Teoria dos conjuntos/Axioma do par

Com os axiomas apresentados até agora (o axioma que diz que existe um conjunto, o axioma da extensão e o axioma da separação), já pudemos mostrar que o conjunto vazio, $\varnothing \,$, existe e é único.

Mas não fomos capazes de exibir nenhum outro conjunto!

Uma teoria dos conjuntos cujo único conjunto seja o conjunto vazio não serve para muita coisa. Seria interessante haver pelo menos outro conjunto, e o candidato natural é o conjunto cujo único elemento é o próprio conjunto vazio.

Mas não podemos, pelos axiomas atuais, definir

$x=\{y|y=\varnothing \}\,$

porque esta não é uma definição de conjunto que se enquadra no axioma da separação.

O axioma do par é o que garante a existência deste tipo de conjunto. Na sua forma mais usual, ele garante até algo mais: dados dois conjuntos, existe um conjunto que tem estes dois conjuntos como elementos.

Como o axioma não obriga estes dois conjuntos a serem diferentes, podemos usá-lo para criar o conjunto cujo único elemento é o conjunto vazio.

E assim por diante... Mas, como veremos abaixo, este "adiante" ainda não compreende todos os conjuntos que precisamos para ter uma teoria útil e prática.

O Axioma

Sejam A e B conjuntos quaisquer (que podem ser iguais). Então existe um conjunto C tal que $A\in C\,$ e $B\in C\,$.

Nota: existem formulações alternativas do axioma, que dizem que C não tem outro elemento além de A e B, e que C é único, mas, junto com os axiomas da extensão e da separação, mostra-se que essas formulações são equivalentes.

Em linguagem matemática, o axioma se escreve assim:

$\forall x,y\ \exists z\ (x\in z\land y\in z)\,$

Usando-se os axiomas da extensão e da separação, chega-se ao seguinte teorema:

$\forall x,y\ \exists !z\ (x\in z\land y\in z\land \forall w\ (w\in z\rightarrow (w=x\lor w=y)))\,$

Esboço da prova: o axioma da separação é usado para construir, a partir do z que existe, o conjunto

$\{w\in z:w=x\lor w=y\}\,$

e o axioma da extensão garante que todos conjuntos z que satisfazem $x\in z\land y\in z\land \forall w\ (w\in z\rightarrow (w=x\lor w=y))\,$ são iguais.

Definição de { x, y }, { x } e {}

Como esse conjunto que tem o par de conjuntos como elementos é único, podemos dar um nome para ele, a saber:

$\{x,y\}\,$

Como nada nos axiomas obriga x a ser diferente de y, definimos também:

$\{x\}=\{x,x\}\,$

Observação: por analogia, também é comum a notação

$\{\}=\varnothing \,$

Generalizar esta notação, ou seja, definir o que seria {x,y,z} ainda não é possível: isto será visto com o axioma da união.

Propriedades

Segue-se imediatamente da definição que:

• $x\in \{x,y\}\,$
• $z\in \{x,y\}\implies (z=x\lor z=y)\,$
• $\{x,y\}=\{y,x\}\,$
• $\{x\}\subseteq \{x,y\}\,$
• $\{x\}=\{y\}\implies x=y\,$
• $\{x,y\}=\{z\}\implies (x=z\land y=z)\,$
• $\{x,y\}=\{z,w\}\implies ((x=z\land y=w)\lor (x=w\land y=z))\,$

Definição de 1 e 2

Adotando-se a ideia de von Neumann , vamos definir os seguintes conjuntos:

$1=\{\varnothing \}\,$

$2=\{\varnothing ,1\}\,$

e temos que parar por aqui, porque ainda não definimos o que significa {x, y, z} - e, pelos axiomas até agora listados, não sabemos se existe este tipo de conjunto.

Note-se (exercício: prove) que:

• $\varnothing \in 1\,$
• $\varnothing \in 2\,$
• $\varnothing \subset 1\,$
• $\varnothing \subset 2\,$
• $1\in 2\,$
• $1\subset 2\,$

As propriedades acima não são acidentais: quando definirmos os números naturais, elas serão válidas para todos os números. Iremos mais adiante: estas propriedades valerão para uma classe de conjuntos que amplia uma das funções normalmente atribuídas aos números naturais, que é ordenar elementos.

Note-se que as relações $\in \,$ e $\subset \,$ não são sempre equivalentes. Por exemplo:

• $1\in \{1\}\,$ mas $1\not \subset \{1\}\,$ - porque $\varnothing \in 1\land \varnothing \not \in \{1\}\,$
• $\varnothing \subset \{1\}\,$ mas $\varnothing \not \in \{1\}\,$

Par ordenado

O par ordenado também pode ser definido com o axioma do par. Esta definição se deve a Kuratowski:

$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\,$

O teorema abaixo é de crucial importância para as aplicações do par ordenado:

$(x,y)=(z,w)\implies (x=z\land y=w)\,$

Esboço da demonstração:

Conforme temos $x=y\,$ ou $x\neq y\,$, combinado com $z=w\,$ ou $z\neq w\,$, temos quatro casos possíveis. As propriedades do conjunto { a , b } resolvem trivialmente quase todos os casos, exceto quando $x\neq y\land z\neq w\,$.

Mas, neste caso, temos, por $\{\{x\},\{x,y\}\}=\{\{z\},\{z,w\}\}\,$ que $\{x\}=\{z\}\,$ ou $\{x\}=\{z,w\}\,$. Este segundo caso só é possível quando z = w, o que já foi excluído antes. Assim, temos $\{x\}=\{z\}\,$, o que implica em x = z. Assim, sobra a igualdade $\{x,y\}=\{x,w\}\,$, ou $y=x\lor y=w\,$. Como já vimos que $x\neq y\,$, segue-se que y = w.