Teoria dos conjuntos: diferenças entre revisões
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Revisão das 06h28min de 13 de dezembro de 2010
Teoria dos conjuntos é a teoria matemática que trata das propriedades dos conjuntos. Ela tem sua origem nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845–1918), e se baseia na ideia de definir conjunto como uma noção primitiva. Também chamada de teoria ingênua ou intuitiva devido à descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) relacionadas à definição de conjunto. Estas antinomias na teoria dos conjuntos conduziram a matemática a axiomatizar as teorias matemáticas, com influências profundas sobre a lógica e os fundamentos da matemática.
Este livro aborda a teoria dos conjuntos de uma forma axiomática, apresentado os Axiomas de Zermelo-Fraenkel e suas consequências, com construções de vários conjuntos conhecidos (números naturais, os ordinais, números reais) a partir dos axiomas. Para ver a teoria dos conjuntos tratada de forma mais elementar, consulte o capítulo Conjuntos do livro Matemática elementar.
Quase todos os resultados da matemática moderna (e todos os resultados da matemática com aplicação em física, química, engenharia, finanças, etc) podem ser demonstrados a partir destas construções e dos axiomas da teoria dos conjuntos; as fundações da matemática, portanto, são estes axiomas.
Para este livro, é necessário um bom conhecimento de lógica, e da notação simbólica.
Este livro apresenta os axiomas em sequência, de forma que os resultados de cada capítulo sejam construídos a partir dos resultados e definições dos capítulos anteriores.
Índice
- Capítulo 1: Conjuntos
- Capítulo 2: Axiomas (primeira parte)
- Axioma da extensão
- Subconjuntos, subconjunto próprio
- Axioma da separação
- conjunto vazio, interseção, diferença
- Axioma do par
- {x, y}, {x}, {}, 1, 2, par ordenado
- Revendo o axioma da separação
- fórmulas bem formadas
- Axioma da união
- , {x, y, z}, {w, x, y, z}, ..., s(x), 3, 4, ..., 9
- Axioma da extensão
- Capítulo 3: Axiomas (segunda parte)
- Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união
- relações, funções, relações bem-ordenadas, conjuntos finitos, números ordinais, números naturais
- Axioma da potência
- Axioma da substituição
- Axioma da regularidade
- Axioma da escolha
- Axioma do infinito
- Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união
- Capítulo 4: Construções básicas da teoria
- Apêndice
Ver também
- Matemática elementar/Conjuntos - abordagem mais elementar