Teoria dos conjuntos/Números ordinais

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Nos capítulos anteriores foram apresentados os ordinais segundo von Neumann, e foram exibidas e demonstradas várias propriedades. Este capítulo sintetiza os resultados anteriores e apresenta novos resultados.

Ordinais[editar | editar código-fonte]

Conforme visto no capítulo Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união, um ordinal segundo von Neumann é um conjunto α satisfazendo:

  • Existe uma relação bem ordenada ((α, α), R)
  • Esta relação satisfaz
  • Todo elemento de α é um subconjunto de α (ou seja,

Classificação dos ordinais[editar | editar código-fonte]

Vimos até agora dois tipos de ordinal:

  • - o conjunto vazio
  • s(α) - o sucessor de um outro ordinal

Um terceiro tipo de ordinal, ordinal limite, é definido como um ordinal que não é nem o conjunto vazio nem o sucessor de outro ordinal. Ainda não vimos se existe, mas, se existir, este ordinal tem uma propriedade notável:

  • Seja α um ordinal limite. Então .

Prova: já vimos anteriormente que é um ordinal (ver Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união). É imediato verificar que . Suponha, portanto, que , então mostraremos que α é um ordinal sucessor, o que completa a prova.

Mas se , então temos que existe um elemento tal que . Mas vimos anteriormente (ver Axioma da potência) que , Neste caso, não pode ser elemento de α, portanto α = s(β).

A recíproca é obviamente verdadeira: se temos um ordinal α em que , então obviamente α não é um ordinal sucessor (é imediato verificar que , pois α é um elemento de s(α) mas não é um elemento de algum elemento de s(α)), então este ordinal é o conjunto vazio ou um ordinal limite.

A boa ordenação dos ordinais[editar | editar código-fonte]

O que foi visto até agora permite escrever as seguintes propriedades:

Por definição, se S for um conjunto não-vazio de ordinais contido em algum outro ordinal, então S possui elemento mínimo (considerando a relação de ordem total definida por ).

Este fato pode ser generalizado: se S for um conjunto não-vazio de ordinais, então S tem um elemento mínimo.

Na verdade, podemos generalizar ainda mais: se Φ(x) for uma propriedade escrita na linguagem formal da teoria dos conjuntos através de uma fórmula bem formada, e existir algum ordinal α que satisfaça Φ(α), então existe um ordinal μ que é mínimo para Φ(x), ou seja, que, qualquer que seja x satisfazendo Φ(x) temos que x = μ ou .

Informalmente, costuma-se dizer que uma propriedade Φ(x) que pode valer ou não valer conforme o conjunto x define uma classe; existem outras apresentações da teoria dos conjuntos em que o conceito de classe faz parte da teoria. Este teorema, então, diz que uma classe não-vazia de ordinais tem um elemento mínimo.

Note-se que este não é apenas um teorema: é um esquema de teoremas, e para cada fórmula Φ(x) temos uma nova versão do teorema.

Prova: suponha que a fórmula Φ(x) seja satisfeita para os ordinais α e β.

Então vamos formar os conjuntos (bem definidos, pelo Axioma da extensão):

Estes conjuntos são subconjuntos não-vazios de ordinais (por exemplo, ), logo podemos tomar seus mínimos

Afirmação: a = b.

Prova: sem perda de generalidade, se a ≠ b, suponhamos que . Neste caso, como , pela transitividade, , ou seja, , contradizendo o fato de b ser mínimo.

Ou seja, se a fórmula Φ(x) é satisfeita por qualquer ordinal, então o mínimo de Φ(x) existe e não depende do ordinal escolhido, ou seja, ele existe e é único.