Matemática elementar/Trigonometria/Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos

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Nesta página aprenderemos a efetuar operações trigonométricas que envolvam a adição, subtração ou multiplicação de números reais.

Adição de arcos[editar | editar código-fonte]

Cosseno da soma[editar | editar código-fonte]

Circulocosseno.png

Considere a figura ao lado. Sejam três pontos e pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são e Os arcos e têm medidas iguais, logo as cordas e também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:

Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:

     

Seno da soma[editar | editar código-fonte]

Sabemos que A partir disto e sendo obtemos:

Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:

Substituindo e nesta expressão, então:

       

Tangente da soma[editar | editar código-fonte]

Sabendo que e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para

Então:

    

Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se e porque a relação só é válida se e somente se

Cotangente da soma[editar | editar código-fonte]

Como podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para

Simplificando, temos:

       

Como é válida se e somente se a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se e

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Calcule:


    • Resolução

Subtração de arcos[editar | editar código-fonte]

Cosseno da diferença[editar | editar código-fonte]

Para calcular fazemos uso da igualdade na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:

Então:

    

Seno da diferença[editar | editar código-fonte]

Podemos fazer a mesma substituição da igualdade para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:

Logo,

    

Tangente da diferença[editar | editar código-fonte]

Usando novamente a igualdade e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:

Simplificando, temos:

   

Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se e

Cotangente da diferença[editar | editar código-fonte]

Mais uma vez, usaremos a igualdade e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:

Logo, obtemos a identidade:

    

Está fórmula só pode ser aplicada se e

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Calcule:


    • Resolução





  • Dados e calcule
    • Resolução

Multiplicação de arcos[editar | editar código-fonte]

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo conforme será mostrado adiante.

Cosseno[editar | editar código-fonte]

Usando a fórmula do cosseno da soma, temos:

Logo, utilizando a Identidade relacional básica, podemos obter duas fórmulas finais:

    
     ou                  
    

Utilizando a Identidade relacional básica e trabalhando algebricamente, temos:

    

Expressões para são obtidas por processos semelhantes.

Seno[editar | editar código-fonte]

Ultilizando a fórmula do seno da soma:

Então, temos:

  

Utilizando a Identidade relacional básica:

Logo:

  

Expressões para são obtidas por processos semelhantes.

Tangente[editar | editar código-fonte]

A partir da fórmula da tangente da soma:

Logo:

   

Ao subtituimos a fórmula anterior para e simplificarmos, obtemos como fórmula final:

  

Expressões para são obtidas por processos semelhantes.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Se e calcule
    • Resolução

Precisamos encontrar para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que Como o valor da cossecante é positivo.

De onde vem

Podemos finalmente calcular:

Bissecção de arcos[editar | editar código-fonte]

Cosseno[editar | editar código-fonte]

Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para a fim de que, dado o cosseno de uma arco qualquer, possamos obter ou Para isto, consideraremos

A partir de

   

A partir de temos:

   

Finalmente, sabendo que temos:

  

Seno[editar | editar código-fonte]

Caso nos seja dado o sabendo que calculamos e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.

Tangente[editar | editar código-fonte]

Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular e conhecida a Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação

e consideraremos de modo que:

      
      
      

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Se com calcule as funções circulares de


    • Resolução

Logo, temos:


  • Se determine


    • Resolução


Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que:

Exercícios[editar | editar código-fonte]

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