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Índice

Créditos

Este livro é resultado do conhecimento, do empenho e da dedicação de várias pessoas, que acreditam que o conhecimento deve ser de todos os que aspiram obtê-lo, sendo a doação um ato que é recompensado pela satisfação em difundir o saber.

Wikilivristas que cooperaram com o desenvolvimento e manutenção deste wikilivro:

Esses nomes não estão na ordem de importância e sim na ordem com que foram aparecendo para ajudar.

Objetivo


O Objetivo Principal[editar | editar código-fonte]

deste livro é que qualquer pessoa que tenha feito um bom curso de análise real e que esteja interessado em aprender mais sobre análise, fique satisfeito depois de uma longa leitura desses textos. É claro que, às vezes, uma única leitura é insuficiente, pois se trata de conceitos abstratos. Abaixo temos o que chamamos de requisitos básicos. Estes que temos que saber primeiro, para que entendamos tudo quanto está escrito no livro de análise no Rn.

Outros Objetivos[editar | editar código-fonte]

  • Quando o livro-texto já estiver quase pronto, colocar a disposição exercícios, e também suas resoluções.
  • Buscar ser o melhor livro na área, pois ele será auto-explicativo.
  • Evitar a trivialidade. Conforme os leitores forem tendo dúvidas, comunicarão pelas discussões para que possamos melhorar o texto para que ele se torne auto-explicativo.
  • Sempre que alguém ver alguma falha, erro, equívoco ou algo que falte do livro-texto sempre estará aberto a novas opiniões.

Espaços vetoriais


Espaço Vetorial [editar | editar código-fonte]

  • Definição:
O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a , cujo :
Quando n = 1 (reta); n = 2 (plano); n = 3 (espaço euclidiano tridimensional); n = 0 (espaço nulo)
  • Os pontos :
são todos os pontos a = , onde
  • Unicidade de pontos:
Dados a = e b = . Temos que
Relembrando da análise real que

Propriedades do Espaço Vetorial [editar | editar código-fonte]

  • Soma e produto no
Dados
  • Estas operações fazem de um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo dos .
O elemento neutro para adição é
O simétrico de é assim
  • Os elementos serão chamados pontos ou vetores
  • Chamaremos aplicação linear ao invés de transformação linear.
  • A base canônica de é formada pelos vetores:
  • Dado temos que

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Podemos estabelecer uma bijeção natural entre o conjunto das aplicações lineares e o conjunto das matrizes reais com n linhas e m colunas.
    • A matriz correspondente à aplicação linear A é definida pelas igualdades:
(*)
    • Assim a matriz da aplicação linear tem como colunas os m vetores , transformados por A dos vetores da base canônica de
    • Reciprocamente dada uma matriz com n linhas e m colunas, a igualdade (*) define os valores de uma aplicação linear nos m vetores da base canônica. Isto é suficiente para definir o valor de A em qualquer vetor tendo-se
    • Cada matriz real pode ser considerada como um ponto do espaço euclidiano , basta escrever suas colunas uma após a outra numa linha. Assim sempre que for conveniente, podemos substituir o conjunto das aplicações lineares de em ; ora pelo conjunto das matrizes reais com n linhas e m colunas; ora pelo espaço euclidiano nm-dimensional.
    • são isomorfos.
  • Os funcionais lineares são um tipo especial de aplicação linear.
    • Sejam os valores que o funcional assume nos vetores da base canônica. Para qualquer , temos , logo , ou seja,
    • Note que é a matriz da aplicação linear
  • Seja o funcional que se anula em todos os vetores da base canônica exceto um, o vetor :
onde se tem . Então i-ésima coordenada de . Assim, é a i-ésima projeção do produto cartesiano . Os funcionais lineares constituem uma base do espaço vetorial chamada a base dual da base canônica de
  • Uma aplicação chama-se bilinear quando é linear separadamente em relação a cada uma das suas variáveis. Então é verdade que:
quaisquer que sejam .
    • Se é bilinear então, para arbitrários vale:
:
de modo que fica inteiramente determinado pelos mn valores que assume ns pares ordenados de vetores básicos. Note que quaisquer que sejam .

Produto Interno[editar | editar código-fonte]

O produto interno é a função .

  • simetria:
  • bilinear
    • soma:
    • produto:
  • positivo:

Lema 1 (Produto interno canônico)

tome

Norma[editar | editar código-fonte]

Dado é a norma do vetor x (norma euclidiana)

  • De maneira geral, é uma norma então

Desigualdade de Cauchy-Schwarz[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bolas e conjuntos limitados


Bolas e conjuntos limitados[editar | editar código-fonte]

Na reta[editar | editar código-fonte]

Quando temos a seguinte vizinhança em relação a um ponto a (números próximos o quanto se queira)

  • Seja Que é o mesmo que dizer que temos um conjunto de elementos, cuja norma da diferença entre um elemento a e certos elementos x é menor que um certo delta.

No [editar | editar código-fonte]

Quando mudamos da reta pro , a norma significa agora que temos uma bola, que engloba todos os elementos em qualquer direção, e nosso delta é o raio da bola. Então nossa vizinhança se chamará bola.

  • quanto a ultima igualdade dizemos, a bola de centro a e raio r

Projeção[editar | editar código-fonte]

A i-ésima projeção de um vetor é a i-ésima coordenada do vetor

Ver também[editar | editar código-fonte]

Sequências no espaço euclidiano


Sequências no espaço euclidiano[editar | editar código-fonte]

Seja uma sequência onde é dito conjunto dos termos da sequência .

  • Se , ou seja, todos os termos da sequência pertencem ao , então é dita sequência no espaço euclidiano.
  • Uma sequência é limitada quando todos os seus termos o são, ou seja, .
Logo se tomarmos normas de todos os termos da sequência, A é o maior deles.
  • Seja uma sequência no espaço euclidiano. Como seus termos são vetores, então cada coordenada de cada termo , ou seja, cada i-ésima coordenada de um termo da sequência faz parte de uma sequência. Se projetarmos a i-ésima coordenada do termo geral, , estaremos obtendo n sequências
  • Para uma sequência ser limitada é necessário, e suficiente, que cada i-ésima coordenada o seja.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Caminhos e integrais de caminho


Caminhos diferenciáveis[editar | editar código-fonte]

Um caminho entre A e B.

Um caminho em é uma função contínua f de um intervalo fechado I (que pode ser infinito, mas deve ter tamanho maior que zero) em . Algumas vezes, por abuso de notação, considera-se que o caminho é a imagem a função, ou f(I).

Quando o intervalo I possui ponto inicial a ou ponto final b, temos que o ponto inicial do caminho é f(a) e o ponto final é f(b). Um caminho de A até B, sendo A e B pontos do espaço, é um caminho com ponto inicial A e ponto final B.

Observe-se que um caminho não é somente um subconjunto de que se parece com uma curva, pois também inclui uma parametrização. Por exemplo, os caminhos em R definidos pelas funções c e d de domínio [0, 1] dadas por c(t) = t e por d(t) = t2 são dois caminhos distintos que têm a mesma imagem: o intervalo [0,1].

Um caminho é diferenciável quando a função f for diferenciável.

Integral de um caminho[editar | editar código-fonte]

Veja também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Caminho (topologia)

Derivadas parciais e direcionais


Derivadas Parciais[editar | editar código-fonte]

Dados temos:

  • O acréscimo h ao vetor a resulta no vetor a+h.
    • Dizer que h é o acréscimo de a siginifica que (a+h) - (a) = h
  • A imagem de a é f(a) e a imagem de a+h é
    • O acréscimo que h produz na imagem é o acréscimo
  • O segmento de reta de um ponto p ao ponto q é dado por
    • O segmento de reta de um ponto a na direção de um é dado por

I-ésima Derivada Parcial[editar | editar código-fonte]

Seja o aberto () tal que . Dado o ponto e ,

a i-ésima derivada parcial de no ponto a é o limite
é a distância um ao outro, então temos .
Aqui ficou implícito que

função real de n variáveis por um caminho[editar | editar código-fonte]

Seja o aberto () tal que . Dado o ponto e

Derivadas direcionais[editar | editar código-fonte]

Bibliografia

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Recursos iniciais[editar | editar código-fonte]

Tradutores automáticos[editar | editar código-fonte]