Matemática elementar/Polinômios

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Definição[editar | editar código-fonte]

Polinômios em uma variável são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma (que, no caso de n = 0, torna-se a constante a). Cada monômio é caracterizado por:

  • um coeficiente, que na equação acima é representado por a;
  • uma variável, que na equação é representada por x; e
  • um expoente natural, que na equação é representado por n. No caso particular n = 0, considera-se que e o termo torna-se simplesmente a.

Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma:

A função constante, é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear

Grau[editar | editar código-fonte]

Define-se o grau de um polinômio como igual ao expoente mais alto entre as variáveis de seus monômios não-nulos. Por exemplo, no polinômio o grau é 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variáveis nos monômios ().

Valor numérico[editar | editar código-fonte]

É o valor que se resulta a expressão quando determina-se um valor para as variáveis.

Exemplo

2x + 1                VN = ?   Para x=5
VN = 2.5 + 1 = 11,

Raízes[editar | editar código-fonte]

No gráfico acima, as raízes r1 e r2 são mostradas. Reparar que as raízes são correspondentes a pontos do gráfico que cortam o eixo das abcissas.

Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável da função polinomial, faz com que a função resulte em 0. Ou seja, se a é dito raiz do polinômio P(x), então

Exemplos de raízes:

  • tem raiz r = 4 (pois )
  • tem raiz r igual a -1, pois

Um polinômio de grau n terá n raízes, sempre. Algumas vezes uma mesma raiz se repete, sendo por isso chamada raiz dupla, tripla, quádrupla, etc. Por exemplo:

  • tem raiz dupla r igual a 2, uma vez que pode ser fatorado em

Num gráfico representativo da função polinomial, as raízes sempre ocorrem nos pontos em que a curva cruza o eixo das abcissas.

Obtenção de raízes[editar | editar código-fonte]

Identidade de polinômios[editar | editar código-fonte]

Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo:

Como o desenvolvimento de B(x) resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a A(x), então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se:

Polinômio nulo[editar | editar código-fonte]

Um polinômio é dito nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a 0.

Igualdade de polinômios[editar | editar código-fonte]

Diz-se que os polinômios e são iguais quando para todo

Operações[editar | editar código-fonte]

Adição[editar | editar código-fonte]

Consideremos que tenhamos os fatores:

e

Todos constantes e com valores diferentes de zero.

Ainda temos:

que são variáveis.

Os polinômios:

e

A sua adição é efetuada como segue:


Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais:

e

A sua adição é efetuada como segue:


Processo:

Para fazer a soma dos polinômios de uma só variável, identificamos os monômios de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.

Para fazer a soma dos polinômios de várias variáveis, identificamos os monômios com variáveis iguais de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.

Subtração[editar | editar código-fonte]

O sinal de negativo (-)antes dos parêntese exige a troca de todos os sinais que estejam dentro dele.

(3x²-2x+5)-(5x-3)=

=3x²-2x+5-5x+3=
 =3x²-7x+8

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

(15x² - 10x + 2) • (3x - 2)

Nesse caso, multiplica-se todos os termos ou considere:

(15x² - 10x + 2) = A
(3x - 2) = B

donde,

A • B (ou B • A)
 A
•B
---
 x

donde,

     (15x² - 10x + 2)
    •        (3x - 2)
    -----------------
     - 30x² + 20x - 4
45x³ - 30x² +  6x      +
---------------------
45x³ - 60x² + 26x -4

Portanto, o produto da multiplicação indicada será 45x³ - 60x² + 26x -4.

Divisão[editar | editar código-fonte]

Para realizar-se uma divisão de polinômios, utiliza-se um dos teoremas abaixo:

  • Método de Descartes
  • Método do Resto
  • Método de D'Alembert
  • Método de Briot-Ruffini

Teoremas[editar | editar código-fonte]

Teorema do resto[editar | editar código-fonte]

O resto da divisão do polinômio P(x) por ax + b é dado por P(-b/a)


Exemplo de resolução 1
Têm-se a seguinte divisão:
  • 1º passo: Determina-se x
  • 2º passo: Substitui-se os valores

Portanto, o resto é 43.


Exemplo de resolução 2
O resto da divisão do polinômio pelo polinômio de primeiro grau é
Observações: Note que é a raiz do divisor

Teorema de D'Alembert[editar | editar código-fonte]

Um polinômio é divisível pelo polinômio de primeiro grau se e somente se,

Aplicações práticas[editar | editar código-fonte]

Equações polinomiais[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Teorema Fundamental da Álgebra[editar | editar código-fonte]

Todo polinômio de uma variável com coeficientes complexos e de grau tem alguma raiz complexa. Em outras palavras, a equação polinomial tem soluções, não necessariamente distintas.

Apesar do nome pomposo, um estudo mais aprofundado da Álgebra contemporânea mostra que este resultado não é assim "tão fundamental". No entanto, no contexto das equações polinomiais, é ele quem traz a garantia de que existem soluções para esse tipo de equação.

Multiplicidade de uma raiz[editar | editar código-fonte]

Relações de Girard[editar | editar código-fonte]

Teorema das raízes complexas[editar | editar código-fonte]

Fatoração[editar | editar código-fonte]

Lembre-se: Fatorar é simplificar uma expressão à um produto.

Existem várias formas de se fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de expressões mais simples:

  • fatoração simples (ou por evidência)
  • fatoração por agrupamento
  • trinômios do quadrado perfeito
  • e outros

Fatoração simples (ou por evidência)[editar | editar código-fonte]

Destacam-se os termos em comum, e coloca-o em evidência, colocando entre parênteses as outras parcelas entre parênteses na forma de produto, multiplicando-o com o número em evidência

Exemplo
ax + ay + az = a (x + y + z)

Por agrupamento[editar | editar código-fonte]

Agrupam-se os termos em comum. Quando agrupamos os termos, fazemos evidência separadamente em cada agrupamento.

Exemplo
ax + by + bx + ay =
ax + ay + bx + by =
a (x + y) + b (x + y) =
(x + y) • (a + b)

Trinômio do quadrado perfeito[editar | editar código-fonte]

Esse já é mais complexo, pois, partiremos em etapas explicando através do exemplo.

Fatorar a expressão

Primeiro verificamos se é um Trinômio do quadrado perfeito:

  • Extrai-se a raiz quadrada dos extremos. Com efeito,
    e
  • Multiplicam-se os resultados
    5 • m = 5m
  • Multiplica-se o produto obtido por dois
    5m • 2 = 10m

Note que 10m é o valor do meio na expressão, isso prova que ela é um Trinômio do quadrado perfeito.

Sendo trinômio do quadrado perfeito
Sendo Trinômio do quadrado perfeito, utiliza-se a fórmula substituindo-se os valores por ordem. O binômio representará uma adição caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de mais (+), ou será uma subtração caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de menos (-). Com efeito,
(m - 5)²

Esse é o valor fatorado da expressão inicial.

Equação do segundo grau[editar | editar código-fonte]

Lembre-se: Da fórmula ax² + bx + c .

A expressão abaixo se encaixa na fórmula acima.

x² - 8x + 15
Observações: Fórmula da fatoração das Equações do segundo grau:
a (x - x1) • (x - x2)

Aplica-se a fórmula da fatoração das equações do segundo grau. Onde,

x1 = 3
x2 = 5

Por tanto, a fatoração de tal expressão resulta em:

1 (x - 3) • (x - 5)
(x - 3) • (x - 5)

Exercícios[editar | editar código-fonte]