Medida e integração/A reta real estendida

No estudo da teoria da medida, é comum lidar com sequências e séries de funções. Como se sabe da análise real, algumas vezes os termos de uma sequência assumem valores arbitrariamente grandes e este é um dos casos em que se diz que a sequência não converge. Entretanto, em certos contextos é extremamente útil considerar este tipo de sequência como sendo convergente, pois os seus termos "tendem a infinito" ou se "aproximam do infinito". O problema é que o "infinito" não faz parte do conjunto dos números reais, então para que esta noção possa ter um sentido mais preciso, costuma-se definir um novo conjunto a partir dos números reais e dos elementos $-\infty$ e $+\infty ,$ de modo que este seja uma extensão da reta real:

Definição 2.23

A reta real estendida ${\overline {\mathbb {R} }}$ é o conjunto $\mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{+\infty \}.$

• Obs. 2.24: Por simplicidade, também poderá ser usada a notação $\infty$ para o elemento $+\infty$ de ${\overline {\mathbb {R} }}.$ A reta real estendida também costuma ser denotada por $\left[-\infty ,\infty \right].$

Em capítulos posteriores será considerado frequentemente o subconjunto ${\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ da reta real estendida definido por

${\overline {\mathbb {R} }}_{+}:=\left[0,\infty \right]=\mathbb {R} _{+}\cup \{\infty \}$.

Há outros motivos importantes para se considerar o $\infty$ ao longo da teoria da medida, por exemplo:

• É de interesse poder integrar funções sobre conjuntos que tenham "medida infinita": perceba que $\mathbb {R}$ tem, intuitivamente, comprimento infinito;
• Mesmo quando se pretende fazer a integração de funções que tomam valores reais, pode ocorrer que ao considerar uma sequência de funções $f_{n}:X\mapsto \mathbb {R} _{+},$ o valor de $\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ ou de $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$ seja infinito em alguns pontos $x\in X.$ Em tais situações, caso não se trabalhe com o $\infty$, se perde uma parte da elegância e simplicidade dos principais resultados sobre convergência (por exemplo, o teorema da convergência monótona e a "integração termo a termo" de séries de funções). Torna-se então mais conveniente a introdução do símbolo $\infty$ e de algumas convenções para se fazer cálculos envolvendo este símbolo.

Na próxima seção serão definidas algumas estruturas que facilitam o uso de ${\overline {\mathbb {R} }}:$ uma relação de ordem, uma topologia e também uma aritmética.

Ordem, topologia e aritmética na reta real estendida

A retal real estendida se torna um conjunto totalmente ordenado definindo $-\infty \leq a\leq +\infty$ para todo número real $a$. Analogamente, a ordem sobre ${\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é induzida ordem de ${\overline {\mathbb {R} }},$ ou seja, para cada $a\in \mathbb {R} _{+}$ se tem $0\leq a<\infty .$

Com esta ordem, se $\emptyset \not =X\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ e $X$ não é limitado superiormente, isto é, se para todo $y\in \mathbb {R}$ existe algum $x\in X$ tal que $x>y,$ então $\sup X=\infty .$ Analogamente, se $X$ não é limitado inferiormente, então $\inf X=-\infty .$ Deste modo, todo subconjunto não vazio de ${\overline {\mathbb {R} }}$ (e, em particular, de $\mathbb {R}$) tem supremo e ínfimo em ${\overline {\mathbb {R} }},$ o que faz da reta real estendida um reticulado completo. Este é um dos principais motivos para a introdução dos símbolos $-\infty$ e $+\infty .$

A partir desta relação de ordem, defini-se a topologia da ordem sobre ${\overline {\mathbb {R} }}.$ Os intervalos abertos são os subconjuntos de ${\overline {\mathbb {R} }}$ que podem ser escritos em uma das seguintes formas:

• $(a,b):=\{x\in \mathbb {R} :a\in \mathbb {R} ,b\in \mathbb {R} {\text{ e }}a<x<b\}$
• $[-\infty ,a):=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}:a\in \mathbb {R} {\text{ e }}-\infty \leq x<a\}$
• $(a,+\infty ]:=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}:a\in \mathbb {R} {\text{ e }}a<x\leq +\infty \}$

Deste modo, um conjunto $U\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ é aberto se for uma reunião de intervalos dos tipos acima (pois eles formam uma base de abertos para ${\overline {\mathbb {R} }}$).

Com esta topologia, as noções de limite envolvendo o infinito podem ser definidas de forma unificada a partir da definição topológica de limite.

Observe que ao fazer a interseção de $\mathbb {R}$ com intervalos abertos de ${\overline {\mathbb {R} }}$ se obtém um intervalo aberto de $\mathbb {R} ,$ ou seja, um conjunto da forma $(a,b),$ $(-\infty ,a)$ ou $(a,+\infty ).$ Levando em conta que estes intervalos formam uma base de abertos para a topologia usual de $\mathbb {R} ,$ segue que tal topologia é induzida pela que se definiu sobre ${\overline {\mathbb {R} }}$ anteriormente e que a inclusão $x\in \mathbb {R} \mapsto x\in {\overline {\mathbb {R} }}$ é contínua. Do mesmo modo, a topologia usual sobre ${\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ é a induzida pela topologia usual de ${\overline {\mathbb {R} }}.$

As operações aritméticas de $\mathbb {R}$ podem ser parcialmente estendidas para ${\overline {\mathbb {R} }}$ da seguinte maneira:

${\begin{aligned}a+\infty =+\infty +a&=+\infty ,&a&\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a&=-\infty ,&a&\neq +\infty \\a\cdot \pm \infty =\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot \pm \infty =\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\a\cdot +\infty =+\infty \cdot a&=0,&a&=0\end{aligned}}$

Aqui, $a+\infty$ significa tanto $a+(+\infty )$ quanto $a-(-\infty )$ e $a-\infty$ significa tanto $a-(+\infty )$ quanto $a+(-\infty ).$

Também será convencionado que $|\pm \infty |=+\infty .$

Quando se restringe as operações apenas ao conjunto ${\overline {\mathbb {R} }}_{+},$ vale:

$a+\infty =\infty +a=\infty ,a\in {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$

$a\cdot \infty =\infty \cdot a={\begin{cases}\infty ,&{\mbox{se }}a\in (0,+\infty ]\\0,&{\mbox{se }}a=0\end{cases}}$

Por mais estranho que possa parecer a definição de $0\cdot \infty$ (ou $\infty \cdot 0$) como sendo $0,$ verifica-se facilmente que, com esta escolha, em ${\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ continuam valendo as propriedades comutativa, associativa e distributiva, sem qualquer restrição. Vale ressaltar, no entanto, que as "leis de cancelamento" devem ser usadas com cuidado, pois:

• $a+b=a+c\Rightarrow b=c,$ apenas no caso em que $a<\infty$
• $ab=ac\Rightarrow b=c,$ somente quando se tem $0<a<\infty$

As expressões $1/0,$ $\infty -\infty$ e $\pm \infty /\pm \infty$ (chamadas de "formas indeterminadas") serão deixadas indefinidas, como é de costume em outros textos da área. As regras acima podem ser intuídas a partir das propriedades usuais de limites que tomam valores infinitos, presentes nos textos de cálculo.

Com as definições dadas, ${\overline {\mathbb {R} }}$ não é um corpo nem mesmo um anel. Apesar disto, ele ainda possui diversas propriedades bastante convenientes:

• $a+(b+c)$ e $(a+b)+c$ ou são iguais ou são ambos indefinidos.
• $a+b$ e $b+a$ ou são iguais ou são ambos indefinidos.
• $a\times (b\times c)$ e $(a\times b)\times c$ ou são iguais ou são ambos indefinidos.
• $a\times b$ e $b\times a$ ou são iguais ou são ambos indefinidos
• $a\times (b+c)$ e $(a\times b)+(a\times c)$ são iguais se ambos estiverem definidos.
• Se $a=b$ e se tanto $a+c$ quanto $b+c$ estiverem definidos, então $a+c=b+c$.
• Se $a=b$ e $c>0$ e tanto $a\times c$ quanto $b\times c$ estiverem definidos, então $a\times c=b\times c$.

Em geral, todas as regras usuais de aritmética continuam válidas em ${\overline {\mathbb {R} }},$ desde que todas as expressões envolvidas estejam definidas.

Na próxima seção será considerado uma $\sigma$-álgebra que pode ser definida de modo muito natural a partir da topologia de um conjunto: Se $(X,{\mathcal {C}})$ é um espaço topológico, tem-se em particular que ${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(X).$ Neste caso, conforme se demonstrou na Proposição 1.21 existe a menor $\sigma$-álgebra sobre $X$ que contém ${\mathcal {C}},$ que é $\langle {\mathcal {C}}\rangle .$ Isto motiva a próxima definição.

Conjuntos de Borel

Definição 2.25

Seja $(X,{\mathcal {C}})$ um espaço topológico. A $\sigma$-álgebra ${\mathcal {B}}_{X}:=\langle {\mathcal {C}}\rangle$ gerada pela topologia ${\mathcal {C}}$ é denominada ${\boldsymbol {\sigma }}$-álgebra de Borel. Qualquer elemento desta $\sigma$-álgebra é chamado de conjunto de Borel de ${\boldsymbol {(X,{\mathcal {C}})}}$ ou boreliano de ${\boldsymbol {(X,{\mathcal {C}})}}.$

• Obs. 2.26: Quando a topologia estiver subentendida, será dito simplesmente "conjunto de Borel de $X$" ou "boreliano de $X$". Se não houver risco de confusão, pode-se denotar a $\sigma$-álgebra ${\mathcal {B}}_{X}$ simplesmente por ${\mathcal {B}}.$
• Obs. 2.27: Considerando que os abertos da topologia são mensuráveis, os seus complementares são também mensuráveis pela propriedade 2 da definição de $\sigma$-álgebra. Consequentemente, as reuniões eumeráveis de conjuntos fechados também são mensuráveis, conforme a propriedade 3 da mesma definição. Além disso, da observação 1.4 segue que as interseções enumeraveis de abertos também são elementos da ${\boldsymbol {\sigma }}$-álgebra de Borel.

Conforme se aprende em topologia, se $(X,{\mathcal {C}})$ e $(Y,{\mathcal {C}}')$ são espaços topológicos, e $f:X\mapsto Y$ é uma função contínua, então a pré-imagem $f^{-1}(A)$ de qualquer aberto $A\in {\mathcal {C}}'$ é um aberto da topologia ${\mathcal {C}}.$ Neste caso, levando em conta que ${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {B}}_{X},$ se conclui que $f^{-1}(A)\in {\mathcal {B}}_{X},$ para qualquer $A\in {\mathcal {C}}'.$ Isto significa que $f$ é mensurável em relação a ${\mathcal {B}}_{X}$ e ${\mathcal {C}}'.$ Estas funções mensuráveis recebem os nomes específicos, conforme a próxima definição.

Definição 2.28

Sejam $(X,{\mathcal {C}})$ e $(Y,{\mathcal {C}}')$ espaços topológicos. Uma função Borel mensurável é qualquer função contínua $f:X\mapsto Y.$ Se $Y=\mathbb {K} ,$ tais funções são denominadas funções de Borel ou ainda aplicações de Borel.

Proposição 2.29

Seja $(X,{\mathfrak {M}})$ um espaço mensurável. Se $(Y,{\mathcal {C}})$ é um espaço topológico e $f:X\mapsto Y$ é uma função entre estes espaços, então:

1. $M_{f}:=\{E\in {\mathcal {P}}(Y)|f^{-1}(E)\in {\mathfrak {M}}\}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $Y;$
2. Se $f$ é mensurável (em relação a ${\mathfrak {M}}$ e ${\mathcal {C}}$) então ${\mathcal {B}}_{Y}\subset M_{f}$ e $f^{-1}\in {\mathfrak {M}},$ para qualquer que seja $E\in {\mathcal {B}}_{Y};$
3. Se $Y={\overline {\mathbb {R} }}$ e $f^{-1}((a,\infty ])\in {\mathfrak {M}}$ para todo $a\in \mathbb {R} ,$ então $f$ é mensurável.

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

A última propriedade da proposição anterior costuma ser usada para verificar se determinada função que toma valores reais é ou não mensurável.

A próxima definição apresenta alguns conceitos relacionados a ideia de limite: os limites de oscilação. Sua importância será notada no decorrer do estudo de sequências, tanto numéricas quanto de funções.

Definição 2.30

Seja $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sequência em ${\overline {\mathbb {R} }},$ o limite inferior de ${\boldsymbol {(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}}$ é o elemento de ${\overline {\mathbb {R} }}$ dado por

$\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup\{\,\inf\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\in \mathbb {N} \,\}$

Analogamente, o limite superior de ${\boldsymbol {(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}}$ é o elemento de ${\overline {\mathbb {R} }}$ dado por

$\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\in \mathbb {N} }\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf\{\,\sup\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\in \mathbb {N} \,\}$

Proposição 2.31

Uma sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ de ${\overline {\mathbb {R} }}$ é convergente se, e somente se,

2.32

$\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$

Demonstração
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A seguir serão definidas algumas operações que se costuma fazer com funções com imagem na reta real estendida. A essência de tais operações é "tomar um limite em cada ponto do domínio da função". A definição 2.31 formaliza esta ideia:

Definição 2.33

Seja $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sequência de funções definidas em um subconjunto $X$ de ${\overline {\mathbb {R} }}.$ Definem-se as funções $\inf f_{n},$ $\sup f_{n},$ $\liminf f_{n}$ e $\limsup f_{n},$ de $X$ em ${\overline {\mathbb {R} }}$ através das fórmulas:

2.34

$(\inf f_{n})(x):=\inf _{n\in \mathbb {N} }\{f_{n}(x)\}$

2.35

$(\sup f_{n})(x):=\sup _{n\in \mathbb {N} }\{f_{n}(x)\}$

2.36

$(\liminf f_{n})(x):=\liminf _{n\in \mathbb {N} }\{f_{n}(x)\}$

2.37

$(\limsup f_{n})(x):=\limsup _{n\in \mathbb {N} }\{f_{n}(x)\}$

Além disso, se em cada $x\in X$ existe $\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x),$ define-se $\lim f_{n},$ o limite pontual da sequência $f_{n}$ no ponto $x,$ como sendo:

2.38

$(\lim f_{n})(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$

Proposição 2.39

Seja $(X,{\mathfrak {M}})$ um espaço mensurável e considere para cada $n\in \mathbb {N}$ uma função $f_{n}:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}.$ Se $f_{n}$ é mensurável, para todo $n\in \mathbb {N} ,$ então as funções $\inf f_{n},$ $\sup f_{n},$ $\liminf f_{n}$ e $\limsup f_{n}$ são mensuráveis.

Demonstração
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Corolário 2.40

Seja $(X,{\mathfrak {M}})$ um espaço mensurável e considere para cada $n\in \mathbb {N}$ uma função mensurável $f_{n}:X\mapsto \mathbb {C} .$ Se $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge pontualmente para $f,$ então $f$ é mensurável.

Demonstração
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Corolário 2.41

Seja $(X,{\mathfrak {M}})$ um espaço mensurável. Se $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ e $g:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ são mensuráveis então as funções $\min\{f,g\}$ e $\max\{f,g\}$ são mensuráveis.

Demonstração
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No desenvolvimento da teoria de integração, será importante considerar os seguintes tipos particulares de funções da forma $\min\{f,g\}$ e $\max\{f,g\}:$

Definição 2.42

Seja $X$ um conjunto, $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ uma função e $0:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ a função nula. A parte positiva de $f$ é a função definida por

2.43

$f^{+}:=\max\{f,0\}$

Analogamente a parte negativa de $f$ é a função definida por

2.44

$f^{-}:=-\min\{f,0\}=\max\{-f,0\}$

Lema 2.45

Seja $X$ um conjunto, $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ uma função e $0:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ a função nula. Então:

1. $f^{+}\geq 0$
2. $f^{-}\geq 0$
3. $|f|=f^{+}+f^{-}$
4. $f=f^{+}-f^{-}$
5. Se $X$ é um espaço mensurável e $f$ é mensurável, então $f^{+},$ $f^{-},$ e $|f|$ são mensuráveis;
6. Se $X$ é um espaço mensurável e tanto $f^{+}$ quanto $f^{-}$ são mensuráveis, então $f$ e $|f|$ são mensuráveis;
7. Se $f=g-h,$ com $g\geq 0$ e $h\geq 0$ então $f^{+}\leq g$ e $f^{-}\leq h.$

Demonstração
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Obs. 2.46: O último item do Lema 2.45 pode ser interpretado da seguinte maneira: $f^{+}$ e $f^{-}$ são as menores funções não-negativas cuja diferença é $f.$ Neste sentido, pode-se dizer que a representação $f=f^{+}-f^{-}$ é mínima.