Matemática elementar/Trigonometria/Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos

Nesta página aprenderemos a efetuar operações trigonométricas que envolvam a adição, subtração ou multiplicação de números reais.

Adição de arcos

Cosseno da soma

Considere a figura ao lado. Sejam três pontos $A\;\!,$ $B\;\!$ e $C\;\!$ pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são $A\left(\cos a,\mathrm {sen} \,a\right)\;\!,$ $B\left(\cos \left(a+b\right),\mathrm {sen} \,\left(a+b\right)\right)\;\!$ e $C\left(\cos b,-\mathrm {sen} \,b\right)\;\!.$ Os arcos ${\widehat {PB}}$ e ${\widehat {CA}}$ têm medidas iguais, logo as cordas ${\overline {PB}}$ e ${\overline {CA}}$ também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:

$d_{PB}^{2}=2-2\cdot \cos \left(a+b\right)\;\!$

$d_{CA}^{2}=2-2\cdot \cos a\cdot \cos b+2\cdot \mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b\;\!$

Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:

     $\cos \left(a+b\right)=\cos a\cdot \cos b-\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b\;\!$

Seno da soma

Sabemos que $\mathrm {sen} \,x=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right).$ A partir disto e sendo $x=a+b\;\!,$ obtemos:

• $\mathrm {sen} \,\left(a+b\right)=\cos \left[{\frac {\pi }{2}}-\left(a+b\right)\right]=\cos \left[\left({\frac {\pi }{2}}-a\right)-b\right]$

Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:

• $\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)\cdot \cos b+\mathrm {sen} \,\left({\frac {\pi }{2}}-a\right)\cdot \mathrm {sen} \,b$

Substituindo $\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)=\mathrm {sen} \,a$ e $\mathrm {sen} \,\left({\frac {\pi }{2}}-a\right)=\cos a$ nesta expressão, então:

       $\mathrm {sen} \,\left(a+b\right)=\mathrm {sen} \,a\cdot \cos b+\mathrm {sen} \,b\cdot \cos a\;\!$

Tangente da soma

Sabendo que $\tan x={\frac {\mathrm {sen} \,x}{\cos x}}$ e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para $\tan \left(a+b\right)\;\!:$

• $\tan \left(a+b\right)={\frac {\mathrm {sen} \,\left(a+b\right)}{\cos \left(a+b\right)}}={\frac {\mathrm {sen} \,a\cdot \cos b+\mathrm {sen} \,b\cdot \cos a}{\cos a\cdot \cos b-\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b}}$

$={\frac {\frac {\mathrm {sen} \,a\cdot \cos b+\mathrm {sen} \,b\cdot \cos a}{\cos a\cdot \cos b}}{\frac {\cos a\cdot \cos b-\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b}{\cos a\cdot \cos b}}}$

Então:

    $\tan \left(a+b\right)={\frac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\cdot \tan b}}$

Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se $a\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,b\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ e $a+b\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} ,$ porque a relação $\tan x={\frac {\mathrm {sen} \,x}{\cos x}}$ só é válida se e somente se $x\neq {\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}.$

Cotangente da soma

Como $\cot x={\frac {\cos x}{\mathrm {sen} \,x}},$ podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para $\cot \left(a+b\right)\;\!:$

• $\cot \left(a+b\right)={\frac {\ cos\left(a+b\right)}{\mathrm {sen} \,\left(a+b\right)}}={\frac {\cos a\cdot \cos b-\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b}{\mathrm {sen} \,a\cdot \cos b+\mathrm {sen} \,b\cdot \cos a}}$

$={\frac {\frac {\cos a\cdot \cos b-\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b}{\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b}}{\frac {\mathrm {sen} \,a\cdot \cos b+\mathrm {sen} \,b\cdot \cos a}{\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b}}}$

Simplificando, temos:

       $\cot \left(a+b\right)={\frac {\cot a\cdot \cot b-1}{\cot a+\cot b}}$

Como $\cot x={\frac {\cos x}{\mathrm {sen} \,x}}$ é válida se e somente se $x\neq 0,\pi ,2\pi \;\!,$ a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se $a\neq k\pi ,b\neq k\pi \;\!$ e $a+b\neq k\pi ,k\in \mathbb {Z} \;\!.$

Exemplos

• Calcule:

$\left(1\right)\;\!$ $\cos 75^{\circ }\;\!:$ $\left(2\right)\;\!$ $\mathrm {sen} \,105^{\circ }\;\!:$ $\left(3\right)\;\!$ $\tan 105^{\circ }\;\!:$ $\left(4\right)\;\!$ $\cot 75^{\circ }\;\!$

• • Resolução

$\left(1\right)\;\!$ $\cos 75^{\circ }=\cos \left(30^{\circ }+45^{\circ }\right)=\cos 30^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }-\mathrm {sen} \,30^{\circ }\cdot \mathrm {sen} \,45^{\circ }$

$={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}:$ $\left(2\right)\;\!$ $\mathrm {sen} \,105^{\circ }=\mathrm {sen} \,\left(45^{\circ }+60^{\circ }\right)=\mathrm {sen} \,45^{\circ }\cdot \cos 60^{\circ }+\mathrm {sen} \,60^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }$ $={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}{4}}:$ $\left(3\right)\;\!$ $\tan 105^{\circ }=\tan \left(45^{\circ }+60^{\circ }\right)={\frac {\tan 45^{\circ }+\tan 60^{\circ }}{1-\tan 45^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }}}$ $={\frac {1+{\sqrt {3}}}{1-1\cdot {\sqrt {3}}}}={\frac {1+{\sqrt {3}}}{1-{\sqrt {3}}}}:$ $\left(4\right)\;\!$ $\cot 75^{\circ }=\cot \left(30^{\circ }+45^{\circ }\right)={\frac {\cot 30^{\circ }\cdot \cot 45^{\circ }-1}{\cot 30^{\circ }+\cot 45^{\circ }}}$ $={\frac {{\sqrt {3}}\cdot 1-1}{{\sqrt {3}}+1}}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{{\sqrt {3}}+1}}$

Subtração de arcos

Cosseno da diferença

Para calcular $\cos \left(a-b\right)\;\!,$ fazemos uso da igualdade $a-b=a+\left(-b\right)\;\!$ na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:

• $\cos \left(a-b\right)=\cos \left[a+\left(-b\right)\right]\;\!$

$=\cos a\cdot \cos \left(-b\right)-\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,\left(-b\right)\;\!$ $=\cos a\cdot \cos b-\mathrm {sen} \,a\cdot \left(-\mathrm {sen} \,b\right)\;\!$

Então:

    $\cos \left(a-b\right)=\cos a\cdot \cos b+\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,b\;\!$

Seno da diferença

Podemos fazer a mesma substituição da igualdade $a-b=a+\left(-b\right)\;\!$ para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:

• $\mathrm {sen} \,\left(a-b\right)=\mathrm {sen} \,\left[a+\left(-b\right)\right]=\mathrm {sen} \,a\cdot \cos \left(-b\right)+\mathrm {sen} \,\left(-b\right)\cdot \cos a\;\!$

Logo,

    $\mathrm {sen} \,\left(a-b\right)=\mathrm {sen} \,a\cdot \cos b-\mathrm {sen} \,b\cdot \cos a\;\!$

Tangente da diferença

Usando novamente a igualdade $a-b=a+\left(-b\right)\;\!$ e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:

• $\tan \left(a-b\right)=\tan \left[a+\left(-b\right)\right]={\frac {\tan a+\tan \left(-b\right)}{1-\tan a\cdot \tan \left(-b\right)}}$

Simplificando, temos:

   $\tan \left(a-b\right)={\frac {\tan a-\tan b}{1+\tan a\cdot \tan b}}$

Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se $a\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,b\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ e $a-b\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} .$

Cotangente da diferença

Mais uma vez, usaremos a igualdade $a-b=a+\left(-b\right)\;\!$ e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:

• $\cot \left(a-b\right)=\cot \left[a+\left(-b\right)\right]={\frac {\cot a\cdot \cot \left(-b\right)-1}{\cot a+\cot \left(-b\right)}}$

Logo, obtemos a identidade:

    $\cot \left(a-b\right)={\frac {\cot a\cdot \cot b+1}{\cot b-\cot a}}$

Está fórmula só pode ser aplicada se $a\neq k\pi ,b\neq k\pi \;\!$ e $a-b\neq k\pi ,k\in \mathbb {Z} \;\!.$

Exemplos

• Calcule:

$\left(1\right)\;\!$ $\cos 15^{\circ }\;\!:$ $\left(2\right)\;\!$ $\mathrm {sen} \,15^{\circ }\;\!:$ $\left(3\right)\;\!$ $\cot 15^{\circ }\;\!$

• • Resolução

$\left(1\right)\;\!$ $\cos 15^{\circ }=\cos 15^{\circ }\left(45^{\circ }-30^{\circ }\right)=\cos 45^{\circ }\cdot \cos 30^{\circ }+\mathrm {sen} \,45^{\circ }\cdot \mathrm {sen} \,30^{\circ }$ $={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$

$\left(2\right)\;\!$ $\mathrm {sen} \,15^{\circ }=\mathrm {sen} \,15^{\circ }\left(45^{\circ }-30^{\circ }\right)=\mathrm {sen} \,45^{\circ }\cdot \cos 30^{\circ }-\mathrm {sen} \,30^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }$ $={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$

$\left(3\right)\;\!$ $\cot 15^{\circ }=\cot 15^{\circ }\left(60^{\circ }-45^{\circ }\right)={\frac {\cot 60^{\circ }\cdot \cot 45^{\circ }+1}{\cot 45^{\circ }-\cot 60^{\circ }}}$ $={\frac {{\frac {\sqrt {3}}{3}}\cdot 1+1}{1-{\frac {\sqrt {3}}{3}}}}={\frac {3+{\sqrt {3}}}{3-{\sqrt {3}}}}$

• Dados $\tan \alpha =1\;\!$ e $\tan \beta ={\frac {1}{2}}\;\!,$ calcule $\tan \left(\alpha -\beta \right)\;\!.$

• • Resolução

$\tan \left(\alpha -\beta \right)={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta }}$ $={\frac {1-{\frac {1}{2}}}{1+1\cdot {\frac {1}{2}}}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {3}{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{3}}$

Multiplicação de arcos

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de $2a,3a,...\;\!,$ utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo $2a=a+a,3a=2a+a,...\;\!,$ conforme será mostrado adiante.

Cosseno

Usando a fórmula do cosseno da soma, temos:

• $\cos 2a=\cos \left(a+a\right)=\cos a\cdot \cos a-\mathrm {sen} \,a\cdot \mathrm {sen} \,a=\cos ^{2}a-\mathrm {sen} \,^{2}a\;\!$

Logo, utilizando a Identidade relacional básica, podemos obter duas fórmulas finais:

    $\cos 2a=2\cos ^{2}a-1\;\!$
     ou                  
    $\cos 2a=1-2\mathrm {sen} \,^{2}a\;\!$

• $\cos 3a=\cos \left(2a+a\right)=\cos 2a\cdot \cos a-\mathrm {sen} \,2a\cdot \mathrm {sen} \,a\;\!$

$=\left(2\cos ^{2}a-1\right)\cdot \cos a-\left(2\cdot \mathrm {sen} \,a\cos a\right)\cdot \mathrm {sen} \,a\;\!$ $=\left(2\cos ^{2}a-1\right)\cdot \cos a-2\mathrm {sen} \,^{2}a\cdot \cos a\;\!$

Utilizando a Identidade relacional básica e trabalhando algebricamente, temos:

    $\cos 3a=4\cos ^{3}a-3\cos a\;\!$

Expressões para $\cos 4a,\cos 5a,...\;\!$ são obtidas por processos semelhantes.

Seno

Ultilizando a fórmula do seno da soma:

• $\mathrm {sen} \,2a=\mathrm {sen} \,\left(a+a\right)=\mathrm {sen} \,a\cdot \cos a+\mathrm {sen} \,a\cdot \cos a\;\!$

Então, temos:

  $\mathrm {sen} \,2a=2\cdot \mathrm {sen} \,a\cos a\;\!$

• $\mathrm {sen} \,3a=\mathrm {sen} \,\left(2a+a\right)=\mathrm {sen} \,2a\cdot \cos a+\cos 2a\cdot \mathrm {sen} \,a\;\!$

$=\left(2\cdot \mathrm {sen} \,a\cdot \cos a\right)\cdot \cos a+\mathrm {sen} \,a\left(1-2\cdot \ sen^{2}a\right)\;\!$

Utilizando a Identidade relacional básica:

• $=2\cdot \mathrm {sen} \,a\cdot \left(1-\mathrm {sen} \,^{2}a\right)+\mathrm {sen} \,a\cdot \left(1-2\cdot \mathrm {sen} \,^{2}a\right)\;\!$

Logo:

  $\mathrm {sen} \,3a=3\cdot \mathrm {sen} \,a-4\mathrm {sen} \,^{3}a\;\!$

Expressões para $\mathrm {sen} \,4a,\mathrm {sen} \,5a,...\;\!$ são obtidas por processos semelhantes.

Tangente

A partir da fórmula da tangente da soma:

• $\tan 2a=\tan \left(a+a\right)={\frac {\tan a+\tan a}{1-\tan a\cdot \tan a}}\;\!$

Logo:

   $\tan 2a={\frac {2\cdot \tan a}{1-\tan ^{2}a}}$

• $\tan 3a=\tan \left(2a+a\right)={\frac {\tan 2a+\tan a}{1-\tan 2a\cdot \tan a}}\;\!$

Ao subtituimos a fórmula anterior para $\tan 2a\;\!$ e simplificarmos, obtemos como fórmula final:

  $\tan 3a={\frac {3\cdot \tan a-\tan ^{3}a}{1-3\cdot \tan ^{2}a}}\;\!$

Expressões para $\tan 4a,\tan 5a,...\;\!$ são obtidas por processos semelhantes.

Exemplo

• Se $\cot x={\frac {5}{3}}\;\!$ e $0<x<{\frac {\pi }{2}}\;\!,$ calcule $\cos 2x\;\!.$

• • Resolução

Precisamos encontrar $\mathrm {sen} \,x\;\!$ para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade $\csc ^{2}x=1+\cot ^{2}x\;\!,$ que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que $\csc x={\frac {1}{\mathrm {sen} \,x}}\;\!.$ Como $0<x<{\frac {\pi }{2}}\;\!,$ o valor da cossecante é positivo.

$\csc x={\sqrt {1+\cot ^{2}x}}={\sqrt {1+{\frac {25}{9}}}}={\sqrt {\frac {34}{9}}}={\frac {\sqrt {34}}{3}}$

De onde vem $\mathrm {sen} \,x={\frac {3}{\sqrt {34}}}.$

Podemos finalmente calcular:

$\cos 2x=1-2\cdot \ sin^{2}x=1-2\cdot {\frac {9}{34}}=1-{\frac {18}{34}}={\frac {8}{17}}.$

Bissecção de arcos

Cosseno

Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para $\cos 2a\;\!$ a fim de que, dado o cosseno de uma arco $x\;\!$ qualquer, possamos obter $\cos {\frac {x}{2}},\mathrm {sen} \,{\frac {x}{2}}\;\!$ ou $\tan {\frac {x}{2}}\;\!.$ Para isto, consideraremos $2a=x\;\!.$

A partir de $\cos 2a=2\cos ^{2}a-1\;\!:$

• $\cos x=2\cdot \cos ^{2}{\frac {x}{2}}-1$

   $\Rightarrow \cos {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}$

A partir de $\cos 2a=1-2\mathrm {sen} \,^{2}a\;\!,$ temos:

• $\cos x=1-2\cdot \mathrm {sen} \,^{2}{\frac {x}{2}}\;\!$

   $\Rightarrow \mathrm {sen} \,{\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}$

Finalmente, sabendo que $\tan x={\frac {\mathrm {sen} \,x}{\cos x}},$ temos:

• $\tan {\frac {x}{2}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}}}$

  $\Rightarrow \tan {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}$

Seno

Caso nos seja dado o $\mathrm {sen} \,x\;\!,$ sabendo que $\cos x=\pm {\sqrt {1-\mathrm {sen} \,^{2}x}},$ calculamos $\cos x\;\!$ e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.

Tangente

Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular $\mathrm {sen} \,x\;\!,$ $\cos x\;\!$ e $\tan x\;\!,$ conhecida a $\tan {\frac {x}{2}}.$ Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação

$\mathrm {sen} \,2a=2\cdot \mathrm {sen} \,a\cos a=2\cdot \mathrm {sen} \,a\cdot {\frac {\cos ^{2}a}{\cos a}}=2\cdot {\frac {\mathrm {sen} \,a}{\cos a}}\cdot {\frac {1}{\sec ^{2}a}}={\frac {2\cdot \tan a}{1+\tan ^{2}a}}\;\!$

$\tan 2a={\frac {2\cdot \tan a}{1-\tan ^{2}a}}$

e consideraremos $2a=x\;\!,$ de modo que:

      $\mathrm {sen} \,x={\frac {2\cdot \tan {\frac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}$

      $\tan x={\frac {2\cdot \tan {\frac {x}{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}$

      $\cos x={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}$

Exemplos

• Se $\mathrm {sen} \,x={\frac {4}{5}},$ com $0<x<{\frac {\pi }{2}},$ calcule as funções circulares de ${\frac {x}{2}}.$

• • Resolução

$\cos x={\sqrt {1-\mathrm {sen} \,^{2}x}}={\sqrt {1-{\frac {16}{25}}}}={\sqrt {\frac {9}{25}}}={\frac {3}{5}}$

Logo, temos:

$\mathrm {sen} \,{\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {3}{5}}}{2}}}={\sqrt {\frac {1}{5}}}:$ $\cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {3}{5}}}{2}}}={\sqrt {\frac {4}{5}}}={\frac {2{\sqrt {5}}}{5}}:$ $\tan {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {3}{5}}}{1+{\frac {3}{5}}}}}={\sqrt {\frac {1}{4}}}={\frac {1}{2}}$

• Se $\tan {\frac {x}{2}}={\frac {1}{4}},$ determine $\mathrm {sen} \,x\;\!.$

• • Resolução

Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que:

$\mathrm {sen} \,x={\frac {2\cdot \tan {\frac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\cdot {\frac {1}{4}}}{1+{\frac {1}{16}}}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {17}{16}}}={\frac {8}{17}}$

Exercícios

• Matemática elementar/Trigonometria/Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos/Exercícios

Esta página foi eleita pelos colaboradores como uma das melhores do Wikilivros. Para mais informações, consulte a página de votações.