Cálculo (Volume 3)/Imprimir

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Cálculo (Volume 3) Para a disciplina Cálculo IV

Sequências numéricas infinitas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Conceitos Iniciais

Uma sequência pode ser entendida como um conjunto de valores enumerados em uma ordem, de forma a estabelecer uma lista. Esta lista é, usualmente, denotada como $a_{n}$, genericamente devido ao fato de que cada elemento pode ser identificado pela posição na lista. Temos, por exemplo, $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\cdots a_{n}$, como uma representação de uma sequência.

Representação

Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos:

$\,\!P.a.(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)$

$\,\!P.g.(1;0,5;0,25;0,125;0,0625;0,03125;0,015625;...)$

Vejamos alguns exemplos de sequências, notando que, a princípio, não há uma regra clara para estabelecimento de cada valor que os termos da mesma assumem:

$\{0,1,0,3,0,5,1,7\cdots \}$

$\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {2}{9}},{\frac {3}{27}}\cdots \right\}$

$\left\{{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},{\frac {5\pi }{2}}\cdots \right\}$

Fórmula do termo geral

Uma progressão aritmética.

Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência.

Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é:

$a_{n}=a_{1}+(n-1).r\,\!$

Apesar de não haver uma exigência de que haja uma equação que descreva o comportamento dos elementos de uma sequência, as sequências que mantem uma relação como regra para definição de seus termos são muito úteis para o estudo do comportamento numérico. De modo genérico, podemos dizer que o mais comum é estabelecer uma relação do numero que designa o ítem da sequência e o elemento. Por exemplo, podemos ter:

$a_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$

Esta sequência nos fornece para cada termo a somatória dos números inteiros até o nésimo elemento da sequência. A função sequência tem um gráfico onde os valores são apresentados como pontos cuja magnitude é expressa em $y$ e o número do indice da sequência é expresso em $x$, vejamos o exemplo abaixo:

Podemos observar que os pontos representantes das amplitudes fazem com que o aspecto do gráfico de uma sequência seja diferente do conjunto contínuo que nos abituamos a observar em gráficos de funções. Enquanto a função se mantém definida para $\mathbb {R}$, a sequência define valores em $\mathbb {N} ^{*}$.

Observando o gráfico da sequência, vemos que a medida que os números índice crescem as amplitudes se aproximam de um valor fixo em "y". Esta característica torna-se bastante útil para análise de tendências. Por este motivo vamos analisar estas sequências com maior atenção.

Formalmente

Definição: Uma seqüência (em Portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é $\mathbb {Z} _{+}^{*}\,\!$ e cuja imagem é $\mathbb {R} \,\!$ ou $\mathbb {Z} \,\!$. $f:\mathbb {Z} _{+}^{*}\rightarrow \mathbb {R}$

É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).

A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., n - 1, n, n + 1, ... Cada número é um termo, com n sendo o enésimo termo. Denota-se a seqüência por: {a_n}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, a₁ é 1, a₃₁₇ é 317, e a_n é n.

A seqüência também é indicada por: a₀, a₁, a₂, ..., a_n, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por S; Eles são uma seqüência em S.

Uma seqüência pode ter um número finito ou infinito de termos; portanto, pode ser uma seqüência finita ou uma seqüência infinita. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.

Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de $\mathbb {N}$ (o conjunto dos números naturais) em S.

Se S for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial.

Uma subseqüência de uma seqüência S é formada removendo-se alguns elementos de S sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.

Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo recursivo. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da seqüência de Fibonacci.

A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo:

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n-1}}}$

Notações:

  1 $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )$
  2 ${a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$
  3 ${f(n)}=f(1),f(2),f(3),\ldots ,f(n),\ldots$
  4 $f(n)=a_{n}\qquad {a_{n}}=a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots$

OBS.: Utilizaremos mais a notação 4

OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação

Evolução

As sequências evoluem, dependendo do seu número sequencial $n$, de diversas formas. Esta evolução pode ser classificada quando a equação da sequência é conhecida. Podemos, nestes casos, verificar se a evolução da fórmula leva a números em ordem crescente ou decrescente em um intervalo ou durante sua evolução completa, do primeiro elemento ao infinito.

Uma sequência é classificada como crescente quando, para cada $n$, temos $a_{n}<a_{n+1}$ e decrescente quando $a_{n}>a_{n+1}$. Este comportamento pode ser encontrado em um trecho em particular da evolução, delimitado por dois valores de $n$, ou em toda a evolução. Sob este contexto, uma sequência crescente ou decrescente pode ser chamada de monotônica quando apresenta apenas um dos comportamentos.

Vamos analisar a evolução da sequência: $a_{n}={\frac {n+1}{5n-2}}$

$a_{1}={\frac {1+1}{5(1)-2}}={\frac {2}{3}}$

$a_{2}={\frac {2+1}{5(2)-2}}={\frac {3}{8}}$

$a_{3}={\frac {3+1}{5(3)-2}}={\frac {4}{12}}={\frac {1}{3}}$

$a_{4}={\frac {4+1}{5(4)-2}}={\frac {5}{18}}$

$a_{5}={\frac {5+1}{5(5)-2}}={\frac {6}{23}}$

ou seja, temos:

$a_{n}=\left\{{\frac {2}{3}},{\frac {3}{8}},{\frac {1}{3}},{\frac {5}{18}},{\frac {6}{23}},\cdots \right\}$

Portanto, a sequência aparentemente indefinível algebricamente por uma expressão em função do índice, se mostra redutível a uma equação. Estas séries redutíveis a equações nos fornecem informações muito úteis, nos permitindo encontrar relações e regras que podemos usar na síntese de equações.

Limites no infinito

Temos sequências que se aproximam de valores quando $n$ tende a aumentar indefinidamente, ou seja, quando o valor desta variável tende a infinito. Este comportamento é similar ao encontrado quando analisamos funções que tendem a valores quando levadas ao infinito. A única diferença entre funções e sequências, quando analisadas sob este aspecto, é o fato das sequências exigirem valores inteiros das variáveis, enquanto que funções admitem valores reais para as mesmas.

Uma vez que temos a evolução de valores de sequências similares a valores de funções, é plausível concluir que limites em valores estritamente limitados a números inteiros possam levar a análise de limites de forma semelhante. Então vejamos como esta análise pode ser conduzida:

Conforme fizemos o estudo de limites no infinito no Volume 1, temos $N$ como um número tomado sob a abscissa inteira, ou seja, um número inteiro. Uma vez que tomamos este número, façamos a sequência $a_{n}$ evoluir a números maiores e observamos que estes se aproximam de um valor $M$, quanto mais alto seja $N$ mais proximo de $M$ a sequência $a_{n}$ se estabelece:

$a_{n}>M$ sempre que $n>N$

Desta forma, os valores tomados para a sequência são inteiros e o número $M$ tem a única obrigação de estar definido para um valor $N$. Portanto, podemos arbitrar valores cada vez maiores para $M$ dentro do limite estabelecido. Neste intervalo, qualquer valor de $N$ inteiro leva a valores que se aproximam de $M$ por parte de $a_{n}$.

O fato de ser possível encontrar este limite nos reporta a informação de convergência, ou seja dizemos que uma sequência converge quando é possível encontar um limite no infinito, caso contrário dizemos que a sequência diverge. Portanto, podemos classificar as sequências como convergentes ou divergentes de acordo com a existência do limite no infinito ou sua inexistência.

Limite de uma sequência

Definição: Dada uma seqüência ${a_{n}}\,\!$, dizemos que o número $L\in \mathbb {R} \,\!$ é o limite de ${a_{n}}\,\!$ para $n\rightarrow +\infty \,\!$ se, $\forall \quad \varepsilon \,\!$ > 0, $\exists N\,\!$ tal que $n\geq N\Rightarrow |a_{n}-L|\,\!$ < $\epsilon \,\!$.

Definição: Se a seqüência ${a_{n}}\,\!$ tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.

Encontremos o limite quanto $n$ tende a infinito, para a sequênca do exemplo acima:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{5n-2}}$:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1+{\frac {1}{n}}}{5-{\frac {2}{n}}}}$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}={\frac {1}{5}}$

Desta forma o resultado acima nos fornece a certeza de que podemos arbitrar valores para a variável de forma a conseguir a precisão que queiramos para a sequência e que sempre teremos valores mais próximos deste limite a medida que o valor da variável aumenta.

Propriedades de sequências

Sejam $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ duas seqüências convergentes, isto é, $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$ e $\lim _{n\to \infty }b_{n}=B$. Então:

• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=A+B$
• $\lim _{n\to \infty }k\cdot (a_{n})=k\!\cdot \!A$
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=A\cdot B$
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {A}{B}},\quad B\neq 0$

Subsequências

Definição: Dada uma seqüência $f:\mathbb {Z} _{+}^{*}\rightarrow \mathbb {R}$, as restrições de $f$ a subconjuntos de $\mathbb {Z} _{+}^{*}$ serão denominadas subseqüências de $f$.

Teorema: Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$, então toda subseqüência de $\{a_{n}\}$ converge para o mesmo limite L.

Teorema: Dada a seqüência $\{a_{n}\}$, se as subseqüências de ordem par e as subseqüências de ordem ímpar convergem para o mesmo valor L, então $\{a_{n}\}$ converge também para L.

Definição: Dada uma seqüência ${a_{n}}$, temos que:

• l é chamada de cota inferior se $l\leq a_{n},\forall n$
• L é chamada de cota superior se $L\geq a_{n},\forall n$
• ${a_{n}}$ é dita limitada se possui cota inferior e cota superior

Observações:

• Se $\{a_{n}\}$ é uma seqüência crescente ($a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \ldots$), então $a_{1}$ é uma cota inferior
• Se $\{a_{n}\}$ é uma seqüência decrescente ($a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \ldots$), então $a_{1}$ é uma cota superior
• Se $\{a_{n}\}$ é uma seqüência decrescente e seus termos são positivos ($a_{n}$ > $0$), então $a_{n}$ é limitada, $0\leq a_{n}\leq a_{1}$

Teorema: Toda seqüência monótona e limitada é convergente.

Sequências monótonas e limitadas

Definição: Seja $\{a_{n}\}$ uma seqüência monótona:

• crescente, se $a_{n}\leq a_{n+1}$
• decrescentes, se $a_{n}\geq a_{n+1}$

Séries numéricas infinitas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Séries numéricas infinitas

Quando temos que representar um número de forma literal, por meio de equação infinita, podemos lançar mão de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma soma de parcelas literais significativas onde cada valor de parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual se torna uma nova sequência.

Definição: Seja $\{a_{n}\}$ uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:

$\sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \,\!$

Observemos que $n$, como termo livre, pode assumir o valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um valor de série para cada $n$, temos uma nova seqUência gerada pela série.

Seqüência das somas parciais

Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência ${S_{n}}\,\!$, onde

$S_{1}=a_{1}\,\!$

$S_{2}=a_{1}+a_{2}=S_{1}+a_{2}\,\!$

$S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=S_{2}+a_{3}\,\!$

$\vdots \,\!$

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=S_{n-1}+a_{n}\,\!$

Série convergente

Definição: Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série e ${S_{n}}\,\!$ a sua seqüência de somas parciais.

• Se $\lim _{n\to \infty }S_{n}=S,|S|\,\!$ < $\infty \,\!$, a série é dita convergente e tem soma $S$;
• Caso contrário, a série diverge

Note que esta constatação não é tão clara para muitas das séries. Para estas, temos que recorrer a diversos recursos de análise matemática, dentre os mais conhecidos temos a indução.

Critério do termo geral

Se $\sum a_{n}\,\!$ é uma série convergente, então $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0\,\!$

Teste da divergência

Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0\,\!$, então a série $\sum a_{n}\,\!$ diverge.

Séries geométricas

São séries do tipo $\sum a\cdot r^{n-1}\,\!$.

A série geométrica:

• Converge se e só se $a=0\,\!$ ou $|r|<1\,\!$.
• Se $a=0\,\!$, então $\sum a\cdot r^{n-1}=0\,\!$ (independentemente do valor de $r\,\!$). Se $|r|<1\,\!$, então $\sum a\cdot r^{n-1}={\frac {a}{1-r}}\,\!$.

A prova é feita por indução. Façamos um ensaio parcial da série, definindo as parcelas algebricamente:

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}$

Se multiplicarmos a equação por $r$:

$rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}+ar^{n}$

Subtraímos as duas equações acima e obtemos:

$(1-r)S_{n}=a(1-r^{n})$

Finalmente, temos $r^{n}=0$ se $|r|<1$ e $lim_{n\to \infty }S_{n}$. O que nos revela que a série converge para:

$S_{n}={\frac {a}{1-r}}$

Propriedades de séries

• Sejam $\sum a_{n}\,\!$ e $\sum b_{n}\,\!$ duas séries convergentes. Então $\sum (a_{n}\pm b_{n})\,\!$ = $\sum a_{n}\pm \sum b_{n}\,\!$ converge
• Se $\sum a_{n}\,\!$ converge (diverge) e $k\not =0\,\!$, então $\sum k\cdot a_{n}=k\sum a_{n}\,\!$ converge (respectivamente, diverge) (se $k=0\,\!$, então $\sum k\cdot a_{n}=0\,\!$ converge)
• Se $\sum a_{n}\,\!$ converge e $\sum b_{n}\,\!$ diverge, então $\sum (a_{n}\pm b_{n})\,\!$ diverge
• Sejam as séries $\sum a_{n}\,\!$ e $\sum b_{k}\,\!$ tais que $b_{k}=a_{n}\,\!$ a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.

Série geométrica

Série Geométrica

A série geométrica é uma sequência numérica muito importante para a matemática e para o estudo do cálculo já que a partir dela pode-se expressar várias funções em séries de potência infinitas. Essa série também é chamada de progressão geométrica ou simplesmente PG (veja alguns exemplos no livro de matemática elementar). Referências a esta série podem ser encontradas no trabalho de Malthus e em várias formas da natureza como em conchas de caracóis.

Formalização matemática

Termo geral

$a_{n}=c\cdot r^{n}.\,\!$

Onde c é uma constante qualquer.

Soma dos $n$ primeiros termos:

$S_{n}=c\sum _{k=0}^{n}r^{k}.\,\!$

Ver também

Wikipedia

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:

Série geométrica

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Séries de termos positivos

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Séries de termos positivos

$\sum a_{n};\,a_{n}>0,\forall n\,\!$

Teste da integral

Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série de termos positivos. Seja $f(x)\,\!$ uma função positiva, contínua e decrescente para $x\geq 1\,\!$, e tal que $f(n)=a_{n}\,\!$, para $n\geq 1\,\!$. Então a série $\sum a_{n}=\sum f(x)=f(1)+f(2)+\ldots \,\!$:

• Converge, se $\int _{1}^{+\infty }f(x)\,dx\,\!$ convergir;
• Diverge, se $\int _{1}^{+\infty }f(x)\,dx\,\!$ divergir.

Teste da comparação simples

Sejam $\sum a_{n}\,\!$ e $\sum b_{n}\,\!$, $a_{n},b_{n}\,\!$ > $0\,\!$, tais que $a_{n}\geq b_{n}\,\!$. Então:

• Se $\sum a_{n}\,\!$ converge, então $\sum b_{n}\,\!$ converge
• Se $\sum b_{n}\,\!$ diverge, então $\sum a_{n}\,\!$ diverge

Teste da comparação por limite

Sejam $\sum a_{n}\,\!$ e $\sum b_{n}\,\!$, $a_{n},b_{n}\,\!$ > $0\,\!$, tais que $a_{n}\geq b_{n}\,\!$. Se:

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=k,k\neq 0\,\!$, então as séries têm o mesmo comportamento
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0\,\!$, então a série $\sum a_{n}\,\!$ converge se a série $\sum b_{n}\,\!$ converge
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty \,\!$, então a série $\sum a_{n}\,\!$ diverge se a série $\sum b_{n}\,\!$ diverge

P-séries (Critério de Dirichelet)

Uma série do tipo $\sum {\frac {1}{n^{p}}}\,\!$ converge se p > 1 e diverge se $p\leq 1\,\!$. Essas séries são conhecidas como p-séries, e são comumente usadas em testes de comparação.

Teste da razão (Critério de d'Alembert)

Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série, onde $a_{n}\,\!$ > $0\,\!$. Então:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=k\,\!$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

Teste da raiz (Critério de Cauchy)

Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série, onde $a_{n}\,\!$ > $0\,\!$. Então:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=k\,\!$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

Séries alternadas

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Séries alternadas

São séries da forma:

$\sum (-1)^{n+1}a_{n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\ldots$
ou
$\sum (-1)^{n}a_{n}=-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}-\ldots$

Teste de Leibniz

Seja a série alternada $\sum (-1)^{n+1}a_{n}$, $a_{n}$ > $0$. Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ e $a_{n}$ > $a_{n+1},\forall n$, então a série converge e a sua soma não ultrapassa o primeiro termo.

Séries absolutamente convergentes

Uma série numérica $\sum a_{n}$ é absolutamente convergente se a série dos módulos, $\sum |a_{n}|=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots$, converge.

Teorema: Se uma série numérica $\sum a_{n}$ é absolutamente convergente, então é convergente.

Séries condicionalmente convergentes

Uma série $\sum a_{n}$ convergente, mas não absolutamente convergente, é chamada de condicionalmente convergente.

Teste da razão para convergência absoluta

Seja $\sum (-1)^{n}a_{n}$ uma série numérica. Então

$\lim _{n\to +\infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=k$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

Teste da raiz para convergência absoluta

Seja $\sum (-1)^{n}a_{n}$ uma série numérica. Então

$\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=k$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

Aplicação de séries alternadas no cálculo numérico

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Aplicação de séries alternadas no cálculo numérico

Definição: Dada uma série $\sum a_{n}$ que converge, cuja soma é S, a diferença entre S e a sua soma parcial de ordem n é chamada de resto.

Notação: $R_{n}=S-S_{n}$

Teorema: Seja $\sum (-1)^{n+1}a_{n},\,a_{n}$ > $0,\forall a_{n}$, uma série alternada convergente. Então o módulo do erro, $R_{n}$, cometido ao aproximarmos a soma da série S pela soma parcial $S_{n}$, é numericamente inferior ao elemento $a_{n+1}$, ou seja, $|R_{n}|$ < $a_{n+1}$

Sequências e séries: Exercícios

1. Suponha que a n-ésima soma parcial de uma série seja dada por $s_{n}=2-{\frac {1}{3^{n}}}$.

   a) Esta série converge? Em caso afirmativo, para qual valor?

   b) Qual é a fórmula do n-ésimo termo da série?

2. Determine o valor para o qual as séries abaixo convergem:

   a) $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3}{4^{n}}}$

   b) $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2}{e}}\right)^{n}$

   c) $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-n}}$

   d) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{n-1}}{3^{n}}}$

3. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:

   a) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

   b) $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$

   c) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+1}}$

   d) $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\ln n}}$

   e) $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{2^{n}}}$

   f) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \pi n}{n}}$

   g) $\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\ln n-1}}$

4. Determine se as séries abaixo convergem condicionalmente, convergem absolutamente ou divergem:

   a) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}$

   b) $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\ln n}{n}}$

   c) $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n}{(\ln n)^{2}}}$

   d) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{n}}{e^{n}-1}}$

   e) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sin ^{2}n}}$

   f) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{(2n)!}}$

   g) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}e^{1/n}}{\arctan n}}$

Séries de potências

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Séries de potências

Uma série de potências é uma série do tipo $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-a)+a_{2}(x-a)^{2}+\ldots$ (série de potências de $x-a$), em que a e a_n são constantes.

Observação: Note que não se trata de uma série numérica. Uma série desse tipo pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros valores. Assim, faz sentido falar em _domínio de convergência_, $D_{c}$, que é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente.

Teorema: Seja a série $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}$ com raio de convergência $r$, isto é, a série converge no intervalo aberto $(a-r,a+r)$. Então, chamando $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}$ de $f(x)$, temos:

• $f(x)$ é contínua em $(a-r,a+r)$
• $\exists f'(x)$ tal que $f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot a_{n}(x-a)^{n-1}$
• $\exists H(x)$ tal que $H(x)=\int \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\right)dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-a)^{n+1}}{n+1}}$

Dica: Para determinar a soma de séries de potências, é comum partir de uma das seguintes séries:

$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}\quad {\mbox{se }}|x|$ < $1$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{x}$

Através de processos como substituição de variáveis, multiplicação, integração e diferenciação, efetuados em ambos os membros da igualdade, é possível chegar à série cuja soma queremos determinar.

Equações diferenciais primeira ordem

Uma equação diferencial de primeira ordem é uma equação em que as incógnitas são funções e essa equação envolve a primeira derivada da incógnita. Assim, podemos definir uma equação diferencial de primeira ordem como:

F(t,y,y')=0

em que t é a variável independente, y é uma função dependente de t e ao mesmo tempo a incógnita da equação e y' é a primeira derivada de y.

Uma equação diferencial de primeira ordem pode ser classificada também de acordo com o seu tipo (ordinária ou parcial) e quanto a linearidade (linear ou não-linear).

Exemplo de equação diferencial de primeira ordem:

(t-3)y'+(5t+2)y+(2t²+t)=0

Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem.