Teoria dos conjuntos/Axioma da união

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Até agora vimos, usando os axiomas anteriores, como construir conjuntos como , ou mesmo . É estranho, mas não conseguimos (ainda) construir um conjunto A em que - apesar de termos um conjunto cujos elementos dos seus elementos são precisamente , 1 e 2!

O axioma da união é a ferramenta necessária para se construir este tipo de conjunto, ou seja, a partir de um conjunto A, forma-se um conjunto B cujos elementos são tais que .

Um subproduto importante do axioma é a formação do conjunto união de dois outros conjuntos, ou seja, dados A e B este axioma garante a existência de

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Na linguagem formal, este axioma é:

A definição acima implica (pelo axioma da extensão) que B é único; existem outras formas equivalentes deste axioma, em que o conjunto cuja existência é postulada é um superconjunto da união. Nestes casos, para se obter a união é preciso aplicar o axioma da separação para a propriedade .

Como B é único, é interessante dar um nome a ele, assim, este conjunto é definido como:

União de dois conjuntos[editar | editar código-fonte]

Sendo A e B conjuntos, pelo axioma do par existe o conjunto X = {A, B}. Aplicando-se o axioma da união a este conjunto X, obtém-se um conjunto .

É fácil mostrar que , ou seja, este axioma permite construir a união de dois conjuntos:

Definição de conjuntos com três, quatro, etc elementos[editar | editar código-fonte]

Com as definições da união e dos conjuntos com um elemento e com (possivelmente) dois elementos, podemos definir:

e pode-se continuar definindo conjuntos cada vez maiores. É importante notar que, assim como temos um esquema de axiomas no axioma da separação, aqui temos um esquema de definições - não iremos explicitamente escrever todas as definições, mas o leitor deve se convencer de que qualquer conjunto com um número finito de elementos pode ser definido desde que haja tempo suficiente para enumerar seus elementos.

Sucessor, e os números de 3 a 9[editar | editar código-fonte]

Uma notação, bolada por von Neumann, que será muito conveniente é a do sucessor de um conjunto (mas esta definição só tem sentido prático para números).

Define-se s(x), o sucessor de x, como:

Já vimos antes as definições de 1 e 2 como conjuntos. É fácil ver que:

o que motiva a definir:

  • 3 = s(2)
  • 4 = s(3)
  • 5 = s(4)
  • 6 = s(5)
  • 7 = s(6)
  • 8 = s(7)
  • 9 = s(8)

Poderíamos continuar assim, mas para ser possível provar alguma coisa em aritmética, será melhor parar por aqui. Note-se que até agora não foi falado do zero; por consistência temos que é a melhor definição, porque assim temos 1 = s(0).

Com os axiomas até agora vistos, falta pouco para poder construir um modelo da Aritmética de Peano - falta demonstrar que existe um conjunto dos números naturais.

Obs: o nome sucessor não é um acidente. É fácil ver que se x é um conjunto qualquer, então qualquer conjunto "entre" x e seu sucessor será igual a x ou "equivalente" a x: implica (por ) em ou ; assim temos finalmente que, se este conjunto y existe, então ou . Conjuntos com propriedades parecidas com esta são chamados de "conjuntos não-bem-fundados"; veremos adiante um axioma (o axioma da regularidade) que diz que estes conjuntos não existem.

Exercícios[editar | editar código-fonte]

  • Sejam A e a conjuntos, e seja . Mostre que
  • Sejam . Mostre que:
  • Sejam . Mostre que:
  • Dê um exemplo em que e
  • Sejam A, B e C, em que e . Mostre que:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Axioma da união