Análise rn/Espaços vetoriais
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Espaço Vetorial [editar | editar código-fonte]
- Definição:
- O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a , cujo :
- Quando n = 1 (reta); n = 2 (plano); n = 3 (espaço euclidiano tridimensional); n = 0 (espaço nulo)
- Os pontos :
- são todos os pontos a = , onde
- Unicidade de pontos:
- Dados a = e b = . Temos que
- Relembrando da análise real que
Propriedades do Espaço Vetorial [editar | editar código-fonte]
- Soma e produto no
- Dados
- Estas operações fazem de um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo dos .
- O elemento neutro para adição é
- O simétrico de é assim
- Os elementos serão chamados pontos ou vetores
- Chamaremos aplicação linear ao invés de transformação linear.
- A base canônica de é formada pelos vetores:
- Dado temos que
Exemplos[editar | editar código-fonte]
- Podemos estabelecer uma bijeção natural entre o conjunto das aplicações lineares e o conjunto das matrizes reais com n linhas e m colunas.
- A matriz correspondente à aplicação linear A é definida pelas igualdades:
- (*)
- Assim a matriz da aplicação linear tem como colunas os m vetores , transformados por A dos vetores da base canônica de
- Reciprocamente dada uma matriz com n linhas e m colunas, a igualdade (*) define os valores de uma aplicação linear nos m vetores da base canônica. Isto é suficiente para definir o valor de A em qualquer vetor tendo-se
- Cada matriz real pode ser considerada como um ponto do espaço euclidiano , basta escrever suas colunas uma após a outra numa linha. Assim sempre que for conveniente, podemos substituir o conjunto das aplicações lineares de em ; ora pelo conjunto das matrizes reais com n linhas e m colunas; ora pelo espaço euclidiano nm-dimensional.
- são isomorfos.
- Os funcionais lineares são um tipo especial de aplicação linear.
- Sejam os valores que o funcional assume nos vetores da base canônica. Para qualquer , temos , logo , ou seja,
- Note que é a matriz da aplicação linear
- Seja o funcional que se anula em todos os vetores da base canônica exceto um, o vetor :
- onde se tem . Então i-ésima coordenada de . Assim, é a i-ésima projeção do produto cartesiano . Os funcionais lineares constituem uma base do espaço vetorial chamada a base dual da base canônica de
- Uma aplicação chama-se bilinear quando é linear separadamente em relação a cada uma das suas variáveis. Então é verdade que:
-
- quaisquer que sejam .
- Se é bilinear então, para arbitrários vale:
- :
- de modo que fica inteiramente determinado pelos mn valores que assume ns pares ordenados de vetores básicos. Note que quaisquer que sejam .
Produto Interno[editar | editar código-fonte]
O produto interno é a função .
- simetria:
- bilinear
- soma:
- produto:
- positivo:
Lema 1 (Produto interno canônico)
- tome
Norma[editar | editar código-fonte]
Dado é a norma do vetor x (norma euclidiana)
- De maneira geral, é uma norma então
Desigualdade de Cauchy-Schwarz[editar | editar código-fonte]