Teoria dos conjuntos/Axioma da união

Até agora vimos, usando os axiomas anteriores, como construir conjuntos como $1=\{\varnothing \}\,$ , $2=\{\varnothing ,1\}\,$ ou mesmo $\{2,\{2\}\}=\{\{\varnothing ,1\},\{2\}\}\,$ . É estranho, mas não conseguimos (ainda) construir um conjunto A em que $\varnothing \in A\land 1\in A\land 2\in A\,$ - apesar de termos um conjunto cujos elementos dos seus elementos são precisamente $\varnothing \,$ , 1 e 2!

O axioma da união é a ferramenta necessária para se construir este tipo de conjunto, ou seja, a partir de um conjunto A, forma-se um conjunto B cujos elementos são tais que $x\in B\iff x\in y\in A\,$ .

Um subproduto importante do axioma é a formação do conjunto união de dois outros conjuntos, ou seja, dados A e B este axioma garante a existência de $C=A\cup B\,$

Definição formal

Na linguagem formal, este axioma é:

\forall A\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\iff \exists y\,(x\in y\land y\in A)\,)

A definição acima implica (pelo axioma da extensão) que B é único; existem outras formas equivalentes deste axioma, em que o conjunto cuja existência é postulada é um superconjunto da união. Nestes casos, para se obter a união é preciso aplicar o axioma da separação para a propriedade $\phi (X)=(\exists Y,X\in Y\land Y\in A)\,$ .

Como B é único, é interessante dar um nome a ele, assim, este conjunto é definido como:

\bigcup _{X\in A}X\,

União de dois conjuntos

Sendo A e B conjuntos, pelo axioma do par existe o conjunto X = {A, B}. Aplicando-se o axioma da união a este conjunto X, obtém-se um conjunto $C=\bigcup _{x\in X}x\,$ .

É fácil mostrar que $x\in C\iff x\in A\lor x\in B\,$ , ou seja, este axioma permite construir a união de dois conjuntos:

A\cup B=\bigcup _{x\in \{A,B\}}x\,

Definição de conjuntos com três, quatro, etc elementos

Com as definições da união e dos conjuntos com um elemento e com (possivelmente) dois elementos, podemos definir:

$\{x,y,z\}=\{x,y\}\cup \{z\}\,$
$\{w,x,y,z\}=\{w,x,y\}\cup \{z\}\,$
$\{v,w,x,y,z\}=\{v,w,x,y\}\cup \{z\}\,$

e pode-se continuar definindo conjuntos cada vez maiores. É importante notar que, assim como temos um esquema de axiomas no axioma da separação, aqui temos um esquema de definições - não iremos explicitamente escrever todas as definições, mas o leitor deve se convencer de que qualquer conjunto com um número finito de elementos pode ser definido desde que haja tempo suficiente para enumerar seus elementos.

Sucessor, e os números de 3 a 9

Uma notação, bolada por von Neumann, que será muito conveniente é a do sucessor de um conjunto (mas esta definição só tem sentido prático para números).

Define-se s(x), o sucessor de x, como:

$s(x)=x\cup \{x\}\,$

Já vimos antes as definições de 1 e 2 como conjuntos. É fácil ver que:

$1=s(\varnothing )\,$
$2=s(1)\,$

o que motiva a definir:

3 = s(2)
4 = s(3)
5 = s(4)
6 = s(5)
7 = s(6)
8 = s(7)
9 = s(8)

Poderíamos continuar assim, mas para ser possível provar alguma coisa em aritmética, será melhor parar por aqui. Note-se que até agora não foi falado do zero; por consistência temos que $0=\varnothing \,$ é a melhor definição, porque assim temos 1 = s(0).

Com os axiomas até agora vistos, falta pouco para poder construir um modelo da Aritmética de Peano - falta demonstrar que existe um conjunto dos números naturais.

Obs: o nome sucessor não é um acidente. É fácil ver que se x é um conjunto qualquer, então qualquer conjunto "entre" x e seu sucessor será igual a x ou "equivalente" a x: $x\in y\in s(x)\,$ implica (por $y\in s(x)\,$ ) em $y=x\,$ ou $y\in x\,$ ; assim temos finalmente que, se este conjunto y existe, então $x\in x\,$ ou $x\in y\in x\,$ . Conjuntos com propriedades parecidas com esta são chamados de "conjuntos não-bem-fundados"; veremos adiante um axioma (o axioma da regularidade) que diz que estes conjuntos não existem.