Matemática elementar/Fatoração de um polinômio

Fatorar um polinômio é escrever o mesmo como multiplicação de dois ou mais polinômios.

Os processos para fatorar polinômios são denominados: fatoração por agrupamento, fatoração completa, fatoração da diferença de dois quadrados, fatoração pelo fator comum em evidência, fatoração do trinômio quadrado perfeito, fatoração do trinômio do segundo grau, fatoração da soma ou diferença de dois cubos, fatoração por artifício.

Fatoração pelo fator comum em evidência

Considere o polinômio $14ab+7bc,$ seu fator comum em evidência é $7b,$ dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência $14ab:7b=2a$ e $7bc:7b=c,$ a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de $14ab+7bc=7b.(2a+c).$ O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.

Outros exemplos:

• $15x+9y=3.(5x+3y)$
• $50-10y=10.(5-y)$

Fatoração por agrupamento

Observe o polinômio $ab-b^{2}+2a-2b.$ Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:

$ab-b^{2}+2a-2b=(ab-b^{2})+(2a-2b),$ logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:

$ab-b^{2}=b(a-b)$

$2a-2b=2(a-b),$ obtemos a fatoração de $ab-b^{2}+2a-2b=b(a-b)+2(a-b),$ nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: $(a-b)(b+2).$ A forma fatorada de $ab-b^{2}+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)=(a-b)(b+2)$

Outro exemplo:

$a^{4}-a^{5}+a^{2}b-a^{3}b=a^{2}(a^{2}-a^{3})+b(a^{2}-a^{3})=(a^{2}-a^{3})(a^{2}+b)$

Fatoração da diferença de dois quadrados

Considere o polinômio $m^{2}-n^{2},$ que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo ${\sqrt {m^{2}}}=m$ menos a raiz quadrada do segundo termo $-{\sqrt {n^{2}}}=-n,$ logo temos ${\sqrt {m^{2}}}-{\sqrt {n^{2}}}=m-n,$ devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raizes dos termos iniciais pelo seu oposto: $(m-n).(m+n),$ logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: $m^{2}-n^{2}=({\sqrt {m^{2}}}-{\sqrt {n^{2}}}).({\sqrt {m^{2}}}+{\sqrt {n^{2}}})=(m-n).(m+n),$ ou simplesmente $m^{2}-n^{2}=(m-n).(m+n).$

Outros exemplos:

$(n+8)^{2}-1=[(n+8)+1].[(n+8)-1]=[n+8+1].[n+8-1]=[n+9].[n+7]$

$a^{4}-b^{4}=(a^{2}+b^{2}).(a^{2}-b^{2})=(a-b).(a+b).(a^{2}+b^{2})$

Fatoração do trinômio quadrado perfeito

Considere o polinômio $4x^{2}+4xy+y^{2},$ que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa $(2x+y)^{2},$ mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?

Ainda considerando o polinômio $4x^{2}+4xy+y^{2},$ vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo ${\sqrt {4x^{2}}}=2x$ e a raiz quadrada do terceiro termo ${\sqrt {y^{2}}}=y,$ finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio ($4xy$): $2.2x.y=4xy,$ o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é $4x^{2}+4xy+y^{2}=(2x+y)^{2}.$

Outro exemplo:

$x^{2}-8xy+16y^{2}={\sqrt {x^{2}}}-{\sqrt {16y^{2}}}=x-4y(2.x.(-4y)=-8xy)=(x-4y)^{2}$ ou $x^{2}-8xy+16y^{2}=(x-4y)^{2}$

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos

Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:

$(a+b).(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3},$ tendo este cálculo como base, podemos dizer que $a^{3}+b^{3}=(a+b).(a^{2}-ab+b^{2}),$ logo, a fatoração do polinômio $a^{3}+b^{3}$ é igual à raiz cúbica do primeiro termo ${\sqrt[{3}]{a^{3}}}=a,$ mais a raiz cúbica do segundo termo ${\sqrt[{3}]{b^{3}}}=b$ vezes o quadrado do primeiro termo $a^{2},$ o produto dos dois termos com o sinal oposto $-ab$ mais o quadrado do segundo termo $b^{2},$ formando:$a^{3}+b^{3}=(a+b).(a^{2}-ab+b^{2}).$

Outros exemplos:

$x^{3}-y^{3}=(x-y).(x^{2}+xy+y^{2})$

${\frac {x^{3}}{8}}+{\frac {y^{3}}{27}}=\left({\frac {x}{2}}+{\frac {y}{3}}\right).\left({\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {xy}{6}}+{\frac {y^{2}}{9}}\right)$

Fatoração do trinômio do segundo grau

Observe o trinômio $x^{2}-2x-35,$ cuja forma fatorada é $(x-7).(x+5),$ para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:

$a^{2}+8a+12=(a+2).(a+6)$

$x^{2}-15x-100=(x-20).(x+5)$

$y^{2}+y-72=(y+9)(y-8)$

Fatoração completa

A fatoração completa implica na união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio $x^{4}-y^{4},$ que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: $x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2}).(x^{2}+y^{2}),$ note que o primeiro termo da fatoração [$(x^{2}-y^{2})$] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: $x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2}).(x^{2}+y^{2})=(x-y).(x+y).(x^{2}+y^{2}),$ assim, temos a fatoração completa do polinômio $x^{4}-y^{4}.$

Outros exemplos:

${\frac {x^{6}}{64}}-{\frac {y^{6}}{729}}=\left({\frac {x^{3}}{8}}-{\frac {y^{3}}{27}}\right).\left({\frac {x^{3}}{8}}+{\frac {y^{3}}{27}}\right)=\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {y}{3}}\right).\left({\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {xy}{6}}+{\frac {y^{2}}{9}}\right)\right].\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {y}{3}}\right).\left({\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {xy}{6}}+{\frac {y^{2}}{9}}\right)\right]$

$3x^{2}-6x+3=3.(x^{2}-2x+1)=3.(x-1)^{2}$

$a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}=(a+b)^{2}-c^{2}=(a+b-c)(a+b+c)$

Fatoração por artifício

Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;

Fatore a expressão algébrica: $x^{4}+4x^{2}y^{2}+16y^{4}.$

$(x^{4}+4x^{2}y^{2}+16y^{4}+4x^{2}y^{2})-4x^{2}y^{2}=$

$x^{4}+8x^{2}y^{2}+16y^{4}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+4y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+4y^{2}+2xy)(x^{2}+4y^{2}-2xy)$

Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo $4x^{2}y^{2},$ não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.

Outro exemplo:

$x^{5}+x+1$

Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se $x^{2},$ obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:

$x^{5}+x+1=x^{5}-x^{2}+x^{2}+x+1=x^{2}(x^{3}-1)+x^{2}+x+1=x^{2}(x-1)(x^{2}+x+1)+1(x^{2}+x+1)=(x^{2}(x-1)+1)(x^{2}+x+1)=(x^{3}-x^{2}+1)(x^{2}+x+1)$

Polinômios irredutíveis

Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis. Por exemplo, o polinômio $x^{4}+2x^{3}+4x-2$ é irredutível, pelo critério de Eisenstein, com p = 2. Note-se, porém, que a irreducibilidade está sempre condicionada ao corpo considerado; pelo teorema fundamental da álgebra, todo polinômio tem uma raiz, portanto este polinômio pode ser escrito como $(x-r_{1})(x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}),$ sendo $r_{1}$ uma raiz.

Ver também

• Matemática elementar/Expressões algébricas