Nesta página aprenderemos a efetuar operações trigonométricas que envolvam a adição, subtração ou multiplicação de números reais.

Considere a figura ao lado. Sejam três pontos
e
pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são
e
Os arcos
e
têm medidas iguais, logo as cordas
e
também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:
Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:
Sabemos que
A partir disto e sendo
obtemos:
![{\displaystyle \mathrm {sen} \,\left(a+b\right)=\cos \left[{\frac {\pi }{2}}-\left(a+b\right)\right]=\cos \left[\left({\frac {\pi }{2}}-a\right)-b\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0816e1dd2a297cfb5d28dab327714734a890da1)
Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:

Substituindo
e
nesta expressão, então:
Sabendo que
e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para

Então:
Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se
e
porque a relação
só é válida se e somente se
Como
podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para

Simplificando, temos:
Como
é válida se e somente se
a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se
e


Para calcular
fazemos uso da igualdade
na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:
![{\displaystyle \cos \left(a-b\right)=\cos \left[a+\left(-b\right)\right]\;\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025272648f7390cf4e3d1adad5add5a6c558d1aa)
Então:
Podemos fazer a mesma substituição da igualdade
para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:
![{\displaystyle \mathrm {sen} \,\left(a-b\right)=\mathrm {sen} \,\left[a+\left(-b\right)\right]=\mathrm {sen} \,a\cdot \cos \left(-b\right)+\mathrm {sen} \,\left(-b\right)\cdot \cos a\;\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9609d266adb1eb06767bb9f997d1ba70a46b4b)
Logo,
Usando novamente a igualdade
e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:
![{\displaystyle \tan \left(a-b\right)=\tan \left[a+\left(-b\right)\right]={\frac {\tan a+\tan \left(-b\right)}{1-\tan a\cdot \tan \left(-b\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b2c317c03ad279d7bc689e53c3c5d511474b98)
Simplificando, temos:
Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se
e
Mais uma vez, usaremos a igualdade
e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:
![{\displaystyle \cot \left(a-b\right)=\cot \left[a+\left(-b\right)\right]={\frac {\cot a\cdot \cot \left(-b\right)-1}{\cot a+\cot \left(-b\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563cf30ca50270ab92ad566f1fa339e3513d3c38)
Logo, obtemos a identidade:
Está fórmula só pode ser aplicada se
e

- Dados
e
calcule
É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de
utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo
conforme será mostrado adiante.
Usando a fórmula do cosseno da soma, temos:

Logo, utilizando a Identidade relacional básica, podemos obter duas fórmulas finais:
ou

Utilizando a Identidade relacional básica e trabalhando algebricamente, temos:
Expressões para
são obtidas por processos semelhantes.
Ultilizando a fórmula do seno da soma:

Então, temos:

Utilizando a Identidade relacional básica:

Logo:
Expressões para
são obtidas por processos semelhantes.
A partir da fórmula da tangente da soma:

Logo:

Ao subtituimos a fórmula anterior para
e simplificarmos, obtemos como fórmula final:
Expressões para
são obtidas por processos semelhantes.
- Se
e
calcule
Precisamos encontrar
para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade
que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que
Como
o valor da cossecante é positivo.
De onde vem
Podemos finalmente calcular:
Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para
a fim de que, dado o cosseno de uma arco
qualquer, possamos obter
ou
Para isto, consideraremos
A partir de

A partir de
temos:

Finalmente, sabendo que
temos:

Caso nos seja dado o
sabendo que
calculamos
e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.
Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular
e
conhecida a
Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação
e consideraremos
de modo que:
- Se
com
calcule as funções circulares de
Logo, temos:

- Se
determine
Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que:
