Teoria dos conjuntos/Axioma da escolha

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Axioma da escolha

Este é, sem dúvida, o mais controverso dos axiomas. Os demais axiomas, ao dizerem que determinado conjunto existe (ou não existe), sempre exibem como este conjunto é formado, e, usando-se o axioma da extensão, quase sempre chega-se a um conjunto único.

O axioma da escolha é diferente. Ele diz que determinado conjunto existe, mas não dá nenhuma pista sobre como este conjunto pode ser construído. Vários matemáticos importantes rejeitaram este axioma, e, para consubstanciar a rejeição, apresentaram resultados aparentemente paradoxais para justificar a rejeição.

Um dos argumentos mais interessantes é o paradoxo de Banach-Tarski, que, usando uma construção baseada no axioma da escolha, divide uma esfera em um número finito de partes, aplica translações e rotações a estas partes, e remonta duas esferas idênticas à primeira.

O axioma é apresentado sob várias formas equivalentes. Estas formas serão apresentadas abaixo:

  • se o conjunto vazio não é elemento de um conjunto, então existe uma função-escolha neste conjunto
  • todo conjunto pode ser bem-ordenado
  • se um conjunto for dividido em classes de equivalência, então existe um conjunto com um representante de cada classe
  • Lema de Zorn

Função escolha[editar | editar código-fonte]

Uma função escolha em um conjunto A é uma função:

em que . Por exemplo, no conjunto , uma função escolha poderia ser dada pelo gráfico . Obviamente, outras funções-escolha são possíveis neste conjunto, como, por exemplo, a função constante

Note-se que se , então não pode ter função escolha, porque não há como satisfazer .

O axioma da escolha diz que este é o único caso em que não existe função-escolha. Ou seja:

Todo conjunto pode ser bem-ordenado[editar | editar código-fonte]

Já vimos o que é uma relação bem-ordenada em um conjunto : ela é definida por , em que é um conjunto de pares ordenados de elementos de com:

  • (transitividade).
  • (aliorrelatividade).
  • (ordem total)
  • (bem-ordenação: todo subconjunto não vazio tem um elemento mínimo)

O axioma da bem-ordenação diz que para todo conjunto existe uma relação bem-ordenada em .

Representantes das classes de equivalência[editar | editar código-fonte]

Em resumo, uma relação de equivalência em um conjunto é uma relação satisfazendo:

  • (reflexividade).
  • (simetria).
  • (transitividade).

Uma relação de equivalência permite particionar o conjunto em classes de equivalência, que é construir o conjunto definido como um subconjunto do conjunto das partes de por:

É fácil mostrar que para todo elemento , existe uma (e apenas uma) classe de equivalência com .

Temos também que se duas classes de equivalência são diferentes, então elas são disjuntas.

A versão do axioma da escolha diz que se um conjunto tem a propriedade acima, então podemos escolher um representante de cada classe, de forma que a interseção de qualquer classe com o conjunto de representantes seja um conjunto unitário.

Na linguagem formal:

Lema de Zorn[editar | editar código-fonte]

Uma relação de ordem parcial em um conjunto é uma relação satisfazendo:

  • (transitividade)
  • (aliorrelatividade)

Uma relação de ordem total em um conjunto é uma relação de ordem parcial com a propriedade de totalidade:

  • (ordem total)

Fixando uma determinada relação de ordem parcial em , temos:

  • Um subconjunto é uma cadeia quando for totalmente ordenado pela relação, ou seja,
  • Um elemento é uma quota superior de um subconjunto quando
  • Um elemento é maximal se

O Lema de Zorn diz que, se toda cadeia tem uma quota superior, então existe um elemento maximal.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Axioma da escolha