Matemática elementar/Estudo de um trinômio elevado a um número qualquer

Primeiro vamos investigar como se da a distribuição dos trinômios ao quadrado:

$(a+b+c)^{2}=(a+b+c)\cdot (a+b+c)=(a^{2}+ab+ac+ba+b^{2}+bc+ca+cb+c^{2})$

$(a+b+c)^{2}\ =a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

Aparecem coeficientes diferentes para cada termo da expansão, no caso dos trinômios ao quadrado existem coeficientes 1 para os termos $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$ e 2 para os termos $ab+ac+bc$.

A razão para que existam esses coeficientes é simples, o termo $ab$ vem da distribuição da letra a sobre o segundo fator $(a+b+c)$ e também da distribuição da letra b sobre o segundo fator. Ainda não temos artifícios suficientes para generalizar o expoente do trinômio mas sabemos que cada termo da expansão pode ter coeficientes diferentes dos coeficientes dos outros termos, vamos então ir mais afundo no trinômio para poder generalizar seu expoente.

Note que o coeficiente 2 do termo $ab$ veio pelo fato de que existem duas possibilidades, na distribuição, de ele aparecer, essas duas possibilidades podem ser interpretadas da seguinte maneira:

Como os dois fatores de multiplicação são iguais, e cada um deles tem 3 letras, então para cada termo de duas letras diferentes vão existir duas possibilidades de aparição, uma proveniente da distribuição de uma letra sobre outro fator e a outra proveniente da distribuição da outra letra sobre o outro fator. Isso tem uma pequena ligação com análise combinatória, quantas possibilidades tem-se de gerar um termo qualquer da distribuição do trinômio $(a+b+c)^{n}$?. Façamos então a distribuição com o expoente 3.

$(a+b+c)^{3}=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)$

Para fazer essa distribuição pode-se fixar o a do primeiro fator, e o a do segundo fator, distribui-se então essas duas letras dos dois primeiros fatores sobre o terceiro fator, fazendo isso. $aa(a+b+c)=a^{3}+a^{2}b+a^{2}c$ Agora fixamos o a do primeiro fator e o b do segundo, e distribui sobre o terceiro.

$ab(a+b+c)=a^{2}b+ab^{2}+abc$

Usando a mesma lógica, a primeira letra por convenção é do primeiro fator a segunda do segundo fator.

$ac(a+b+c)=a^{2}c+acb+ac^{2}$

$ba(a+b+c)=ba^{2}+b^{2}a+bac$

$bb(a+b+c)=b^{2}a+b^{3}+b^{2}c$

$bc(a+b+c)=bca+b^{2}c+bc^{2}$

$ca(a+b+c)=ca^{2}+cab+c^{2}a$

$cb(a+b+c)=cba+cb^{2}+c^{2}b$

$cc(a+b+c)=c^{2}a+c^{2}b+c^{3}$

Estão ai todos os termos, agora é só somá-los.

$(a+b+c)^{3}=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)$

$(a+b+c)^{3}=aa(a+b+c)+ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+ba(a+b+c)+bb(a+b+c)+bc(a+b+c)+ca(a+b+c)+cb(a+b+c)+cc(a+b+c)$

Note que cada termo da espansão do trinômio é a combinação de uma das letras de cada fator, por exemplo:

O termo $bac$ , veio da combinação da letra b do primeiro fator, letra a do segundo e letra c do terceiro

O termo $c^{2}a$ , veio da combinação da letra c do primeiro fator, letra c do segundo e letra a do terceiro. Daí pode-se concluir que para montar um termo você terá obrigatoriamente que escolher n letras, sendo n o expoente do trinomio, pois vão ter "n" fatores para um trinomio com potência "n", logo, a soma dos expoentes das letras dos termos sempre vão ser iguais ao expoente do trinômio, por exemplo:

No termo $a^{2}b$, a soma do expoente da letra a e da letra b da 3, que é o expoente do trinômio.

Sabendo que cada termo é proveniente da combinação de uma das letras de cada fator vamos buscar agora qual é o coeficiente de cada termo procurado.

Imagine um trinômio com potência 5, com certeza vai aparecer um termo $a^{2}b^{1}c^{2}$, quantas são as possibilidades de se obter esse termo quando realiza-se a distribuição?

Note que temos ali 5 escolhas, pois o expoente do trinômio agora é 5, $aabcc$, convencionando o seguinte:

A primeira letra é proveniente do primeiro fator, a segunda letra é proveniente do segundo fator, e assim respectivamente.

Pense que dentro do arranjo $aabcc$ poderíamos ter o seguinte, $abacc$, ou $aacbc$, assim estamos simplesmente mudando qual letra escolher de cada um dos 5 fatores. Por exemplo, em $abacc$ a letra do segundo fator foi b e em $aacbc$ a letra do segundo fator foi a, ambos termos são equivalente pela regra de comutação da álgebra.

Porém obrigatoriamente vamos ter que escolher duas vezes o a, uma vez o b, e duas vezes o c, nao importando de qual fator que você escolha.

Deu para notar que os arranjos são permutações de 5 letras com repetição de 2 a 's e 2 c 's, ou seja, vão existir $P_{5}^{2,2}$ termos com esse arranjo, que por sua vez irá ser o coeficiente de tal termo.

Sendo

$P_{5}^{2,2}={\frac {5!}{2!2!}}$

proveniente da análise combinatória. Perceba que o número 5 veio do expoente do trinômio (o número de escolhas que teremos que realizar para formar o termo) e os números 2's vieram do expoente de cada letra, a letra c também tem seu expoente, sendo 1, já que 1! e 0! ambos são iguais a 1 podemos colocar eles na repetição:

$P_{5}^{2,2,1}={\frac {5!}{2!2!1!}}$.

Agora temos argumentos suficientes para podermos generalizar o coeficiente de cada termo da espansão do trinômio $(a+b+c)^{n}$.

Se termo qualquer $a^{x}b^{y}c^{z}$ é proveniente da espansão do trinômio acima, ou seja $x+y+z=n$, então seu coeficiente será de $P_{n}^{x,y,z}$ (permutação de n termos como repetição do a x vezes, do b, y vezes e do c z vezes), onde

$P_{n}^{x,y,z}={\frac {n!}{x!y!z!}}$.

Para toda a solução da equação $x+y+z=n$ em com variáveis em x, y e z, o termo $a^{x}b^{y}c^{z}$, vai com certeza vai existir na espansão de $(a+b+c)^{n}$. Então quantos termos diferentes existem na expansão do triômio?

É uma pergunta simples, basta saber quantas soluções tem a equação $x+y+z=n$. Brincando de análise combinatória:

Considere a equação, $x+y+z=10$, quantas soluções em x, y e z ela terá? para $x=4$, $y=3$, $z=3$ temos uma solução, note que a propriedade comum das soluções é justamente o que afirma a equação a soma delas tem que obrigatóriamente ser 10, então vamos representar o 10 como se fossem 10 bolas (representados por 0's)

0000000000

Temos que dividir essas 10 bolas em 3 variáveis(x, y e z).

00	0000	0000
x	y	y

(nesse caso temos a solução x=2, y=4, z=4) As 10 bolas foram divididas em 3 partes com duas divisórias". Observe os arranjos:

00|0000|0000 (x=2, y=4, z=4)

00|000000|00 (x=2, y=6, z=2)

0000|000|000 (x=4, y=3, z=3)

000|000|0000 (x=3, y=3, z=4)

Todos arranjos são soluções da equação $x+y+z=n$, o que tem em comum neles?

Eles são permutações de um arranjo com 10 bolas iguais e 2 divisórias iguais, sendo que se você permutar duas bolas ou duas divisórias você continuará na mesma solução.

Então a quantidade de soluções existentes é uma Permutação de 12 elementos com repetição de 10 bolas e 2 divisórias.

$P_{12}^{10,2}={\frac {12!}{10!2!}}$

Agora podemos generalizar dizendo que a quantidade de soluções da equação x+y+z=n é a permutação de $n+2$ com repetição de n e 2, ou seja, $P_{n+2}^{n,2}$.

Sendo que:

$P_{n+2}^{n,2}={\frac {(n+2)!}{n!2!}}={\frac {(n+2)(n+1)}{2}}$.

Logo o trinômio $(a+b+c)^{n}$ terá $(n+2)(n+1)/2$ termos diferentes em sua expansão, note que a quantidade de termos nao depende de x, y e z, o que era de se esperar pois x, y e z são variáveis implícitas na expansão do trinômio.

Para sabermos quantos termos totais(não necessariamente diferentes) existem na expansão do trinômio usamos o seguinte artifício: quando $a=1$ E $b=1$ E $c=1$ vamos somar todos os coeficientes dos termos, pois toda potência de 1 é 1. A soma de todos os coeficientes da expansão nos dará a quantidade de termos totais existentes.

$(a+b+c)^{n}$

$(1+1+1)^{n}$

$3^{n}$

A quantidade de termos totais da expansão do trinômio $(a+b+c)^{n}$ é $3^{n}$. Note que a quantidade de termos diferentes tem a expressão $(n+2)(n+1)/2$ e a quantidade total de termos tem expressão $3^{n}$, se tornarmos as duas funções em naturais ("funções discretas")

$f:N\to N$

$f(n)={\frac {(n+2)(n+1)}{2}}$

$g:N\to N$

$g(n)\ =\ 3^{n}$

As duas funções são iguais para $n=1$.

$g(1)=f(1)=3$, isso condiz claramente com o trinômio, se o expoente "n" do trinômio for igual a 1, a quantidade de termos diferentes será a mesma que a quantidade de termos totais e iguais a 3.

$(a+b+c)^{1}=a^{1}b^{0}c^{0}+a^{0}b^{1}c^{0}+a^{0}b^{0}c^{1}$

Existem 3 termos diferentes que são os únicos da expansão. Note também que para todo $n>1$ (nos naturais) a função $g(n)$ é sempre maior qua função $f(n)$, o que também condiz com o trinômio, para todo expoente maior que 1 sempre vão existir termos com coeficientes maiores do que 1.

O que nos resta é, ordenar todos os termos de forma lógica para conseguir colocar em um somatório geral do tipo:

$(a+b+c)^{n}=\sum a^{x}b^{y}c^{z}P_{n}^{x,y,z}$

Podemos fazer isso da seguinte maneira, primeiro coloque em ordem decrescente por potência da letra "a".

Por exemplo (sem coeficientes):

$(a+b+c)^{10}=a^{10}+a^{9}(b^{1}+c^{1})+a^{8}(...)+a^{7}(...)+...a^{0}(...)$

Note que é como se o $a^{x}$ estivesse em evidencia, agora precisamos ordenar as letras "b" e "c" dentro de cada parenteses "$(...)$" daqueles. Como a soma dos expoentes de cada letra tem que resultar no expoente do trinômio é como se fosse o seguinte (sem os coeficientes):

$(a+b+c)^{10}=a^{10}+a^{9}(b+c)+a^{8}(b^{2}+bc+c^{2})+a^{7}(b^{3}+b^{2}c+bc^{2}+c^{3})+...+(b+c)^{10}$

Note que a potência do "b" sempre começa no máximo e vai diminuindo, e a potência do "c" varia ao contrário, ou seja,

$(a+b+c)^{10}=\sum _{k=0}^{10}\left(a^{10-k}\sum _{p=0}^{k}b^{k-p}c^{p}\right)$

finalmente incluindo os coeficientes de cada termo (usando $P_{n}^{x,y,z}$ para o termo $a^{x}b^{y}c^{z}$)

$(a+b+c)^{10}=\sum _{k=0}^{10}\left(a^{10-k}\sum _{p=0}^{k}\left(b^{k-p}c^{p}P_{10}^{10-k,k-p,k}\right)\right)$

$(a+b+c)^{10}=\sum _{k=0}^{10}\left(a^{10-k}\sum _{p=0}^{k}{\frac {b^{k-p}c^{p}10!}{(10-k)!(k-p)!p!}}\right)$

Finalmente generalizando:

$(a+b+c)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left(a^{n-k}\cdot \sum _{p=0}^{k}{\frac {b^{k-p}c^{p}n!}{(n-k)!(k-p)!p!}}\right)$