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Análise rn/Espaços vetoriais

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Espaço Vetorial

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  • Definição:
O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a , cujo :
Quando n = 1 (reta); n = 2 (plano); n = 3 (espaço euclidiano tridimensional); n = 0 (espaço nulo)
  • Os pontos :
são todos os pontos a = , onde
  • Unicidade de pontos:
Dados a = e b = . Temos que
Relembrando da análise real que

Propriedades do Espaço Vetorial

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  • Soma e produto no
Dados
  • Estas operações fazem de um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo dos .
O elemento neutro para adição é
O simétrico de é assim
  • Os elementos serão chamados pontos ou vetores
  • Chamaremos aplicação linear ao invés de transformação linear.
  • A base canônica de é formada pelos vetores:
  • Dado temos que
  • Podemos estabelecer uma bijeção natural entre o conjunto das aplicações lineares e o conjunto das matrizes reais com n linhas e m colunas.
    • A matriz correspondente à aplicação linear A é definida pelas igualdades:
(*)
    • Assim a matriz da aplicação linear tem como colunas os m vetores , transformados por A dos vetores da base canônica de
    • Reciprocamente dada uma matriz com n linhas e m colunas, a igualdade (*) define os valores de uma aplicação linear nos m vetores da base canônica. Isto é suficiente para definir o valor de A em qualquer vetor tendo-se
    • Cada matriz real pode ser considerada como um ponto do espaço euclidiano , basta escrever suas colunas uma após a outra numa linha. Assim sempre que for conveniente, podemos substituir o conjunto das aplicações lineares de em ; ora pelo conjunto das matrizes reais com n linhas e m colunas; ora pelo espaço euclidiano nm-dimensional.
    • são isomorfos.
  • Os funcionais lineares são um tipo especial de aplicação linear.
    • Sejam os valores que o funcional assume nos vetores da base canônica. Para qualquer , temos , logo , ou seja,
    • Note que é a matriz da aplicação linear
  • Seja o funcional que se anula em todos os vetores da base canônica exceto um, o vetor :
onde se tem . Então i-ésima coordenada de . Assim, é a i-ésima projeção do produto cartesiano . Os funcionais lineares constituem uma base do espaço vetorial chamada a base dual da base canônica de
  • Uma aplicação chama-se bilinear quando é linear separadamente em relação a cada uma das suas variáveis. Então é verdade que:
quaisquer que sejam .
    • Se é bilinear então, para arbitrários vale:
:
de modo que fica inteiramente determinado pelos mn valores que assume ns pares ordenados de vetores básicos. Note que quaisquer que sejam .

Produto Interno

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O produto interno é a função .

  • simetria:
  • bilinear
    • soma:
    • produto:
  • positivo:

Lema 1 (Produto interno canônico)

tome

Dado é a norma do vetor x (norma euclidiana)

  • De maneira geral, é uma norma então

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

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