No decorrer deste texto algumas notações serão usadas com bastante frequência. Por este motivo, este capítulo é destinado a esclarecer tais notações.
Os conjuntos de números mais conhecidos serão denotados de maneira usual:
é o conjunto formado pelos números que se usa para contar, ou seja, os números naturais: ![{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,\ldots \};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bca8b188f917b6a0b482819461ab3368fb1383b)
é o conjunto que contém todos os números inteiros, ou seja, os números naturais e seus opostos: ![{\displaystyle \mathbb {Z} =\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots \};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ead3e92f71834a736f7e47d97c96a70ac435c4)
é o conjunto formado pelos números racionais, ou seja, as frações positivas e negativas com numerador e denominador inteiros: ![{\displaystyle \mathbb {Z} =\{{\frac {p}{q}}:p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {Z} ,q\not =0\};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da617bfc83736cfb02d0669fe1bc99901cb6c419)
denota o conjunto dos números reais, que é formado pela união dos números racionais com os números irracionais;
denota o corpo dos números complexos;
Adicionalmente, quando for mencionada uma propriedade que vale tanto para o corpo
quanto para o corpo
será usada a notação
para não ser necessário mencionar ambos os conjuntos. Sendo assim, sempre que você encontrar
ao longo do texto, lembre-se que o mesmo pode ser trocado por
ou por
sem prejuízo algum.
Às vezes, ao se definir um conjunto
(ou um conceito qualquer
) em termos de uma expressão
, é conveniente abreviar a afirmação "
é definido como sendo
" denotando-a simplesmente como:
.
Em alguns livros, você pode encontrar também as notações
e
mas neste texto elas não serão utilizadas.
Se
for qualquer um dos conjuntos
ou
indica-se que o zero foi removido de tal conjunto usando-se a notação
Em símbolos, isto se expressa como:
![{\displaystyle \Lambda ^{*}:=\Lambda \smallsetminus \{0\}=\{x\in \Lambda :x\not =0\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a6679d2c0f309cb6ee45dbe0e91a7b964e92ea)
Se
e
são conjuntos, então:
denota a cardinalidade do conjunto
(ou a quantidade de elementos em
). Quando
é finito, escreve-se
;
é a interseção dos conjuntos
e ![{\displaystyle \mathbf {B} ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b4a982a07e317bb1ea141ca4c9a29b97c9e30a)
é a união dos conjuntos
e ![{\displaystyle \mathbf {B} ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b4a982a07e317bb1ea141ca4c9a29b97c9e30a)
denota a diferença entre os conjuntos
e ![{\displaystyle \mathbf {A} ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfbd1b13b9474d72dd1f7e7723b5eef15d623c1)
- Se
o conjunto
é chamado de complementar de
em relação a
e passa a ser denotado por
No entanto, alguns autores[1] preferem manter a notação ![{\displaystyle B\smallsetminus A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b91b31b175565df01c5910a4f6cb0a46a38b3e13)
- Quando ficar claro pelo contexto qual é o conjunto
pode-se omiti-lo na notação
Nesses casos, escreve-se apenas
(o complementar de
). Com esta notação, tem-se
Em alguns livros, encontram-se também as notações
ou ainda
[2]
é a diferença simétrica entre
e ![{\displaystyle \mathbf {B} ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b4a982a07e317bb1ea141ca4c9a29b97c9e30a)
é o conjunto das partes de
ou seja, o conjunto dos subconjuntos de ![{\displaystyle A;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7cecd17a6391088853da5c2ab12b71f1359725e)
é o conjunto das partes finitas de ![{\displaystyle \mathbf {A} ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfbd1b13b9474d72dd1f7e7723b5eef15d623c1)
Se
e
são conjuntos não-vazios, então uma família em
indexada por
é simplesmente qualquer aplicação
Os elementos de
são chamados de índices e conjunto
é então um conjunto de índices. A família é denotada por
ou, quando o conjunto de índices ficar claro pelo contexto, simplesmente por
Alguns autores preferem usar
ou
no lugar de
Ocasionalmente isto poderá acontecer ao longo deste wikilivro.
Se
é enumerável, ou seja, se existe uma correspondência biunívoca de
com
a família
é chamada de sequência em
indexada por
. Se
é finito, a família
é chamada de sequência finita em
indexada por
Se
é uma família em
indexada por
enumerável ou não, então:
- A união arbitrária dos
quando
percorre
é o conjunto
![{\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }:=\{x:x\in X_{\lambda _{0}},{\text{ para algum }}\ \lambda _{0}\in \Lambda \};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0249c5241e8ab9ba282fbddcbb54b4468aa452)
- A intereseção arbitrária dos
quando
percorre
é o conjunto
![{\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }:=\{x:x\in X_{\lambda },\forall i\in \Lambda \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2691a092850b581dbc2781b60545539391c92c)
Se
, a união arbitrária dos
quando
percorre
é
![{\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\bigcup _{\lambda =0}^{\infty }X_{\lambda },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31261393fa5b97ee1800bab8cd4f87389b49d265)
e a intereseção arbitrária dos
quando
percorre
é
![{\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\bigcap _{\lambda =0}^{\infty }X_{\lambda }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d9df2c9f192fe974561e59ac57a7b823ca9553b)
Analogamente, se
, então:
![{\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\bigcup _{\lambda =0}^{k}X_{\lambda }=\bigcup _{0\leq \lambda \leq k}X_{\lambda }=X_{0}\bigcup \ldots \bigcup X_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05abf5051c82b21ad07254f30c99825ddb5243c)
Do mesmo modo, escreve-se
![{\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\bigcap _{\lambda =0}^{k}X_{\lambda }=\bigcap _{0\leq \lambda \leq k}X_{\lambda }=X_{0}\bigcap \ldots \bigcap X_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e61eecdca4f6ab38ba26c7027d1933b2964a07)
- Convenção
Se
então
e
- ↑ DiBenedetto (2002)
- ↑ Royden (1988).