Análise rn/Caminhos e integrais de caminho

Caminhos diferenciáveis

Um caminho entre A e B.

Um caminho em $\mathbb {R} ^{n}\,$ é uma função contínua f de um intervalo fechado I (que pode ser infinito, mas deve ter tamanho maior que zero) em $\mathbb {R} ^{n}\,$. Algumas vezes, por abuso de notação, considera-se que o caminho é a imagem a função, ou f(I).

Quando o intervalo I possui ponto inicial a ou ponto final b, temos que o ponto inicial do caminho é f(a) e o ponto final é f(b). Um caminho de A até B, sendo A e B pontos do espaço, é um caminho com ponto inicial A e ponto final B.

Observe-se que um caminho não é somente um subconjunto de $\mathbb {R} ^{n}\,$ que se parece com uma curva, pois também inclui uma parametrização. Por exemplo, os caminhos em R definidos pelas funções c e d de domínio [0, 1] dadas por c(t) = t e por d(t) = t² são dois caminhos distintos que têm a mesma imagem: o intervalo [0,1].

Um caminho é diferenciável quando a função f for diferenciável.