Cálculo (Volume 3)/Séries de termos positivos

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Séries de termos positivos

$\sum a_{n};\,a_{n}>0,\forall n\,\!$

Teste da integral

Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série de termos positivos. Seja $f(x)\,\!$ uma função positiva, contínua e decrescente para $x\geq 1\,\!$, e tal que $f(n)=a_{n}\,\!$, para $n\geq 1\,\!$. Então a série $\sum a_{n}=\sum f(x)=f(1)+f(2)+\ldots \,\!$:

• Converge, se $\int _{1}^{+\infty }f(x)\,dx\,\!$ convergir;
• Diverge, se $\int _{1}^{+\infty }f(x)\,dx\,\!$ divergir.

Teste da comparação simples

Sejam $\sum a_{n}\,\!$ e $\sum b_{n}\,\!$, $a_{n},b_{n}\,\!$ > $0\,\!$, tais que $a_{n}\geq b_{n}\,\!$. Então:

• Se $\sum a_{n}\,\!$ converge, então $\sum b_{n}\,\!$ converge
• Se $\sum b_{n}\,\!$ diverge, então $\sum a_{n}\,\!$ diverge

Teste da comparação por limite

Sejam $\sum a_{n}\,\!$ e $\sum b_{n}\,\!$, $a_{n},b_{n}\,\!$ > $0\,\!$, tais que $a_{n}\geq b_{n}\,\!$. Se:

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=k,k\neq 0\,\!$, então as séries têm o mesmo comportamento
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0\,\!$, então a série $\sum a_{n}\,\!$ converge se a série $\sum b_{n}\,\!$ converge
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty \,\!$, então a série $\sum a_{n}\,\!$ diverge se a série $\sum b_{n}\,\!$ diverge

P-séries (Critério de Dirichelet)

Uma série do tipo $\sum {\frac {1}{n^{p}}}\,\!$ converge se p > 1 e diverge se $p\leq 1\,\!$. Essas séries são conhecidas como p-séries, e são comumente usadas em testes de comparação.

Teste da razão (Critério de d'Alembert)

Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série, onde $a_{n}\,\!$ > $0\,\!$. Então:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=k\,\!$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

Teste da raiz (Critério de Cauchy)

Seja $\sum a_{n}\,\!$ uma série, onde $a_{n}\,\!$ > $0\,\!$. Então:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=k\,\!$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir