Origem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.
O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, cujo
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
:
R
n
=
R
×
R
×
⋯
×
R
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots \times \mathbb {R} }
Quando n = 1 (reta); n = 2 (plano); n = 3 (espaço euclidiano tridimensional); n = 0 (espaço nulo)
Os pontos
a
∈
R
n
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}
:
são todos os pontos a =
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}
, onde
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
∈
R
{\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\in \mathbb {R} }
Dados a =
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}
e b =
(
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
)
{\displaystyle (b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})}
. Temos que
a
=
b
⇔
a
i
=
b
i
,
∀
i
∈
I
n
{\displaystyle a=b\Leftrightarrow a_{i}=b_{i},\forall i\in I_{n}}
Relembrando da análise real que
I
n
=
{
i
∈
N
;
1
≤
i
≤
n
}
{\displaystyle I_{n}=\{i\in \mathbb {N} ;1\leq i\leq n\}}
Soma e produto no
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Dados
a
,
b
∈
R
n
,
α
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n},\alpha \in \mathbb {R} }
a
+
b
=
(
a
1
+
b
1
,
⋯
,
a
n
+
b
n
)
{\displaystyle a+b=(a_{1}+b_{1},\cdots ,a_{n}+b_{n})}
α
⋅
a
=
(
α
a
1
,
⋯
,
α
a
n
)
{\displaystyle \alpha \cdot a=(\alpha a_{1},\cdots ,\alpha a_{n})}
Estas operações fazem de
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo dos
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
.
O elemento neutro para adição é
0
→
=
(
0
,
0
,
.
.
.
,
0
)
{\displaystyle {\vec {0}}=(0,0,...,0)}
O simétrico de
a
{\displaystyle a\;}
é
−
a
{\displaystyle -a\;}
assim
−
a
=
(
−
a
1
,
−
a
2
,
⋯
,
−
a
n
)
{\displaystyle -a=(-a_{1},-a_{2},\cdots ,-a_{n})}
Os elementos
a
∈
R
n
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}
serão chamados pontos ou vetores
Chamaremos aplicação linear ao invés de transformação linear .
A base canônica de
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
é formada pelos vetores:
e
1
=
(
1
,
0
,
0
,
0
,
⋯
,
0
,
0
,
0
)
;
e
2
=
(
0
,
1
,
0
,
0
,
⋯
,
0
,
0
,
0
)
;
⋯
;
e
n
=
(
0
,
0
,
0
,
0
,
⋯
,
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle e_{1}=(1,0,0,0,\cdots ,0,0,0);e_{2}=(0,1,0,0,\cdots ,0,0,0);\cdots ;e_{n}=(0,0,0,0,\cdots ,0,0,1)}
Dado
a
∈
R
n
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}
temos que
a
=
∑
i
=
1
n
a
i
⋅
e
i
{\displaystyle a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot e_{i}}
Podemos estabelecer uma bijeção natural entre o conjunto
L
(
R
m
;
R
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})}
das aplicações lineares
A
:
R
m
→
R
n
{\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
e o conjunto
M
(
n
×
m
)
{\displaystyle M(n\times m)}
das matrizes reais
(
m
i
j
)
{\displaystyle (m_{ij})\;}
com n linhas e m colunas.
A matriz
(
M
i
j
)
{\displaystyle (M_{ij})}
correspondente à aplicação linear A é definida pelas igualdades:
(*)
A
⋅
e
j
=
∑
i
=
1
n
a
i
j
e
j
;
j
∈
I
m
{\displaystyle A\cdot e_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}e_{j};j\in I_{m}}
Assim a matriz
(
a
i
j
)
{\displaystyle (a_{ij})}
da aplicação linear
A
:
R
m
→
R
n
{\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
tem como colunas os m vetores
A
⋅
e
j
=
(
a
1
j
,
⋯
,
a
n
j
)
∈
R
n
{\displaystyle A\cdot e_{j}=(a_{1j},\cdots ,a_{nj})\in \mathbb {R} ^{n}}
, transformados por A dos vetores da base canônica de
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Reciprocamente dada uma matriz
(
a
i
j
)
{\displaystyle (a_{ij})}
com n linhas e m colunas, a igualdade (*) define os valores de uma aplicação linear
A
:
R
m
→
R
n
{\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
nos m vetores da base canônica. Isto é suficiente para definir o valor de A em qualquer vetor
a
∈
R
m
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{m}}
tendo-se
A
⋅
x
=
∑
j
=
1
m
x
j
⋅
A
e
j
{\displaystyle A\cdot x=\sum _{j=1}^{m}xj\cdot Ae_{j}}
Cada matriz real
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
pode ser considerada como um ponto do espaço euclidiano
R
n
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{nm}}
, basta escrever suas colunas uma após a outra numa linha. Assim sempre que for conveniente, podemos substituir o conjunto
L
(
R
m
;
R
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})}
das aplicações lineares de
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
em
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
; ora pelo conjunto
M
(
n
×
m
)
{\displaystyle M(n\times m)}
das matrizes reais com n linhas e m colunas; ora pelo espaço euclidiano nm-dimensional
R
n
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{nm}}
.
M
(
n
x
m
)
≈
L
(
R
m
;
R
n
)
≈
R
n
m
{\displaystyle M(nxm)\approx {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})\approx \mathbb {R} ^{nm}}
são isomorfos.
Os funcionais lineares
f
:
R
m
→
R
n
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
são um tipo especial de aplicação linear.
Sejam
y
j
=
f
(
e
j
)
;
j
∈
I
m
{\displaystyle y_{j}=f(e_{j});j\in I_{m}}
os valores que o funcional assume nos vetores da base canônica. Para qualquer
a
∈
R
m
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{m}}
, temos
a
=
∑
i
=
1
m
a
i
e
i
{\displaystyle a=\sum _{i=1}^{m}a_{i}e_{i}}
, logo
f
(
a
)
=
∑
i
=
1
m
a
i
f
(
e
i
)
{\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}f(e_{i})}
, ou seja,
f
(
a
)
=
∑
i
=
1
m
y
i
a
i
{\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{m}y_{i}a_{i}}
Note que
(
y
1
,
⋯
,
y
n
)
{\displaystyle (y_{1},\cdots ,y_{n})}
é a matriz
1
×
m
{\displaystyle 1\times m}
da aplicação linear
f
{\displaystyle f}
Seja
π
i
:
R
m
→
R
;
i
∈
I
m
{\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ;i\in I_{m}}
o funcional que se anula em todos os vetores da base canônica exceto um, o vetor
e
i
{\displaystyle e_{i}}
:
onde se tem
π
i
(
e
i
)
=
1
{\displaystyle \pi _{i}(e_{i})=1}
. Então
π
i
(
a
)
=
a
i
=
{\displaystyle \pi _{i}(a)=a_{i}=}
i-ésima coordenada de
a
∈
R
m
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{m}}
. Assim,
π
i
{\displaystyle \pi _{i}}
é a i-ésima projeção do produto cartesiano
R
m
em
R
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}{\mbox{ em }}\mathbb {R} }
. Os funcionais lineares
π
i
;
i
∈
I
m
{\displaystyle \pi _{i};i\in I_{m}}
constituem uma base do espaço vetorial
L
(
R
m
;
R
n
)
=
(
R
)
∗
{\displaystyle {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})=(\mathbb {R} )^{*}}
chamada a base dual da base canônica de
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
Uma aplicação
φ
:
R
m
×
R
n
→
R
p
{\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{p}}
chama-se bilinear quando é linear separadamente em relação a cada uma das suas variáveis. Então é verdade que:
φ
(
a
+
a
′
,
b
)
=
φ
(
a
,
b
)
+
φ
(
a
′
,
b
)
{\displaystyle \varphi (a+a',b)=\varphi (a,b)+\varphi (a',b)}
φ
(
a
,
b
+
b
′
)
=
φ
(
a
,
b
)
+
φ
(
a
,
b
′
)
{\displaystyle \varphi (a,b+b')=\varphi (a,b)+\varphi (a,b')}
φ
(
α
a
,
b
)
=
α
⋅
φ
(
a
,
b
)
{\displaystyle \varphi (\alpha a,b)=\alpha \cdot \varphi (a,b)}
φ
(
a
,
α
b
)
=
α
⋅
φ
(
a
,
b
)
{\displaystyle \varphi (a,\alpha b)=\alpha \cdot \varphi (a,b)}
quaisquer que sejam
a
,
a
′
∈
R
m
;
b
,
b
′
∈
R
n
e
α
∈
R
{\displaystyle a,a'\in \mathbb {R} ^{m};b,b'\in \mathbb {R} ^{n}e\alpha \in \mathbb {R} }
.
Se
φ
{\displaystyle \varphi }
é bilinear então, para
a
∈
R
m
e
b
∈
R
n
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{m}{\mbox{ e }}b\in \mathbb {R} ^{n}}
arbitrários vale:
φ
(
a
,
b
)
=
φ
(
∑
a
i
e
i
,
∑
b
j
e
j
)
=
∑
a
i
b
i
φ
(
e
i
,
e
j
)
{\displaystyle \varphi (a,b)=\varphi (\sum a_{i}e_{i},\sum b_{j}e_{j})=\sum a_{i}b_{i}\varphi (e_{i},e_{j})}
:
de modo que
φ
{\displaystyle \varphi }
fica inteiramente determinado pelos mn valores
φ
(
e
i
,
e
j
)
∈
R
p
{\displaystyle \varphi (e_{i},e_{j})\in \mathbb {R} ^{p}}
que assume ns pares ordenados de vetores básicos
(
e
i
,
e
j
)
{\displaystyle (e_{i},e_{j})}
. Note que
φ
(
a
,
0
)
=
φ
(
0
,
b
)
=
0
{\displaystyle \varphi (a,0)=\varphi (0,b)=0}
quaisquer que sejam
a
∈
R
m
e
b
∈
R
n
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{m}{\mbox{ e }}b\in \mathbb {R} ^{n}}
.
O produto interno é a função
<
,
>:
(
E
×
E
→
R
)
{\displaystyle <,>:(E\times E\rightarrow \mathbb {R} )}
.
simetria:
<
a
,
b
>
=
<
b
,
a
>
,
∀
a
,
b
∈
E
{\displaystyle <a,b>\;=\;<b,a>,\forall a,b\in E}
bilinear
soma:
<
a
+
a
′
,
b
>
=
<
a
,
b
>
+
<
a
′
,
b
>
,
∀
a
,
a
′
,
b
∈
E
{\displaystyle <a+a',b>\;=\;<a,b>+<a',b>,\forall a,a',b\in E}
produto:
<
α
a
,
b
>
=
α
<
b
,
a
>
,
∀
a
,
b
∈
E
α
∈
R
{\displaystyle <\alpha a,b>\;=\;\alpha <b,a>,\forall a,b\in E\alpha \in \mathbb {R} }
positivo:
<
a
,
a
>
>
0
,
com
a
≠
0
{\displaystyle <a,a>\;>0,{\mbox{ com }}a\neq 0}
Lema 1 (Produto interno canônico)
S
e
j
a
f
:
R
n
×
R
n
↦
R
,
f
(
x
,
y
)
=<
x
,
y
>
{\displaystyle Seja\;f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ,f(x,y)=<x,y>}
tome
a
,
b
∈
R
n
,
<
a
,
b
>
=
a
1
b
1
+
.
.
.
+
a
n
b
n
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n},<a,b>\;=\;a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n}\;=\;\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}}
Dado
x
∈
R
,
<
x
,
x
>
=
|
x
|
2
=
∑
i
=
1
n
x
i
2
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,<x,x>\;=\;|x|^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}
é a norma do vetor x (norma euclidiana)
De maneira geral,
n
:
R
n
↦
R
{\displaystyle n:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} }
é uma norma então
n
(
a
+
b
)
≤
n
(
a
)
+
n
(
b
)
{\displaystyle n(a+b)\leq n(a)+n(b)}
n
(
α
a
)
=
α
n
(
a
)
{\displaystyle n(\alpha a)\;=\;\alpha n(a)}
n
(
a
)
≥
0
e
n
(
a
)
=
0
<=>
a
=
0
{\displaystyle n(a)\geq 0\;e\;n(a)=0<=>a=0}
|
<
a
,
b
>
|
≤
|
a
|
|
b
|
,
∀
a
,
b
∈
R
n
{\displaystyle |<a,b>|\leq |a||b|,\forall a,b\in \mathbb {R} ^{n}}