2&3&1\\x&y&1\end{vmatrix}}$

Independentemente da forma em que for calculado, o resultado é a função x + 1 = y.

Raiz

Toda função afim tem uma raiz (zero) real. A raiz é obtida quando f(x) = 0. Para uma função afim qualquer, sua raiz x é o ponto (x, 0) do plano cartesiano, ou seja, o ponto x em que a reta cruza o eixo das abcissas. Exemplo:

Qual a raiz de f(x) = 2x + 4?

• Iguala-se f(x) a zero:

$0=2x+4$

• Então:

$2x=-4\to x=-2$

Assim, a raiz de f(x) = 2x + 4 é -2.