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Cálculo (Volume 3) Para a disciplina Cálculo IV

Sequências numéricas infinitas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Conceitos Iniciais

Uma sequência pode ser entendida como um conjunto de valores enumerados em uma ordem, de forma a estabelecer uma lista. Esta lista é, usualmente, denotada como $a_n$, genericamente devido ao fato de que cada elemento pode ser identificado pela posição na lista. Temos, por exemplo, $a_1,a_2,a_3,a_4,\cdots a_n$, como uma representação de uma sequência.

Representação

Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos:

$P.a.(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\mathrm{...})$

$P.g.(1;0,5;0,25;0,125;0,0625;0,03125;0,015625;\mathrm{...})$

Vejamos alguns exemplos de sequências, notando que, a princípio, não há uma regra clara para estabelecimento de cada valor que os termos da mesma assumem:

$\{0,1,0,3,0,5,1,7\cdots \}$

$\{\frac{1}{3},\frac{2}{9},\frac{3}{27}\cdots \}$

$\{\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\cdots \}$

Fórmula do termo geral

Uma progressão aritmética.

Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência.

Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é:

$a_n=a_1+(n-1).r$

Apesar de não haver uma exigência de que haja uma equação que descreva o comportamento dos elementos de uma sequência, as sequências que mantem uma relação como regra para definição de seus termos são muito úteis para o estudo do comportamento numérico. De modo genérico, podemos dizer que o mais comum é estabelecer uma relação do numero que designa o ítem da sequência e o elemento. Por exemplo, podemos ter:

$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$

Esta sequência nos fornece para cada termo a somatória dos números inteiros até o nésimo elemento da sequência. A função sequência tem um gráfico onde os valores são apresentados como pontos cuja magnitude é expressa em $y$ e o número do indice da sequência é expresso em $x$, vejamos o exemplo abaixo:

Podemos observar que os pontos representantes das amplitudes fazem com que o aspecto do gráfico de uma sequência seja diferente do conjunto contínuo que nos abituamos a observar em gráficos de funções. Enquanto a função se mantém definida para $ℝ$, a sequência define valores em ${\mathbb{N}}^{\ast }$.

Observando o gráfico da sequência, vemos que a medida que os números índice crescem as amplitudes se aproximam de um valor fixo em "y". Esta característica torna-se bastante útil para análise de tendências. Por este motivo vamos analisar estas sequências com maior atenção.

Formalmente

Definição: Uma seqüência (em Portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é ${\mathbb{Z}}_{+}^{\ast }$ e cuja imagem é $ℝ$ ou $\mathbb{Z}$. $f:{\mathbb{Z}}_{+}^{\ast }\to ℝ$

É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).

A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., n - 1, n, n + 1, ... Cada número é um termo, com n sendo o enésimo termo. Denota-se a seqüência por: {a_n}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, a₁ é 1, a₃₁₇ é 317, e a_n é n.

A seqüência também é indicada por: a₀, a₁, a₂, ..., a_n, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por S; Eles são uma seqüência em S.

Uma seqüência pode ter um número finito ou infinito de termos; portanto, pode ser uma seqüência finita ou uma seqüência infinita. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.

Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de $\mathbb{N}$ (o conjunto dos números naturais) em S.

Se S for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial.

Uma subseqüência de uma seqüência S é formada removendo-se alguns elementos de S sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.

Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo recursivo. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da seqüência de Fibonacci.

A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{2^n-1}{2^{n-1}}$

Notações:

  1 $(a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots )$
  2 $a_1,a_2,a_3,\dots$
  3 $f(n)=f(1),f(2),f(3),\dots ,f(n),\dots$
  4 $f(n)=a_n{a}_n=a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots$

OBS.: Utilizaremos mais a notação 4

OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação

Evolução

As sequências evoluem, dependendo do seu número sequencial $n$, de diversas formas. Esta evolução pode ser classificada quando a equação da sequência é conhecida. Podemos, nestes casos, verificar se a evolução da fórmula leva a números em ordem crescente ou decrescente em um intervalo ou durante sua evolução completa, do primeiro elemento ao infinito.

Uma sequência é classificada como crescente quando, para cada $n$, temos $a_n<a_{n+1}$ e decrescente quando $a_n>a_{n+1}$. Este comportamento pode ser encontrado em um trecho em particular da evolução, delimitado por dois valores de $n$, ou em toda a evolução. Sob este contexto, uma sequência crescente ou decrescente pode ser chamada de monotônica quando apresenta apenas um dos comportamentos.

Vamos analisar a evolução da sequência: $a_n=\frac{n+1}{5n-2}$

$a_1=\frac{1+1}{5(1)-2}=\frac{2}{3}$

$a_2=\frac{2+1}{5(2)-2}=\frac{3}{8}$

$a_3=\frac{3+1}{5(3)-2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

$a_4=\frac{4+1}{5(4)-2}=\frac{5}{18}$

$a_5=\frac{5+1}{5(5)-2}=\frac{6}{23}$

ou seja, temos:

$a_n=\{\frac{2}{3},\frac{3}{8},\frac{1}{3},\frac{5}{18},\frac{6}{23},\cdots \}$

Portanto, a sequência aparentemente indefinível algebricamente por uma expressão em função do índice, se mostra redutível a uma equação. Estas séries redutíveis a equações nos fornecem informações muito úteis, nos permitindo encontrar relações e regras que podemos usar na síntese de equações.

Limites no infinito

Temos sequências que se aproximam de valores quando $n$ tende a aumentar indefinidamente, ou seja, quando o valor desta variável tende a infinito. Este comportamento é similar ao encontrado quando analisamos funções que tendem a valores quando levadas ao infinito. A única diferença entre funções e sequências, quando analisadas sob este aspecto, é o fato das sequências exigirem valores inteiros das variáveis, enquanto que funções admitem valores reais para as mesmas.

Uma vez que temos a evolução de valores de sequências similares a valores de funções, é plausível concluir que limites em valores estritamente limitados a números inteiros possam levar a análise de limites de forma semelhante. Então vejamos como esta análise pode ser conduzida:

Conforme fizemos o estudo de limites no infinito no Volume 1, temos $N$ como um número tomado sob a abscissa inteira, ou seja, um número inteiro. Uma vez que tomamos este número, façamos a sequência $a_n$ evoluir a números maiores e observamos que estes se aproximam de um valor $M$, quanto mais alto seja $N$ mais proximo de $M$ a sequência $a_n$ se estabelece:

$a_n>M$ sempre que $n>N$

Desta forma, os valores tomados para a sequência são inteiros e o número $M$ tem a única obrigação de estar definido para um valor $N$. Portanto, podemos arbitrar valores cada vez maiores para $M$ dentro do limite estabelecido. Neste intervalo, qualquer valor de $N$ inteiro leva a valores que se aproximam de $M$ por parte de $a_n$.

O fato de ser possível encontrar este limite nos reporta a informação de convergência, ou seja dizemos que uma sequência converge quando é possível encontar um limite no infinito, caso contrário dizemos que a sequência diverge. Portanto, podemos classificar as sequências como convergentes ou divergentes de acordo com a existência do limite no infinito ou sua inexistência.

Limite de uma sequência

Definição: Dada uma seqüência $a_n$, dizemos que o número $L\in ℝ$ é o limite de $a_n$ para $n\to +\mathrm{\infty }$ se, $\mathrm{\forall }\epsilon$ > 0, $\mathrm{\exists }N$ tal que $n\ge N\Rightarrow |a_n-L|$ < $ϵ$.

Definição: Se a seqüência $a_n$ tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.

Encontremos o limite quanto $n$ tende a infinito, para a sequênca do exemplo acima:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1}{5n-2}$:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{1}{n}}{5-\frac{2}{n}}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\frac{1}{5}$

Desta forma o resultado acima nos fornece a certeza de que podemos arbitrar valores para a variável de forma a conseguir a precisão que queiramos para a sequência e que sempre teremos valores mais próximos deste limite a medida que o valor da variável aumenta.

Propriedades de sequências

Sejam $\{a_n\},\{b_n\}$ duas seqüências convergentes, isto é, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$ e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=B$. Então:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n\pm b_n)=A+B$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}k\cdot (a_n)=k\cdot A$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n\cdot b_n)=A\cdot B$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B},B\ne 0$

Subsequências

Definição: Dada uma seqüência $f:{\mathbb{Z}}_{+}^{\ast }\to ℝ$, as restrições de $f$ a subconjuntos de ${\mathbb{Z}}_{+}^{\ast }$ serão denominadas subseqüências de $f$.

Teorema: Se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=L$, então toda subseqüência de $\{a_n\}$ converge para o mesmo limite L.

Teorema: Dada a seqüência $\{a_n\}$, se as subseqüências de ordem par e as subseqüências de ordem ímpar convergem para o mesmo valor L, então $\{a_n\}$ converge também para L.

Definição: Dada uma seqüência $a_n$, temos que:

• l é chamada de cota inferior se $l\le a_n,\mathrm{\forall }n$
• L é chamada de cota superior se $L\ge a_n,\mathrm{\forall }n$
• $a_n$ é dita limitada se possui cota inferior e cota superior

Observações:

• Se $\{a_n\}$ é uma seqüência crescente ($a_1\le a_2\le a_3\le \dots$), então $a_1$ é uma cota inferior
• Se $\{a_n\}$ é uma seqüência decrescente ($a_1\ge a_2\ge a_3\ge \dots$), então $a_1$ é uma cota superior
• Se $\{a_n\}$ é uma seqüência decrescente e seus termos são positivos ($a_n$ > $0$), então $a_n$ é limitada, $0\le a_n\le a_1$

Teorema: Toda seqüência monótona e limitada é convergente.

Sequências monótonas e limitadas

Definição: Seja $\{a_n\}$ uma seqüência monótona:

• crescente, se $a_n\le a_{n+1}$
• decrescentes, se $a_n\ge a_{n+1}$

Séries numéricas infinitas

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Séries numéricas infinitas

Quando temos que representar um número de forma literal, por meio de equação infinita, podemos lançar mão de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma soma de parcelas literais significativas onde cada valor de parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual se torna uma nova sequência.

Definição: Seja $\{a_n\}$ uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1+a_2+a_3+\dots +a_n+\dots$

Observemos que $n$, como termo livre, pode assumir o valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um valor de série para cada $n$, temos uma nova seqUência gerada pela série.

Seqüência das somas parciais

Seja $\sum a_n$ uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência $S_n$, onde

$S_1=a_1$

$S_2=a_1+a_2=S_1+a_2$

$S_3=a_1+a_2+a_3=S_2+a_3$

$⋮$

$S_n=a_1+a_2+\dots +a_n=S_{n-1}+a_n$

Série convergente

Definição: Seja $\sum a_n$ uma série e $S_n$ a sua seqüência de somas parciais.

• Se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=S,|S|$ < $\mathrm{\infty }$, a série é dita convergente e tem soma $S$;
• Caso contrário, a série diverge

Note que esta constatação não é tão clara para muitas das séries. Para estas, temos que recorrer a diversos recursos de análise matemática, dentre os mais conhecidos temos a indução.

Critério do termo geral

Se $\sum a_n$ é uma série convergente, então $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$

Teste da divergência

Se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\ne 0$, então a série $\sum a_n$ diverge.

Séries geométricas

São séries do tipo $\sum a\cdot r^{n-1}$.

A série geométrica:

• Converge se e só se $a=0$ ou $|r|<1$.
• Se $a=0$, então $\sum a\cdot r^{n-1}=0$ (independentemente do valor de $r$). Se $|r|<1$, então $\sum a\cdot r^{n-1}=\frac{a}{1-r}$.

A prova é feita por indução. Façamos um ensaio parcial da série, definindo as parcelas algebricamente:

$S_n=a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}$

Se multiplicarmos a equação por $r$:

$r{S}_n=ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}+a{r}^n$

Subtraímos as duas equações acima e obtemos:

$(1-r)S_n=a(1-r^n)$

Finalmente, temos $r^n=0$ se $|r|<1$ e $li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}{S}_n$. O que nos revela que a série converge para:

$S_n=\frac{a}{1-r}$

Propriedades de séries

• Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$ duas séries convergentes. Então $\sum (a_n\pm b_n)$ = $\sum a_n\pm \sum b_n$ converge
• Se $\sum a_n$ converge (diverge) e $k≠0$, então $\sum k\cdot a_n=k\sum a_n$ converge (respectivamente, diverge) (se $k=0$, então $\sum k\cdot a_n=0$ converge)
• Se $\sum a_n$ converge e $\sum b_n$ diverge, então $\sum (a_n\pm b_n)$ diverge
• Sejam as séries $\sum a_n$ e $\sum b_k$ tais que $b_k=a_n$ a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.

Série geométrica

Série Geométrica

A série geométrica é uma sequência numérica muito importante para a matemática e para o estudo do cálculo já que a partir dela pode-se expressar várias funções em séries de potência infinitas. Essa série também é chamada de progressão geométrica ou simplesmente PG (veja alguns exemplos no livro de matemática elementar). Referências a esta série podem ser encontradas no trabalho de Malthus e em várias formas da natureza como em conchas de caracóis.

Formalização matemática

Termo geral

$a_n=c\cdot r^n.$

Onde c é uma constante qualquer.

Soma dos $n$ primeiros termos:

$S_n=c\sum _{k=0}^n{r}^k.$

Ver também

Wikipedia

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:

Série geométrica

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Séries de termos positivos

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Séries de termos positivos

$\sum a_n;a_n>0,\mathrm{\forall }n$

Teste da integral

Seja $\sum a_n$ uma série de termos positivos. Seja $f(x)$ uma função positiva, contínua e decrescente para $x\ge 1$, e tal que $f(n)=a_n$, para $n\ge 1$. Então a série $\sum a_n=\sum f(x)=f(1)+f(2)+\dots$:

• Converge, se ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ convergir;
• Diverge, se ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ divergir.

Teste da comparação simples

Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$, $a_n,b_n$ > $0$, tais que $a_n\ge b_n$. Então:

• Se $\sum a_n$ converge, então $\sum b_n$ converge
• Se $\sum b_n$ diverge, então $\sum a_n$ diverge

Teste da comparação por limite

Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$, $a_n,b_n$ > $0$, tais que $a_n\ge b_n$. Se:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=k,k\ne 0$, então as séries têm o mesmo comportamento
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=0$, então a série $\sum a_n$ converge se a série $\sum b_n$ converge
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=+\mathrm{\infty }$, então a série $\sum a_n$ diverge se a série $\sum b_n$ diverge

P-séries (Critério de Dirichelet)

Uma série do tipo $\sum \frac{1}{n^p}$ converge se p > 1 e diverge se $p\le 1$. Essas séries são conhecidas como p-séries, e são comumente usadas em testes de comparação.

Teste da razão (Critério de d'Alembert)

Seja $\sum a_n$ uma série, onde $a_n$ > $0$. Então:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=k$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

Teste da raiz (Critério de Cauchy)

Seja $\sum a_n$ uma série, onde $a_n$ > $0$. Então:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=k$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

Séries alternadas

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Séries alternadas

São séries da forma:

$\sum (-1{)}^{n+1}{a}_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\dots$
ou
$\sum (-1{)}^n{a}_n=-a_1+a_2-a_3+a_4-\dots$

Teste de Leibniz

Seja a série alternada $\sum (-1{)}^{n+1}{a}_n$, $a_n$ > $0$. Se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$ e $a_n$ > $a_{n+1},\mathrm{\forall }n$, então a série converge e a sua soma não ultrapassa o primeiro termo.

Séries absolutamente convergentes

Uma série numérica $\sum a_n$ é absolutamente convergente se a série dos módulos, $\sum |a_n|=|a_1|+|a_2|+\dots$, converge.

Teorema: Se uma série numérica $\sum a_n$ é absolutamente convergente, então é convergente.

Séries condicionalmente convergentes

Uma série $\sum a_n$ convergente, mas não absolutamente convergente, é chamada de condicionalmente convergente.

Teste da razão para convergência absoluta

Seja $\sum (-1{)}^n{a}_n$ uma série numérica. Então

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=k$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

Teste da raiz para convergência absoluta

Seja $\sum (-1{)}^n{a}_n$ uma série numérica. Então

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|a_n|}=k$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

Aplicação de séries alternadas no cálculo numérico

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Aplicação de séries alternadas no cálculo numérico

Definição: Dada uma série $\sum a_n$ que converge, cuja soma é S, a diferença entre S e a sua soma parcial de ordem n é chamada de resto.

Notação: $R_n=S-S_n$

Teorema: Seja $\sum (-1{)}^{n+1}{a}_n,a_n$ > $0,\mathrm{\forall }{a}_n$, uma série alternada convergente. Então o módulo do erro, $R_n$, cometido ao aproximarmos a soma da série S pela soma parcial $S_n$, é numericamente inferior ao elemento $a_{n+1}$, ou seja, $|R_n|$ < $a_{n+1}$

Sequências e séries: Exercícios

1. Suponha que a n-ésima soma parcial de uma série seja dada por $s_n=2-\frac{1}{3^n}$.

   a) Esta série converge? Em caso afirmativo, para qual valor?

   b) Qual é a fórmula do n-ésimo termo da série?

2. Determine o valor para o qual as séries abaixo convergem:

   a) $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{3}{4^n}$

   b) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{2}{e}\right)}^n$

   c) $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2-n}$

   d) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{2}^{n-1}}{3^n}$

3. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:

   a) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

   b) $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$

   c) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{n^2+1}$

   d) $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\ln n}$

   e) $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{2^n}$

   f) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos \pi n}{n}$

   g) $\sum _{n=3}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n\ln n-1}$

4. Determine se as séries abaixo convergem condicionalmente, convergem absolutamente ou divergem:

   a) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$

   b) $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\ln n}{n}$

   c) $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}n}{(\ln n{)}^2}$

   d) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{2}^n}{e^n-1}$

   e) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{{\sin }^{2}n}$

   f) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}n!}{(2n)!}$

   g) $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{e}^{1/n}}{\arctan n}$

Séries de potências

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Séries de potências

Uma série de potências é uma série do tipo $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-a{)}^n=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a{)}^2+\dots$ (série de potências de $x-a$), em que a e a_n são constantes.

Observação: Note que não se trata de uma série numérica. Uma série desse tipo pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros valores. Assim, faz sentido falar em _domínio de convergência_, $D_c$, que é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente.

Teorema: Seja a série $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-a{)}^n$ com raio de convergência $r$, isto é, a série converge no intervalo aberto $(a-r,a+r)$. Então, chamando $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-a{)}^n$ de $f(x)$, temos:

• $f(x)$ é contínua em $(a-r,a+r)$
• $\mathrm{\exists }{f}^{\prime }(x)$ tal que $f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n\cdot a_n(x-a{)}^{n-1}$
• $\mathrm{\exists }H(x)$ tal que $H(x)=\int (\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-a{)}^n)dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n(x-a{)}^{n+1}}{n+1}$

Dica: Para determinar a soma de séries de potências, é comum partir de uma das seguintes séries:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=\frac{1}{1-x}\text{se }|x|$ < $1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=e^x$

Através de processos como substituição de variáveis, multiplicação, integração e diferenciação, efetuados em ambos os membros da igualdade, é possível chegar à série cuja soma queremos determinar.

Equações diferenciais primeira ordem

Uma equação diferencial de primeira ordem é uma equação em que as incógnitas são funções e essa equação envolve a primeira derivada da incógnita. Assim, podemos definir uma equação diferencial de primeira ordem como:

F(t,y,y')=0

em que t é a variável independente, y é uma função dependente de t e ao mesmo tempo a incógnita da equação e y' é a primeira derivada de y.

Uma equação diferencial de primeira ordem pode ser classificada também de acordo com o seu tipo (ordinária ou parcial) e quanto a linearidade (linear ou não-linear).

Exemplo de equação diferencial de primeira ordem:

(t-3)y'+(5t+2)y+(2t²+t)=0

Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem.