Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas

Origem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa
Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Séries numéricas infinitas[editar | editar código-fonte]

Quando temos que representar um número de forma literal, por meio de equação infinita, podemos lançar mão de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma soma de parcelas literais significativas onde cada valor de parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual se torna uma nova sequência.

Definição: Seja uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:

Observemos que , como termo livre, pode assumir o valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um valor de série para cada , temos uma nova seqUência gerada pela série.

Seqüência das somas parciais[editar | editar código-fonte]

Seja uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência , onde

Série convergente[editar | editar código-fonte]

Definição: Seja uma série e a sua seqüência de somas parciais.

  • Se < , a série é dita convergente e tem soma ;
  • Caso contrário, a série diverge

Note que esta constatação não é tão clara para muitas das séries. Para estas, temos que recorrer a diversos recursos de análise matemática, dentre os mais conhecidos temos a indução.

Critério do termo geral[editar | editar código-fonte]

Se é uma série convergente, então

Teste da divergência[editar | editar código-fonte]

Se , então a série diverge.

Séries geométricas[editar | editar código-fonte]

São séries do tipo .

A série geométrica:

  • Converge se e só se ou .
  • Se , então (independentemente do valor de ). Se , então .

A prova é feita por indução. Façamos um ensaio parcial da série, definindo as parcelas algebricamente:

Se multiplicarmos a equação por :

Subtraímos as duas equações acima e obtemos:

Finalmente, temos se e . O que nos revela que a série converge para:

Propriedades de séries[editar | editar código-fonte]

  • Sejam e duas séries convergentes. Então = converge
  • Se converge (diverge) e , então converge (respectivamente, diverge) (se , então converge)
  • Se converge e diverge, então diverge
  • Sejam as séries e tais que a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.