Teoria dos conjuntos/Axioma da substituição

Axioma da substituição

Vimos até agora várias definições que pegam um conjunto e formam outro conjunto, único, a partir daquele conjunto.

Por exemplo, temos (sendo x o conjunto sobre o qual vamos operar, e C um conjunto fixo):

• $\bigcup _{y\in x}y\,$ - a união dos elementos de x
• $s(x)=x\cup \{x\}\,$ - o sucessor de x
• $x\cap C\,$, $x\cup C\,$, e várias outras operações

Parece natural perguntar se, sendo A um conjunto fixo, se é possível construir uma função

$f:A\to B\,$

cujo gráfico seja precisamente os pares de valores definidos por estas propriedades, ou seja, aquilo que, intuitivamente (e tradicionalmente) escrevemos como:

• $f(x)=\bigcup _{y\in x}y\,$
• $f(x)=s(x)\,$
• $f(x)=x\cap C\,$, etc

Infelizmente, os axiomas até agora apresentados (mesmo com a inclusão do axioma da potência) não permitem a construção desta função - porque não conseguimos definir que o conjunto B existe!

O axioma da substituição vem preencher esta lacuna. Seu nome é devido ao esquema de substituição, ou seja, se existe alguma regra que associa a cada conjunto x que é elemento de A um único conjunto y (ou seja, esta regra faz o papel de uma função) então existe um conjunto B (único, pelo axioma da extensão) cujos elementos são estes y.

Assim, se existe alguma lei que, para cada conjunto x gera um único conjunto y = f(x), então existem f(A) e a função $f:A\to f(A)\,$ cujo gráfico são os pares (x, f(x)).

Definição

Este axioma é, assim como o axioma da separação, um esquema de axiomas. Seja A um conjunto, e Φ(x, y) uma fórmula bem formada em x e y com a propriedade de:

$\forall x\in A,\exists y,(\Phi (x,y)\land \forall z,(\Phi (x,z)\implies y=z))\,$

ou seja, para todo x, existe um y que satisfaz Φ(x, y) e este y é único.

Com estas condições:

$\exists B,\forall x\in A,\exists y\in B,(\Phi (x,y)\,$.

Notação

Uma fórmula Φ(x, y) que tem esta propriedade de unicidade do y costuma ser representada por y = φ(x). Assim, o que o axioma diz é que, se y = φ(x) está definido para todo elemento x de um conjunto A, então existe (e é único) o conjunto:

$B=\{y|y=\phi (x),x\in A\}\,$

Funções definidas por leis

Aplicando várias vezes o axioma da substituição, podemos justificar a notação tão comum para funções da forma:

$f:A\to B,f(x)=\phi (x)\,$

em que são explicitamente exibidos apenas o conjunto A e a lei y = φ(x).

O que esta notação significa é o seguinte:

O conjunto B é obtido pelo axioma da substituição, usando-se a fórmula bem formada Φ(x,y) = (y = φ(x))

O gráfico da função é obtido pelo axioma da substituição, usando-se a fórmula bem formada Φ(x, z) = (z = (x, φ(x))

Segue direto da definição que esta função é sobrejetiva.