Matemática elementar/Equações algébricas

Origem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma equação é uma igualdade de expressões matemáticas, que pode ser utilizada no estudo das funções, nomeadamente das suas raízes. Pelo menos uma da expressão contém uma ou várias incógnitas (variáveis), cujo valor é denominado de solução ou soluções da equação.

Cada uma das expressões pode ser considerada como função matemática (p.e. f(x) e g(x)), e partilhar as suas propriedades, em que cada operação efetuada sobre uma das expressões, terá que ser replicada na outra

Raiz[editar | editar código-fonte]

Se as equações forem polinomiais, i.e., compostas por polinômios, o grau n da equação é o mesmo que o maior expoente encontrado de ambos polinômios, e a sua solução admite no máximo n raízes. A raiz de uma equação é o valor com o qual a incógnita anula a equação.

Multiplicidade de raízes[editar | editar código-fonte]

Número de raízes de uma equação[editar | editar código-fonte]

Relações entre coeficientes e raízes, Equações algébricas com coeficientes reais - pesquisa de raízes racionais, raízes complexas conjugadas.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Um exemplo de como completar quadrado:

Temos a seguinte equação:

Agora imagine a equação:

Vamos tentar transformá-la em um quadrado da soma.

Perceba que

Esse menos 16 é para subtrair do 16 que se forma no produto notável de

,

é só isso, o método de completar quadrados é simplesmente você transformar os números em um quadrado da soma.

Casos particulares[editar | editar código-fonte]

Equação do 1º grau com 1 incógnita[editar | editar código-fonte]

Sistemas do 1º grau[editar | editar código-fonte]

Problemas do 1º grau[editar | editar código-fonte]

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo . Assim:

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

Equação do 2º grau com 1 incógnita[editar | editar código-fonte]

Aqui mostraremos como se pode deduzir a famosa fórmula para a resolução de equações do segundo grau, também conhecida como fórmula de Bhaskara.

Evolução[editar | editar código-fonte]

, donde

  • a multiplica os termos:
  • aqui tornou-se .
  • aqui temos como X1 e como X2.
  • então,
x = x1
x = x2
  • por fim, e (x) é representado pela seguinte fórmula:

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Exercícios de aplicação da Fórmula de Bhaskara.

  1. Determine o conjunto solução, nos reais, das equações seguintes, usando a fórmula de Bhaskara


Exemplo 2 (2+X)(X+1)=2x+2+x.x+x

                  =x.x+3x+2=0
                  a=1
                  b=3
                  c=2

Aplicando na fórmula teremos:

Delta=b.b-4.a.c

Substituindo os valores na fórmula teremos: Delta=3×3-4×1×2 Delta =9-8 Delta=1

X1=-b+√delta/2.a

Substuindo history para x1.:


X1=-3+√1/2×1 X1=-3+1/2 X1=-2/2 X1=-1


X2=-b-√delta/2×a X2=-3-√1/2×1 X2=-3-1/2 X2=-4/2 X2=-2

Equação frigate agradesso quem a very beijinho de Cristiamo

Sistemas do 2º grau[editar | editar código-fonte]

Problemas do 2º grau[editar | editar código-fonte]

Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram convidados a este jantar?

Solução
x = número de convidados
24.000/x = prêmio recebido por cada um se não houvesse faltas
24.000/(x-5) = prêmio recebido por cada um, como faltaram 5 pessoas
24.000/x+400=24.000/(x-5) ===> cada um dos presentes recebeu mais 400
simplificando a equação:
dividindo os termos por 400
60/x + 1 = 60/(x-5)
mmc: entre x e x-5 = x.(x-5)
60 (x-5) + x.(x-5) = 60.x
60x - 300 + x² - 5x - 60x = 0
x²-5x-300 = 0
aplicando a fórmula de Bhaskara:
x' = 20, x" = -15(raízes negativas não servem)
Resposta: 20 pessoas foram convidadas...

Equação biquadrada[editar | editar código-fonte]

Uma equação biquadrada é um equação do quarto grau que não possuem termos de grau ímpar:

A técnica para resolver esta equação consiste em reescrever a equação como uma expressão em y de forma que:

Assim a equação biquadrada transforma-se numa equação do segundo grau em y:

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver Matemática elementar/Expressões algébricas/Equação biquadrada/Exercícios


Nuvola apps edu mathematics-p.svg

Esta página é um esboço de matemática. Ampliando-a você ajudará a melhorar o Wikilivros.


Leitura complementar[editar | editar código-fonte]

  • Gilberto G. Garbi. O Romance das Equações Algébricas. 3ª ed. São Paulo: Livraria da Física. 2009. ISBN 8588325764
  • Gilberto G. Garbi. A rainha da Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. Livraria da Física, 2006. ISBN 8588325616