Teoria dos conjuntos/Axioma da separação

O Axioma da separação (também conhecido como Axioma da compreensão ou Axioma de especificação) diz que se um conjunto A existe, e conseguimos descrever (através de uma propriedade) elementos deste conjunto, então existe um conjunto B, subconjunto de A, que contém estes elementos.

Este "axioma" é, a rigor, um esquema de axiomas, porque, para cada propriedade Φ, existe um "axioma da separação".

Axioma

A forma apresentada abaixo se deve a Kunen.

Se z é um conjunto e $\phi \!$ é qualquer propriedade que possa ser atribuída a elementos x de z, então existe um subconjunto y de z que contém os elementos x de z e que possuem essa propriedade.

Formalmente: qualquer fórmula $\phi \!$ na linguagem da teoria dos conjuntos com variáveis livres entre $x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}\!$:

$\forall z\forall w_{1}\ldots w_{n}\exists y\forall x(x\in y\iff (x\in z\land \phi ))$

Notar que esse não é um axioma, mas um esquema de axiomas: para cada $\phi \!$ temos um novo axioma.

Notação

Este axioma, combinado com o axioma da extensão, mostra que, para todo conjunto z e toda propriedade Φ, existe um único conjunto cujos elementos são os elementos de z que satisfazem Φ. Ou seja, a notação:

$\{x\in z|\Phi (x)\}\,$

define um conjunto que existe e é único.

Segue-se imediatamente da definição que:

$\forall z,\{x\in z|\Phi (x)\}\subseteq z\,$

Note-se que R definido no Paradoxo de Russell

$R=\{x|x\not \in x\}\,$

não é um conjunto segundo a definição acima: é preciso especificar dentro de qual conjuntos os elementos x são tirados.

Conjunto vazio

Já supomos no capítulo introdutório que existe algum conjunto. Então, seja Φ(x) uma propriedade que é sempre falsa (por exemplo, $\Phi (x)=(x\neq x)\,$).

Sejam, portanto, z e w dois conjuntos quaisquer. Então os conjuntos:

$O_{z}=\{x\in z|\Phi (x)\}\,$

$O_{w}=\{x\in w|\Phi (x)\}\,$

existem e, pelo axioma da extensão, são iguais, já que é fácil provar que

$\forall x,(x\not \in O_{z}\land x\not \in O_{w})\,$

Em outras palavras, qualquer que seja o conjunto de partida (z, w, etc), o conjunto definido acima será sempre o mesmo.

Este conjunto é chamado de conjunto vazio, representado por $\varnothing \,$.

Os resultados acima podem ser resumidos de forma sintética em existe um conjunto que não tem nenhum elemento, e este conjunto é único.

Pelos axiomas expostos até agora, o conjunto vazio é um ponto final, ou seja, nada pode ser construído a partir dele. Por exemplo, aplicando-se o axioma da separação ao conjunto vazio, obtem-se apenas o conjunto vazio:

$\{x\in \varnothing |\Phi (x)\}=\varnothing \,$

Por outro lado, pode-se mostrar que:

• o conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto
• o conjunto vazio é subconjunto próprio de qualquer outro conjunto que não seja vazio
• nenhum conjunto é subconjunto próprio do conjunto vazio

Interseção

Dados dois conjuntos y e z, e a propriedade $\phi (x,y,z)=(x\in z)\,$, o axioma diz que existe o conjunto w tal que

$w=\{x\in y|x\in z\}\,$

Este conjunto tem uma notação especial, e é chamado de a interseção de y e z, ou seja:

$y\cap z=\{x\in y|x\in z\}\,$

Segue imediatamente das definições acima que:

$\forall y,(y\cap \varnothing =\varnothing )\,$

$\forall y,z,(y\cap z=z\cap y)\,$

$\forall y,(y\cap y=y)\,$

A propriedade associativa demanda um pouco mais de trabalho:

$\forall x,y,z,(x\cap (y\cap z)=(x\cap y)\cap z)\,$

Diferença

Dados dois conjuntos y e z, e a propriedade $\phi (x,y,z)=(x\not \in z)\,$, o axioma diz que existe o conjunto w tal que

$w=\{x\in y|x\not \in z\}\,$

Este conjunto tem uma notação especial, e é chamado de a diferença de y e z, ou seja:

$y-z=\{x\in y|x\not \in z\}\,$

Exercícios

• Mostre que não existe o conjunto de todos os conjuntos. Em outras palavras, para todo conjunto x, existe algum conjunto y tal que $y\not \in x\,$. Sugestão: a prova é por contradição e usa o axioma da regularidade e a ideia do paradoxo de Russel.
• Escreva e demonstre as várias propriedades que combinam a interseção e a diferença, por exemplo $(A-B)\cap (A\cap B)=\varnothing \,$

Ver também

• Em informática, a aplicação deste axioma a listas é chamada de List comprehension. Linguagens funcionais (Haskell, etc) ou com influência destas (Python, etc) tem formas simples de fazer list comprehension.