Medida e integração/Mensurabilidade

Introdução

Nos cursos básicos de cálculo, aprende-se que a integral está intimamente relacionada com a noção de área que se conhece desde o ensino fundamental. A teoria da integração tem em suas raízes os trabalhos de matemáticos gregos como Eudoxo e Arquimedes, que viveram alguns séculos antes de Cristo. Naqueles tempos, eles já eram capazes de calcular áreas e volumes por meio do método de exaustão, no qual se decompunha um todo em infinitas partes cuja área ou volume fossem quantidades conhecidas.

O maior avanço em relação a integração veio somente no século XVII, com a descoberta do teorema fundamental do cálculo, feita independentemente por Newton e Leibniz. No entanto, mesmo nesta época a teoria da integração carecia de uma formulação rigorosa. Foi Riemann quem, no século XIX, trouxe uma formalização da noção de integral através do uso de limites. Hoje em dia, os cursos de cálculo trazem tradicionalmente as ideias e propriedades mais relevantes da integral de Riemann.

Apesar de sua popularidade, a teoria de integração desenvolvida por Riemann tem algumas deficiências que se tornam evidentes quando se precisa estudar sequências de funções integráveis ou mesmo séries de tais funções. O exemplo notável surge ao considerar uma sequência $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ de funções integráveis à Riemann que em cada ponto $x$ converge para um valor $f(x).$ Geralmente, quando se tem uma sequência convergente (no caso, $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} })$ e uma operação sendo feita sobre cada um de seus termos (no caso o cálculo da integral de Riemann), é importante poder "comutar o limite e a operação". No exemplo citado, seria interessante que valesse a seguinte igualdade:

$\lim \int f_{n}=\int \lim f_{n}.$

Usando-se a integral de Riemann, para se ter garantia desta propriedade é preciso exigir muito mais do que a convergência pontual: Se a sequência for uniformemente convergente, pode-se comutar o símbolo da integral com o do limite.

Henri Lebesgue, em 1902 desenvolveu em sua dissertação uma teoria de integração mais elegante, preenchendo as grandes lacunas na teoria de integração de Riemann. Devido a importância daquele trabalho, a teoria é hoje chamada de Integração de Lebesgue.

O conceito de mensurabilidade

Quando se estuda topologia, um conceito que está sempre presente é o de função contínua. As funções contínuas tem várias propriedades interessantes e são fundamentais no estudo de espaços topológicos. Em contrapartida, no desenvolvimento da teoria de integração, certo tipo de funções, as chamadas funções mensuráveis, também têm grande importância. Estas funções possuem algumas características em comum com as funções contínuas, e isto ficará evidente conforme forem deduzidas algumas de suas propriedades.

Ao se definir o que são funções contínuas, é levada em consideração a forma como estas funções se comportam em relação a certos subconjuntos de seu domínio e seu contradomínio. Para ser mais exato, se diz que uma função é contínua quando a pré-imagem (ou imagem inversa) de qualquer aberto do seu contradomínio é um conjunto aberto do seu domínio. De forma análoga, definem-se as funções mensuráveis considerando o comportamento destas funções em relação a conjuntos abertos do contradomínio e um outro tipo de subconjuntos do seu domínio: os conjuntos mensuráveis.

Apesar de ainda não ter sido dito o que é uma medida, esta é uma ideia que aparece em contextos bastante simples, como é o caso dos intervalos numéricos da reta de números reais. Intuitivamente, pode-se dizer que o comprimento do intervalo $\left(a,b\right)$ é igual a $|b-a|,$ ou ainda, a distância de $a$ até $b.$ Os intervalos são exemplos típicos de algo que se gostaria de poder "medir". Seria igualmente interessante poder medir as uniões finitas de intervalos, e também ser capaz de fornecer a medida da diferença $\left(a,b\right)\smallsetminus \left(c,d\right)$ entre dois intervalos. Propriedades como estas servem de motivação para se definir as $\sigma$-álgebras de conjuntos e em sequência a noção de mensurabilidade.

Definição 1.1

Dado um conjunto $X\not =\emptyset ,$ diz-se que uma coleção ${\mathfrak {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ de subconjuntos de $X$ é uma ${\boldsymbol {\sigma }}$-álgebra sobre $\mathbf {X}$ se ${\mathfrak {M}}$ satisfaz as seguintes condições:

1. $X\in {\mathfrak {M}};$
2. Se $A\in {\mathfrak {M}}$ então $X\smallsetminus A\in {\mathfrak {M}};$
3. Se $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ é uma sequência em ${\mathfrak {M}}$ então $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathfrak {M}}.$

Observações

• Obs. 1.2: Conforme já foi dito, será usada a notação $A^{c}$ para denotar o complementar de $A$ em relação a $X$ sempre que o contexto deixar claro qual o conjunto $X$ em questão. Em particular, isto se aplica ao segundo item da definição de $\sigma$-álgebra. Assim, a propriedade 2 diz que se $A$ pertence a uma $\sigma$-álgebra, então $A^{c}$ também pertence.
• Obs. 1.3: Decorre diretamente da definição que o conjunto vazio $\emptyset$ pertence a qualquer $\sigma$-álgebra, pois $\emptyset =X^{c}$ e $X\in {\mathfrak {M}}.$
• Obs. 1.4: Utilizando as leis de De Morgan, obtém-se uma propriedade equivalente à terceira exigência da Definição 1.1, mas que envolve uma interseção enumerável:

3'. Se $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ é uma sequência em ${\mathfrak {M}}$ então $\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathfrak {M}}.$

• Obs. 1.5: Se $(x_{\lambda })_{1\leq \lambda \leq p}$ é uma sequência finita em ${\mathfrak {M}},$ então

$\bigcap _{1\leq \lambda \leq p}X_{\lambda }\in {\mathfrak {M}}$ e $\bigcup _{1\leq \lambda \leq p}X_{\lambda }\in {\mathfrak {M}}.$

• Obs. 1.6: Se $A\in {\mathfrak {M}}$ e $B\in {\mathfrak {M}},$ então $A\smallsetminus B\in {\mathfrak {M}}.$ De fato, sendo $A\subset X,$ tem-se

$A\smallsetminus B=\{x\in A;x\not \in B\}=A\cap \{x\in X;x\not \in B\}=A\cap (X\smallsetminus B).$

Como se poderia imaginar a partir dos comentários que precederam a definição definição de $\sigma$-álgebra, os conjuntos mensuráveis serão aqueles que verificam as propriedades acima. De forma mais precisa:

Definição 1.7

Se ${\mathfrak {M}}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X,$ o par ordenado $\left(X,{\mathfrak {M}}\right)$ é chamado de espaço mensurável e os elementos de ${\mathfrak {M}}$ são denominados conjuntos mensuráveis.

• Obs. 1.8: É comum cometer um abuso de linguagem e se referir ao "espaço mensurável $\left(X,{\mathfrak {M}}\right)$" sem mencionar a $\sigma$-álgebra ${\mathfrak {M}},$ como por exemplo ao dizer "o espaço mensurável $X$". Obviamente, isto só será feito quando ficar claro qual a $\sigma$-álgebra em questão. A situação análoga no contexto da Topologia é falar de um espaço topológico sem mencionar sua topologia, como em "$\mathbb {R}$ é um espaço topológico".

Finalmente, uma vez caracterizados os conjuntos mensuráveis, a noção de mensurabilidade pode ser definida também para funções:

Definição 1.9

Se $f:X\mapsto Y$ é uma função para a qual $X$ é um espaço mensurável e $Y$ é um espaço topológico, diz-se que $f$ é uma função mensurável ou aplicação mensurável se para cada aberto $A$ de $Y,$ sua imagem inversa $f^{-1}(A)$ for um conjunto mensurável.

O próximo resultado mostra uma forma de se obter funções mensuráveis quando já se conhece uma função mensurável e uma contínua: basta realizar sua composição, aplicando primeiro a função mensurável e por último a função contínua.

Proposição 1.10

Sejam $X$ um espaço mensurável, $Y$ e $Z$ espaços topológicos e $f:X\mapsto Y$ uma aplicação mensurável. Se $g:Y\mapsto Z$ é uma função contínua então $h:=g\circ f:X\mapsto Z$ é uma aplicação mensurável.

Demonstração
Se $A$ é um aberto em $Z,$ então $g^{-1}(A)$ é aberto em $Y,$ pois $g$ é contínua. Consequentemente, $h^{-1}(A)=f^{-1}(g^{-1}(A))$ é um conjuntos mensurável, pois $f$ é mensurável e $g^{-1}(A)$ é aberto.

Um resultado análogo ao anterior, que pode ser aplicado quando se tem uma função contínua a duas variáveis reais (ou a uma variável complexa), é mostrado a seguir.

Proposição 1.11

Sejam $X$ um espaço mensurável, $\mathbb {R}$ e $Y$ espaços topológicos, onde a topologia de $\mathbb {R}$ é a usual. Se $u,v:X\mapsto \mathbb {R}$ são aplicações mensuráveis e $\Phi :\mathbb {C} \mapsto Y$ é uma função contínua então $h:X\mapsto Y,$ definida por $h(x)=\Phi (u(x),v(x))$ é uma aplicação mensurável.

Demonstração

Considere $\lambda :X\mapsto \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {C}$ a função definida por $\lambda (x)=(u(x),v(x)).$ Então $h=\Phi \circ \lambda$ e pela proposição anterior, basta mostrar que $\lambda$ é mensurável. Para isto, considere um aberto $A$ de $\mathbb {C} .$ Suponha inicialmente que $A$ é um retângulo cujos lados são paralelos aos eixos, ou seja, $A=I\times J,$ com $I$ e $J$ sendo intervalos abertos de $\mathbb {R} .$ Neste caso, tem-se $\lambda ^{-1}(A)=u^{-1}(I)\cap v^{-1}(J).$ Como $u$ e $v$ são funções mensuráveis, e tanto $I$ quanto $J$ são conjuntos abertos, tem-se $u^{-1}(I)$ e $v^{-1}(J)$ mensuráveis. Mas a interseção finita de conjuntos mensuráveis é um conjuntos mensurável (ver observação anterior), então $\lambda ^{-1}(A)$ é mensurável. Se $A$ for um aberto arbitrário do espaço $\mathbb {C} ,$ existe uma família enumerável $\left(A_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ de retângulos abertos em $\mathbb {C} ,$ com lados paralelos aos eixos, de tal modo que $A=\cup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}.$ Deste modo, $\lambda ^{-1}(A)=\lambda ^{-1}\left(\cup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\cup _{i\in \mathbb {N} }\lambda ^{-1}\left(A_{i}\right).$ Uma vez que $A$ se escreve como uma união enumerável de conjuntos mensuráveis, conclui-se que ele é mensurável (conforme a terceira propriedade que define uma $\sigma$-álgebra).

Como consequência imediata desta proposição, tem-se o seguinte:

Corolário 1.12

Sejam $X$ um espaço mensurável e $\mathbb {R}$ um espaço topológico (com sua topologia usual). Se $u,v:X\mapsto \mathbb {R}$ são aplicações mensuráveis, então $f:=u+iv$ é uma aplicação mensurável.

Demonstração
Segue da proposição anterior, com $Z=\mathbb {C}$ e $g=id_{\mathbb {C} },$ pois neste caso $f(x)=u(x)+i(x)=(u(x),v(x))=g(u(x),v(x)),$ para qualquer $x\in X.$

Um outro resultado imediato que trata especificamente da mensurabilidade de funções de uma variável complexa é o seguinte:

Corolário 1.13

Sejam $X$ um espaço mensurável e $\mathbb {R}$ um espaço topológico (com sua topologia usual). Se $f:=u+iv:X\mapsto \mathbb {C}$ é uma aplicação mensurável então $u,v,|f|:X\mapsto \mathbb {R}$ são aplicações mensuráveis.

Demonstração

Primeiramente, para garantir que $u$ é mensurável, basta observar que $u=f\circ Re,$ onde $Re:\mathbb {C} \mapsto \mathbb {R}$ é dada por $Re(x+iy)=Re(x,y)=x$ é uma função contínua. Então, como $u$ é a composição de uma função contínua com uma mensurável, $u$ também é mensurável. De forma análoga, observa-se que $v=f\circ Im,$ onde $Im:\mathbb {C} \mapsto \mathbb {R}$ é dada por $Im(x+iy)=Im(x,y)=y$ também é uma função contínua. Pelo mesmo argumento segue que $v$ é mensurável. Com o mesmo raciocínio mostra-se que $|f|$ é mensurável, pois a função $|\cdot |:\mathbb {C} \mapsto \mathbb {R}$ é contínua e $f=|\cdot |\circ f.$

Além do que já foi mostrado até o momento, no conjunto das funções mensuráveis que tomam valores em um corpo também verifica uma propriedade muito frequente em matemática: o fechamento em relação a soma e o produto. Uma consequência disto é que um polinômio em funções mensuráveis continua sendo mensurável e, em particular, a multiplicação de uma função mensurável por uma constante (ou se preferir, um escalar) também é mensurável. O resultado que garante estas propriedades é apresentado a seguir.

Corolário 1.14

Sejam $X$ um espaço mensurável, $\mathbb {K}$ um espaço topológico (com sua topologia usual) e $\lambda \in \mathbb {K} .$ Se $f,g:X\mapsto \mathbb {K}$ são mensuráveis então $u+v,$ $uv$ e $\lambda v$ são mensuráveis.

Demonstração

;Caso 1 Se $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,$ basta observar que a função $\Phi (s,t)=s+t$ de duas variáveis reais é contínua e que $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\Phi (f(x),g(x))=h(x),$ portanto, $f+g$ é mensurável (conforme a Proposição 1.11). Do mesmo modo, tomando $\Phi (s,t)=st,$ tem-se novamente uma função de duas variáveis que é contínua e tal que $(fg)(x)=f(x)g(x)=\Phi (f(x),g(x))=h(x),$ Donde se conclui pela mesma proposição que $fg$ é mensurável. Considerando a função constante $\lambda ^{*}:X\mapsto \mathbb {R} ,$ definida por $\lambda ^{*}(x)=\lambda ,$ tem-se $\lambda ^{*}$ mensurável. De fato, seja $A$ um aberto de $\mathbb {R} .$ Então $\left(\lambda ^{*}\right)^{-1}(A)={\begin{cases}X,&{\mbox{se }}\lambda \in A\\\emptyset ,&{\mbox{se }}\lambda \not \in A\end{cases}}$ e ambos estes conjuntos são mensuráveis. Assim, considerando que $(\lambda f)(x)=\lambda f(x)=\lambda ^{*}(x)f(x)=(\lambda ^{*}f)(x),$ para qualquer $x\in X,$ tem-se $\lambda f$ igual ao produto de duas funções mensuráveis e, portanto, é também mensurável. Em particular, quando $\lambda =-1$ conclui-se que $-f$ é mensurável. Caso 2 Se $\mathbb {K} =\mathbb {C} ,$ considere $u$ e $u_{1}$ as partes reais de $f$ e $g,$ respectivamente. Do mesmo modo, sejam $v$ e $v_{1}$ as partes imaginárias de $f$ e $g,$ respectivamente. Isto significa que $f=u+iv$ e $g=u_{1}+iv_{1}$ e consequentemente $f+g=(u+u_{1})+i(v+v_{1})$ e $fg=(uu_{1}-vv_{1})+i(uv_{1}+vu_{1}).$ Conforme já foi demonstrado, se $f$ e $g$ forem funções mensuráveis, tem-se $u,$ $v,$ $u_{1}$ e $v_{1}$ mensuráveis. Pela demonstração do caso 1, as somas $u+u_{1}$ e $v+v_{1}$ são mensuráveis. Logo $f+g=(u+u_{1})+i(v+v_{1})$ é mensurável. Do mesmo modo, segue do caso 1 que $uu_{1}-vv_{1}$ e $uv_{1}+vu_{1}$ são mensuráveis, portanto $fg=(uu_{1}-vv_{1})+i(uv_{1}+vu_{1})$ também é. Finalmente, a mensuralidade de $\lambda f$ no caso complexo segue da mensurabilidade do produto de funções complexas recém provada, usando o mesmo argumento do caso real.

• Obs. 1.15: Seja $X$ um espaço mensurável. Então o conjunto

${\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} ):=\{f:X\mapsto \mathbb {K} ;f$ é mensurável $\}$

munido das operações pontuais de adição, multiplicação e multiplicação por escalar, é uma $\mathbb {K}$-álgebra (ou também uma sub $\mathbb {K}$-álgebra de ${\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )$).

Definição 1.16

Dado um conjunto $X\not =\emptyset$ e $E\subset X,$ a função característica de $\mathbf {E}$ é a função $X_{E}:X\mapsto \{0,1\}$ definida por

$X_{E}(x)={\begin{cases}1,&{\text{ se }}x\in E\\0,&{\text{ se }}x\in E_{X}^{c}\end{cases}}$

Obs. 1.17: Note que o domínio da função característica de $E\subset X$ é $X,$ e não $E.$

O próximo resultado mostra que um conjunto é mensurável se, e somente se, a sua função característica for mensurável (se vista como uma função que toma valores em $\mathbb {R} ).$ Por simplicidade, a função ${\overline {X_{E}}}:X\mapsto \mathbb {R}$ definida por ${\overline {X_{E}}}(x)=X_{E}(x)$ em cada elemento de $X$ também será denotada pelo símbolo $X_{E},$ ficando implícito que o contradomínio é o conjunto dos números reais ao se falar sobre a sua mensurabilidade. Além disso, como já foi dito, se não for feita indicação em contrário será considerada a topologia usual de $\mathbb {R} .$

Proposição 1.18

Dado um espaço mensurável $X$ e $E\subset X,$ as seguintes afirmações são equivalentes

1. $E$ é mensurável;
2. $X_{E}$ é uma função mensurável;

Demonstração

Assuma primeiramente que $E$ é mensurável. Se $A$ é um subconjunto aberto de $\mathbb {R} ,$ então $\{0,1\}\cap A=\emptyset$ ou $\{0,1\}\cap A\not =\emptyset .$ No primeiro caso, tem-se $X_{E}^{-1}(A)=\emptyset ,$ que é mensurável. No segundo caso, tem-se: $X_{E}^{-1}(A)={\begin{cases}E,&{\text{ se }}\{0,1\}\cap A=\{1\},\\E_{X}^{c},&{\text{ se }}\{0,1\}\cap A=\{0\}{\text{ e}}\\X,&{\text{ se }}\{0,1\}\cap A\subset A\end{cases}}$ Segue da definição de $\sigma$-álgebra que $X$ é mensurável e, como $E$ é mensurável (por hipótese), também resulta que $E_{X}^{c}$ é mensurável. Isto significa que $X_{E}^{-1}(A)$ é sempre mensurável quando $A$ é um aberto. Portanto, $X_{E}$ é uma função mensurável. Reciprocamente, se $X_{E}$ é uma função mensurável. Tomando o aberto $A$ igual ao intervalo $(0,2),$ tem-se $\{0,1\}\cap A=\{1\}$. Então $X_{E}^{-1}(A)=E$ é mensurável pois, por hipótese, a função característica de $E$ é mensurável.

Proposição 1.19

Dado um espaço mensurável $X$ e uma função mensurável $f:X\mapsto \mathbb {C} ,$ existe uma função mensurável $\alpha :X\mapsto \mathbb {C}$ tal que $|\alpha (x)|=1$ para todo $x\in X$ e $f=\alpha |f|.$

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

A seguir, é demonstrado um a interseção de uma família de $\sigma$-álgebras é ainda uma $\sigma$-álgebra.

Lema 1.20

Se $X$ é um conjunto não-vazio e $(M_{i})_{i\in I}$ é uma família de $\sigma$-álgebras sobre $X,$ então $M:=\cap _{i\in I}M_{i}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X.$

Prova
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Proposição 1.21

Se $X$ é um conjunto não-vazio e $F$ é um de seus subconjuntos, então existe a menor $\sigma$-álgebra sobre $X$ que contém $F.$

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Definição 1.22

A menor $\sigma$-álgebra sobre $X$ que contém $F$ é chamada de ${\boldsymbol {\sigma }}$-álgebra gerada por $\mathbf {F}$ e denotada por ${\boldsymbol {\langle F\rangle }}.$

Exercícios

Exercício

Demonstre que se obtém uma definição de $\sigma$-álgebra equivalente a que foi dada se for trocada a propriedade 3 por 3', ou seja, se for exigido que a interseção enumerável de mensuráveis seja mensurável (em vez da união enumerável).

Resolução

Basta observar que, pelas leis de De Morgan, $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}^{c}\right)^{c}$ e também $\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}^{c}\right)^{c}.$ De fato, supondo que $A_{i}\in {\mathfrak {M}},$ para cada $i\in \mathbb {N} ,$ tem-se pela propriedade 2 que $A_{i}^{c}\in {\mathfrak {M}},$ para cada $i\in \mathbb {N} .$ Então, se for assumida a propriedade 3' como parte da definição, resulta $\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}^{c}\in {\mathfrak {M}}.$ Usando a propriedade 2 novamente tem-se $\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}^{c}\right)^{c}.$ De forma completamente análoga, assumindo 3' como parte da definição, segue a propriedade 3.

Exercício

Mostre que a interseção finita $\bigcap _{1\leq \lambda \leq p}X_{\lambda }$ e a união finita $\bigcup _{1\leq \lambda \leq p}X_{\lambda }$ são mensuráveis sempre que os conjuntos $X_{1},\ldots ,X_{p}$ forem mensuráveis.

Resolução

Basta definir a sequência $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ como: $A_{i}={\begin{cases}X_{i+1},&{\mbox{ se }}0\leq i\leq p-1\\\emptyset ,&{\mbox{ se }}i\geq p\end{cases}}$ Então, uma vez que $\emptyset$ é mensurável, se os conjuntos $X_{1},\ldots ,X_{p}$ são mensuráveis, resulta que todos os termos da sequência são mensuráveis. Então, a propriedade 3 pode ser aplicada para se concluir que $\bigcup _{1\leq \lambda \leq p}X_{\lambda }=\bigcup _{\lambda \in \mathbb {N} }A_{\lambda }$ é mensurável. Do mesmo modo, a propriedade 3' implica que $\bigcap _{1\leq \lambda \leq p}X_{\lambda }=\bigcap _{\lambda \in \mathbb {N} }A_{\lambda }$ é mensurável.

Exercício

Dado um conjunto $X$ arbitrário, verifique se os seguintes conjuntos são $\sigma$-álgebras sobre $X$:

1. ${\mathfrak {M}}=\left\{\emptyset ,X\right\}$
2. ${\mathfrak {M}}={\mathcal {P}}(X)$

Resolução

1. Considere ${\mathfrak {M}}=\left\{\emptyset ,X\right\}.$ Há três propriedades que devem ser verificadas por ${\mathfrak {M}},$ para que ele seja uma $\sigma$-álgebra sobre $X$: Primeiramente, pela própria definição, tem-se $X\in {\mathfrak {M}};$ Suponha-se que $A\in {\mathfrak {M}}.$ Pela definição de ${\mathfrak {M}},$ segue que $A=\emptyset$ ou $A=X.$ No primeiro caso, $A^{c}=\emptyset ^{c}=X\in {\mathfrak {M}}.$ A outra possibilidade é que $A^{c}=X^{c}=\emptyset \in {\mathfrak {M}}.$ Portanto, tem-se sempre $A^{c}\in {\mathfrak {M}}$ quando $A\in {\mathfrak {M}}.$ Finalmente, seja $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ é uma sequência em ${\mathfrak {M}}.$ Pela definição de ${\mathfrak {M}},$ para cada $i\in \mathbb {N} ,$ tem-se $A_{i}=\emptyset$ ou $A_{i}=X.$ Se for sempre o caso que $A_{i}=\emptyset ,$ então $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=\emptyset \in {\mathfrak {M}}.$ Caso contrário, existe algum índice $i_{0}$ de modo que $A_{i_{0}}=X.$ Neste caso, $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=X\in {\mathfrak {M}}.$ Portanto, ${\mathfrak {M}}$ é uma $\sigma$-álgebra. 2. Deixado a cargo do leitor.

Exercício

Se $X$ é um conjunto infinito, é verdade que ${\mathfrak {M}}={\mathcal {P}}_{f}(X)$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X$?

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Exercício

Seja $X$ é um conjunto arbitrário e $S\subset X.$ Demonstre que ${\mathfrak {M}}=\left\{A\in {\mathcal {P}}(X):A\cap S=\emptyset {\text{ ou }}S\subset A\right\}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X$ e que $\left\{S,S_{X}^{c}\right\}\subset {\mathfrak {(}}M).$

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.