Teoria dos conjuntos/O conjunto dos números naturais

O objetivo deste capítulo é mostrar que o conjunto dos números naturais existe, é único, e provar algumas de suas propriedades básicas.

Um capítulo anterior (Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união) definiu o que um conjunto deve satisfazer para ser chamado de um número natural.

O Axioma do infinito diz que existe um conjunto que inclui o conjunto vazio e, para cada elemento seu, inclui o seu sucessor (definido no capítulo Axioma da união). Assim, para cada conjunto que o axioma do infinito provém, podemos definir, pelo Axioma da extensão, um conjunto dos números naturais - o que prova a existência.

Nosso primeiro objetivo é mostrar que todo número natural é elemento de qualquer conjunto dos números naturais; com isto mostramos que este conjunto é único.

Unicidade

Devemos provar o seguinte:

Seja A um conjunto que satisfaz ao Axioma do infinito. Então todo número natural n é um elemento de A.

Como vimos antes, n é um número natural quando:

1. n é o conjunto vazio ou n é um sucessor de algum seu elemento
2. todo elemento de n é o conjunto vazio ou um sucessor de algum seu elemento

Nos capítulos anteriores, mostramos vários teoremas a respeito dos números naturais. Em particular, no capítulo sobre o Axioma da regularidade, mostramos que para todo número natural n e todo subconjunto K de n satisfazendo:

1. $\varnothing \in n\implies \varnothing \in K\,$
2. $x\in K\ \land s(x)\in n\implies s(x)\in K\,$

temos que K = n.

É óbvio como provaremos que todo número natural n é elemento de A: basta formar o subconjunto $K=n\cap A\subseteq n\,$ e mostrar que $K=n\cap A=n\,$.

É imediato que:

1. Como $\varnothing \in A\,$, temos que $\varnothing \in n\implies \varnothing \in n\cap A=K\,$
2. Como $x\in A\implies s(x)\in A\,$ e $K\subseteq A\,$, temos que $x\in K\ \land s(x)\in n\implies s(x)\in n\cap A=K\,$

O que completa a prova.

Assim, sendo A e B dois conjuntos que satisfazem ao Axioma do infinito, pelo Axioma da separação, podemos definir:

• $\mathbb {N} _{A}=\{x\in A|x{\mbox{ eh um numero natural }}\}\,$
• $\mathbb {N} _{B}=\{x\in B|x{\mbox{ eh um numero natural }}\}\,$

é imediato que $\mathbb {N} _{A}=\mathbb {N} _{B}\,$, ou seja, temos que o conjunto dos números naturais existe e é único, o que justifica a definição:

$\mathbb {N} =\{x|x{\mbox{ eh um numero natural }}\}\,$

Princípio da indução finita

A unicidade de $\mathbb {N} \,$ permite imediatamente demonstrar vários fatos.

Por exemplo, seja K um subconjunto de $\mathbb {N} \,$ satisfazendo:

• $\varnothing \in K\,$
• $n\in K\implies s(n)\in K\,$

Então, obviamente, K é um conjunto que satisfaz ao Axioma do infinito, então $\mathbb {N} \subseteq K\,$, completando a prova.

Esta propriedade costuma ser apresentada como um esquema de teoremas: seja P(x) uma propriedade escrita na linguagem formal da teoria dos conjuntos.

Então se:

• $P(\varnothing )\,$
• $P(n)\implies P(s(n))\,$

então

• $\forall n\in \mathbb {N} ,(P(n))\,$

A demonstração parte da construção do conjunto $K=\{n\in \mathbb {N} |P(n)\}\,$, e aplicando-se o resultado anterior para provar que $K=\mathbb {N} \,$.

Todo número natural é um número ordinal

A indução finita torna muito simples várias propriedades dos números naturais.

Por exemplo, podemos provar que todo número natural é um número ordinal (ver a definição de ordinal segundo von Neumann em Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união). Isto porque $\varnothing \,$ é um número ordinal, e o sucessor de todo número ordinal também é um número ordinal (ver prova em Axioma da potência) - logo, por indução, todo número natural é um número ordinal.

Axiomas de Peano

O estudo de várias estruturas algébricas complexas parte, quase sempre, do estudo da estrutura mais elementar, que é o conjunto dos números naturais com sua relação de ordem e as operações binárias de soma e produto de números naturais.

Veremos aqui como é possível construir esta estrutura algébrica de forma axiomática.

Uma forma é partir do conjunto $\mathbb {N} \,$ e definí-las.

Mas uma forma mais elegante é partir dos Axiomas de Peano.

Peano, em 1889, propôs nove axiomas que servem como fundamentos da aritmética - na verdade, estes axiomas são tão completos, que servem como fundamentos para quase toda a matemática. Destes axiomas, os quatro primeiros são sobre lógica, e os cinco últimos supõem a existência de um conjunto N satisfazendo:

1. $\exists 0\in N\,$
2. $\exists s:N\to N\,$
3. $\not \exists n\in N,(s(n)=0)\,$
4. $\forall n,m,(s(n)=s(m)\implies n=m)\,$
5. $\forall K\subseteq N,(0\in K\land (n\in K\implies s(n)\in K)\implies K=N)\,$

Em palavras:

1. N possui um elemento, que chamaremos de 0
2. Todo elemento de N possui um sucessor em N; chamamos de s(n) ao sucessor de n
3. Não existe um número cujo sucessor seja o 0
4. Se os sucessores de dois números são iguais, então eles são iguais (equivalente: Se dois elementos de N são diferentes, então seus sucessores são diferentes)
5. Se um subconjunto de N tem 0 como elemento, e este conjunto tem o sucessor de cada um dos seus elementos, então este conjunto é igual a N (princípio da indução)

Mostremos agora que $N=\mathbb {N} \,$, $0=\varnothing \,$ e $s(x)=x\cup \{x\}\,$ é um modelo dos axiomas de Peano.

1. $\varnothing \in \mathbb {N} \,$ - por construção
2. $\exists s:\mathbb {N} \to \mathbb {N} \,$ - por construção
3. $\not \exists n\in \mathbb {N} ,(s(n)=\varnothing )\,$ - verdadeiro, pois s(n) é um conjunto que possui (pelo menos) um elemento - n - logo $s(n)\neq \varnothing \,$
4. $\forall n,m,(s(n)=s(m)\implies n=m)\,$ - deixaremos esta prova para o final
5. o princípio da indução foi demonstrado acima

Então falta mostrar que se dois números tem o mesmo sucessor então eles são iguais. Mas isto segue do axioma da separação, porque se s(n) = s(m) temos que $n\in m\cup \{m\}\,$ e $m\in n\cup \{n\}\,$ e, dos quatro casos seguintes, apenas um deles não viola o axioma da separação:

1. $n\in m\land m\in n\,$
2. $n\in m\land m=n\,$
3. $n=m\land m\in n\,$
4. $n=m\land m=n\,$

que é o caso n = m.