Cálculo (Volume 3)/Sequências e séries: Exercícios

1. Suponha que a n-ésima soma parcial de uma série seja dada por $s_{n}=2-{\frac {1}{3^{n}}}$.

   a) Esta série converge? Em caso afirmativo, para qual valor?

   b) Qual é a fórmula do n-ésimo termo da série?

2. Determine o valor para o qual as séries abaixo convergem:

   a) $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3}{4^{n}}}$

   b) $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2}{e}}\right)^{n}$

   c) $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-n}}$

   d) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{n-1}}{3^{n}}}$

3. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:

   a) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

   b) $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}$

   c) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{2}+1}}$

   d) $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\ln n}}$

   e) $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{2^{n}}}$

   f) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \pi n}{n}}$

   g) $\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\ln n-1}}$

4. Determine se as séries abaixo convergem condicionalmente, convergem absolutamente ou divergem:

   a) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}$

   b) $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\ln n}{n}}$

   c) $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n}{(\ln n)^{2}}}$

   d) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{n}}{e^{n}-1}}$

   e) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sin ^{2}n}}$

   f) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{(2n)!}}$

   g) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}e^{1/n}}{\arctan n}}$