Matemática elementar/Polinômios

Definição

Polinômios em uma variável são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma $ax^{n}$ (que, no caso de n = 0, torna-se a constante a). Cada monômio é caracterizado por:

• um coeficiente, que na equação acima é representado por a;
• uma variável, que na equação é representada por x; e
• um expoente natural, que na equação é representado por n. No caso particular n = 0, considera-se que $x^{n}=1$ e o termo $ax^{n}$ torna-se simplesmente a.

Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{1}x+a_{0}$

A função constante, $P(x)=c,$ é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear $P(x)=ax+b.$

Grau

Define-se o grau de um polinômio como igual ao expoente mais alto entre as variáveis de seus monômios não-nulos. Por exemplo, no polinômio $2+4x^{3}+2x^{2}-x$ o grau é 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variáveis nos monômios ($x^{3}$).

Valor numérico

É o valor que se resulta a expressão quando determina-se um valor para as variáveis.

Exemplo

2x + 1                VN = ?   Para x=5
VN = 2.5 + 1 = 11,

Raízes

No gráfico acima, as raízes r₁ e r₂ são mostradas. Reparar que as raízes são correspondentes a pontos do gráfico que cortam o eixo das abcissas.

Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável da função polinomial, faz com que a função resulte em 0, ou seja, se a é dito raiz do polinômio P(x), então $P(a)=0.$

Exemplos de raízes:

• $P(x)=3*x-12$ tem raiz r = 4 (pois $P(4)=3*4-12=0$)
• $P(x)=x^{100}+x^{99}+x^{98}+...+x^{2}+x^{1}$ tem raiz r igual a -1, pois $P(-1)=0.$

Um polinômio de grau n terá n raízes, sempre. Algumas vezes uma mesma raiz se repete, sendo por isso chamada raiz dupla, tripla, quádrupla, etc. Por exemplo:

• $P(x)=x^{2}-4x+4$ tem raiz dupla r igual a 2, uma vez que pode ser fatorado em $P(x)=(x-2)(x-2).$

Num gráfico representativo da função polinomial, as raízes sempre ocorrem nos pontos em que a curva cruza o eixo das abcissas.

Identidade de polinômios

Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo:

$A(x)=3x^{2}+3:$ $B(x)={\frac {2x^{2}+4x^{2}+6}{2}}\Rightarrow B(x)=3x^{2}+3$

Como o desenvolvimento de B(x) resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a A(x), então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se: $A(x)\equiv B(x).$

Polinômio nulo

Um polinômio é dito nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a 0.

Igualdade de polinômios

Diz-se que os polinômios $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$ e $b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0}$ são iguais quando $a_{i}=b_{i},$ para todo $i.$

Operações

Adição

Consideremos que tenhamos os fatores:

${a_{A},b_{A},c_{A},d_{A},e_{A}}$ e

${a_{B},b_{B},c_{B},d_{B},e_{B}}$

Todos constantes e com valores diferentes de zero.

Ainda temos:

${x,y}$

que são variáveis.

Os polinômios:

$A(x)=a_{A}x^{4}+b_{A}x^{3}+c_{A}x^{2}+d_{A}x+e_{A}$

e

$B(x)=a_{B}x^{4}+b_{B}x^{3}+c_{B}x^{2}+d_{B}x+e_{B}$

A sua adição é efetuada como segue:

$S_{AB}(x)=(a_{A}+a_{B})x^{4}+(b_{A}+b_{B})x^{3}+(c_{A}+c_{B})x^{2}+(d_{A}+d_{B})x+(e_{A}+e_{B})$

Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais:

$A(xy)=a_{A}x^{2}y+b_{A}xy+c_{A}y^{2}+d_{A}xy^{3}+e_{A}$

e

$B(xy)=a_{B}x^{2}y+b_{B}xy+c_{B}y^{2}+d_{B}xy^{3}+e_{B}$

A sua adição é efetuada como segue:

$S_{AB}(xy)=(a_{A}+a_{B})x^{2}y+(b_{A}+b_{B})xy+(c_{A}+c_{B})y^{2}+(d_{A}+d_{B})xy^{3}+(e_{A}+e_{B})$

Processo:

Para fazer a soma dos polinômios de uma só variável, identificamos os monômios de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.

Para fazer a soma dos polinômios de várias variáveis, identificamos os monômios com variáveis iguais de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.

Subtração

O sinal de negativo (-)antes dos parêntese exige a troca de todos os sinais que estejam dentro dele.

(3x²-2x+5)-(5x-3)=

=3x²-2x+5-5x+3=
 =3x²-7x+8

Multiplicação

(15x² - 10x + 2) • (3x - 2)

Nesse caso, multiplica-se todos os termos ou considere:

(15x² - 10x + 2) = A

(3x - 2) = B

donde,

A • B (ou B • A)

 A
•B
---
 x

donde,

     (15x² - 10x + 2)
    •        (3x - 2)
    -----------------
     - 30x² + 20x - 4
45x³ - 30x² +  6x      +
---------------------
45x³ - 60x² + 26x -4

Portanto, o produto da multiplicação indicada será 45x³ - 60x² + 26x -4.

Divisão

Para realizar-se uma divisão de polinômios, utiliza-se um dos teoremas abaixo:

• Método de Descartes
• Método do Resto
• Método de D'Alembert
• Método de Briot-Ruffini

Teoremas

Teorema do resto

O resto da divisão do polinômio P(x) por ax + b é dado por P(-b/a)

---

Exemplo de resolução 1

Têm-se a seguinte divisão:

${\frac {3x^{4}-x^{2}+2x-5}{x-2}}$

• 1º passo: Determina-se x

$x-2=0:$ $x=2$

• 2º passo: Substitui-se os valores

$3x^{4}-x^{2}+2x-5:$ $3.2^{4}-2^{2}+2.2-5:$ $3.16-4+4-5:$ $48-5:$ $43$

Portanto, o resto é 43.

---

Exemplo de resolução 2

O resto da divisão do polinômio $A(x)$ pelo polinômio de primeiro grau $B(x)=ax+b$ é $A(-b/a).$

Observações: Note que $A(-b/a)$ é a raiz do divisor $B(x)=ax+b$

Teorema de D'Alembert

Um polinômio $A(x)$ é divisível pelo polinômio de primeiro grau $B(x)=ax+b$ se e somente se, $A(-b/a)=0.$

Equações polinomiais

Teorema Fundamental da Álgebra

Todo polinômio $P(x)$ de uma variável com coeficientes complexos e de grau $n\geq 1$ tem alguma raiz complexa. Em outras palavras, a equação polinomial $P(x)=0$ tem $n$ soluções, não necessariamente distintas.

Apesar do nome pomposo, um estudo mais aprofundado da Álgebra contemporânea mostra que este resultado não é assim "tão fundamental". No entanto, no contexto das equações polinomiais, é ele quem traz a garantia de que existem soluções para esse tipo de equação.

Fatoração

Lembre-se: Fatorar é simplificar uma expressão a um produto.

Existem várias formas de se fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de expressões mais simples:

• fatoração simples (ou por evidência)
• fatoração por agrupamento
• trinômios do quadrado perfeito
• e outros

Fatoração simples (ou por evidência)

Destacam-se os termos em comum, e coloca-o em evidência, colocando entre parênteses as outras parcelas entre parênteses na forma de produto, multiplicando-o com o número em evidência

Exemplo

ax + ay + az = a (x + y + z)

Por agrupamento

Agrupam-se os termos em comum. Quando agrupamos os termos, fazemos evidência separadamente em cada agrupamento.

Exemplo

ax + by + bx + ay =

ax + ay + bx + by =

a (x + y) + b (x + y) =

(x + y) • (a + b)

Trinômio do quadrado perfeito

Esse já é mais complexo, pois, partiremos em etapas explicando através do exemplo.

Fatorar a expressão $m^{2}-10m+25$

Primeiro verificamos se é um Trinômio do quadrado perfeito:

• Extrai-se a raiz quadrada dos extremos. Com efeito,

  ${\sqrt[{}]{m^{2}}}=m$ e ${\sqrt[{}]{25}}=5$

• Multiplicam-se os resultados

  5 • m = 5m

• Multiplica-se o produto obtido por dois

  5m • 2 = 10m

Note que 10m é o valor do meio na expressão, isso prova que ela é um Trinômio do quadrado perfeito.

Sendo trinômio do quadrado perfeito

Sendo Trinômio do quadrado perfeito, utiliza-se a fórmula $(a\pm b)^{2}$ substituindo-se os valores por ordem. O binômio representará uma adição caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de mais (+), ou será uma subtração caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de menos (-). Com efeito,

(m - 5)²

Esse é o valor fatorado da expressão inicial.

Equação do segundo grau

Lembre-se: Da fórmula ax² + bx + c .

A expressão abaixo se encaixa na fórmula acima.

x² - 8x + 15

Observações: Fórmula da fatoração das Equações do segundo grau:
a (x - x₁) • (x - x₂)

Aplica-se a fórmula da fatoração das equações do segundo grau. Onde,

x₁ = 3

x₂ = 5

Por tanto, a fatoração de tal expressão resulta em:

1 (x - 3) • (x - 5)

(x - 3) • (x - 5)

Exercícios

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