Matemática elementar/Expressões algébricas

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Produtos notáveis são expressões matemáticas padronizadas, em que um produto ou uma potência pode ser expressa através de uma soma de monômios.

A operação inversa se chama fatoração algébrica, que consiste em expressar um polinômio como o produto de polinômios (usualmente binômios) mais simples.

O desenvolvimento dos produtos notáveis é um passo fundamental na simplificação de expressões que envolvem somas ou subtrações, como na resolução de vários tipos de equação.

A fatoração, por outro lado, é fundamental na simplificação de expressões que envolvem a divisão de polinômios, e também é importante na resolução de equações polinomiais.

Produtos notáveis[editar | editar código-fonte]

Quadrado da soma de dois termos[editar | editar código-fonte]

.

Exemplos:

Quadrado da diferença de dois termos[editar | editar código-fonte]

 

Exemplos:

Cubo da soma de dois termos[editar | editar código-fonte]


Exemplos:

Cubo da diferença de dois termos[editar | editar código-fonte]


Exemplos:

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Fatoração algébrica[editar | editar código-fonte]

Fatoração pelo fator comum em evidência[editar | editar código-fonte]

Considere o polinômio , seu fator comum em evidência é , dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência e , a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de . O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.

Outros exemplos:

Fatoração por agrupamento[editar | editar código-fonte]

Observe o polinômio . Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:

, logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:

, obtemos a fatoração de , nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: . A forma fatorada de .

Outro exemplo:

Fatoração da diferença de dois quadrados[editar | editar código-fonte]


Considere o polinômio , que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo , logo temos , devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto: , logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: , ou simplesmente .

Outros exemplos:

Fatoração do trinômio quadrado perfeito[editar | editar código-fonte]

Considere o polinômio , que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa , mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?

Ainda considerando o polinômio , vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo e a raiz quadrada do terceiro termo , finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio (): , o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é .

Outro exemplo:

ou

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos[editar | editar código-fonte]

As expressões usadas são:

Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:

, tendo este cálculo como base, podemos dizer que , logo, a fatoração do polinômio é igual à raiz cúbica do primeiro termo , mais a raiz cúbica do segundo termo vezes o quadrado do primeiro termo , o produto dos dois termos com o sinal oposto mais o quadrado do segundo termo , formando:.

Outros exemplos:

Fatoração do trinômio do segundo grau[editar | editar código-fonte]

Observe o trinômio , cuja forma fatorada é , para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:

Fatoração completa[editar | editar código-fonte]

A fatoração completa implica na união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio , que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: , note que o primeiro termo da fatoração [] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: , assim, temos a fatoração completa do polinômio .

Outros exemplos:

Fatoração por artifício[editar | editar código-fonte]

Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;

Fatore a expressão algébrica: .

Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo , não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.

Outro exemplo:

Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se , obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:

Um passo intermediário que pode ser usado como artifício é a expressao da soma de dois quadrados:


Polinômios irredutíveis[editar | editar código-fonte]

Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis, mas o estudo destes polinômios deve ficar para um livro mais avançado.

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Problemas resolvidos[editar | editar código-fonte]

Caso 1[editar | editar código-fonte]

Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas: o primeiro com preço de R$45,00 a unidade e o segundo com o preço de R$67,00 a unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo e de y a quantidade vendida do segundo tipo.

  • Qual a expressão algébrica da venda desses dois artigos?
  • Qual o valor se forem vendidos 200 e 300 unidades respectivamente?

Caso 2[editar | editar código-fonte]

O segundo caso de fatoração é: agrupamento, onde há 4 ou mais termos. Temos como exemplo:

  • ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b).
  • Colocamos o 'x+y' em evidência e quem os multiplica também.

Caso 3[editar | editar código-fonte]

Diferença entre dois quadrados.

Caso 4[editar | editar código-fonte]

Trinômio quadrado perfeito.

Caso 5[editar | editar código-fonte]

Soma e produto

Caso 6[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Fração algébrica[editar | editar código-fonte]

Simplificação[editar | editar código-fonte]

15x²-15xy²=15x(x-y²)

Operações[editar | editar código-fonte]

Adição[editar | editar código-fonte]

Subtração[editar | editar código-fonte]

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

Divisão[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Fatoração de um polinômio
Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Produtos notáveis


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