Teoria dos conjuntos/Axioma da separação

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O Axioma da separação (também conhecido como Axioma da compreensão ou Axioma de especificação) diz que se um conjunto A existe, e conseguimos descrever (através de uma propriedade) elementos deste conjunto, então existe um conjunto B, subconjunto de A, que contém estes elementos.

Este "axioma" é, a rigor, um esquema de axiomas, porque, para cada propriedade Φ, existe um "axioma da separação".

Axioma[editar | editar código-fonte]

A forma apresentada abaixo se deve a Kunen.[1]

Se z é um conjunto e é qualquer propriedade que possa ser atribuída a elementos x de z, então existe um subconjunto y de z que contém os elementos x de z e que possuem essa propriedade.

Formalmente: qualquer fórmula na linguagem da teoria dos conjuntos com variáveis livres entre :

Notar que esse não é um axioma, mas um esquema de axiomas: para cada temos um novo axioma.

Notação[editar | editar código-fonte]

Este axioma, combinado com o axioma da extensão, mostra que, para todo conjunto z e toda propriedade Φ, existe um único conjunto cujos elementos são os elementos de z que satisfazem Φ. Ou seja, a notação:

define um conjunto que existe e é único.

Segue-se imediatamente da definição que:

Note-se que R definido no Paradoxo de Russell

não é um conjunto segundo a definição acima: é preciso especificar dentro de qual conjuntos os elementos x são tirados.

Conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

Já supomos no capítulo introdutório que existe algum conjunto. Então, seja Φ(x) uma propriedade que é sempre falsa (por exemplo, ).

Sejam, portanto, z e w dois conjuntos quaisquer. Então os conjuntos:

existem e, pelo axioma da extensão, são iguais, já que é fácil provar que

Em outras palavras, qualquer que seja o conjunto de partida (z, w, etc), o conjunto definido acima será sempre o mesmo.

Este conjunto é chamado de conjunto vazio, representado por .

Os resultados acima podem ser resumidos de forma sintética em existe um conjunto que não tem nenhum elemento, e este conjunto é único.

Pelos axiomas expostos até agora, o conjunto vazio é um ponto final, ou seja, nada pode ser construído a partir dele. Por exemplo, aplicando-se o axioma da separação ao conjunto vazio, obtem-se apenas o conjunto vazio:

Por outro lado, pode-se mostrar que:

  • o conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto
  • o conjunto vazio é subconjunto próprio de qualquer outro conjunto que não seja vazio
  • nenhum conjunto é subconjunto próprio do conjunto vazio

Interseção[editar | editar código-fonte]

Dados dois conjuntos y e z, e a propriedade , o axioma diz que existe o conjunto w tal que

Este conjunto tem uma notação especial, e é chamado de a interseção de y e z, ou seja:

Segue imediatamente das definições acima que:

A propriedade associativa demanda um pouco mais de trabalho:

Diferença[editar | editar código-fonte]

Dados dois conjuntos y e z, e a propriedade , o axioma diz que existe o conjunto w tal que

Este conjunto tem uma notação especial, e é chamado de a diferença de y e z, ou seja:

Exercícios[editar | editar código-fonte]

  • Mostre que não existe o conjunto de todos os conjuntos. Em outras palavras, para todo conjunto x, existe algum conjunto y tal que . Sugestão: a prova é por contradição e usa o axioma da regularidade e a ideia do paradoxo de Russel.
  • Escreva e demonstre as várias propriedades que combinam a interseção e a diferença, por exemplo

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Axioma da separação
  • Em informática, a aplicação deste axioma a listas é chamada de List comprehension. Linguagens funcionais (Haskell, etc) ou com influência destas (Python, etc) tem formas simples de fazer list comprehension.

Referências

  1. Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.