Matemática elementar/Geometria analítica/Vetores

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vetor ligando os pontos A e B.

Vetores são objetos matemáticos que se caracterizam por possuirem módulo, direção e sentido. O deslocamento de uma partícula de um ponto A até um ponto B é um exemplo de vetor. Seu módulo é dado pela distância entre os pontos A e B, sua direção é a reta que liga esses dois pontos e seu sentido é do ponto A até o ponto B. Deve-se observar que o vetor deslocamento não conserva qualquer outra informação sobre a trajetória da partícula.

É possível estudar vetores apenas usando-se geometria elementar, mas a geometria analítica estuda os vetores através de suas coordenadas.

As coordenadas são definidas a partir de eixos ortogonais arbitrariamente determinados, e, a partir de então, considerados fixos. No plano, estes eixos são chamados de:

  • eixo das abscissas, eixo horizontal, eixo dos x
  • eixo das ordenadas, eixo vertical, eixo dos y

Os dois eixos cruzam-se na origem, fazendo um ângulo de 90 graus.

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Um vetor no plano (aqui representado pela letra V) é unicamente determinado através de dois números: sua abscissa (Vx) e sua ordenada (Vy). Para cada par de números reais (x, y) corresponde um único vetor V.

Assim, costuma-se identificar o vetor V com o par ordenado de suas coordenadas (Vx, Vy) (por simplificação, (x, y)).

Um par ordenado tem este nome porque trocando-se os seus componentes obtém-se outro par: (1, 2) ≠ (2, 1).

Existem três tipos fundamentais de vetores:

  • Vetores livres: Estes vetores não se encontram em nenhuma reta e não têm nenhum ponto conhecido. Para os caracterizar, só é preciso saber o seu módulo, a sua direção e o seu sentido.
  • Vetores deslizantes: Estes vetores situam-se sobre uma reta, e, para poderem ser caracterizados, é preciso saber qual é o seu módulo, a sua direção, o seu sentido e a reta suporte que os contém. Estes vetores também são conhecidos como cursores.
  • Vetores ligados: Estes vetores vêm a sua origem num ponto. Para os caracterizar, além de ser necessário saber o seu módulo, a sua direção e o seu sentido, é também preciso saber qual é o ponto no qual o vetor vê a sua origem. A notação destes vetores é feita da seguinte maneira: (u,O) → Este é o vetor u, que vê a sua origem no ponto O.

Notas:

  • Os vetores ligados são também conhecidos como vetores de posição.
  • Os vetores deslizantes e ligados possuem muitas aplicações no ramo mecânico da física, e são muito utilizados nos estudos universitários de Engenharia.