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Medida e integração/Funções simples e a topologia da reta estendida

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Em linhas gerais, uma função simples é uma função que assume uma quantidade finita de valores. No contexto da teoria abordada neste livro, a definição de função simples incluirá algumas restrições adicionais, de modo que este nome possa ser usado apenas para se referir ao tipo de específico de função simples que é relevante para a integração.

Definição 3.1

Seja um espaço mensurável. Uma função simples sobre é qualquer função tal que é um conjunto finito.

A função definida por é uma função simples. De fato, tem-se

Isto significa que que é finito. Observe ainda que

Em geral, se e se definem os conjuntos para cada de a resulta que Note que é uma partição finita de

Por outro lado, sempre que se tem uma partição finita de e uma sequência finita de elementos em de modo que quando a equação define uma função simples. É comum se referir ao segundo membro daquela equação como sendo a representação canônica de

Lema 3.2

Seja um espaço mensurável e a função simples sobre dada por

Então para que seja mensurável é necessário e suficiente que cada seja mensurável, onde

Demonstração
Nesta demonstração, quando será usada a notação para indicar o conjunto .

Primeiramente, supondo que seja mensurável e observando que cada conjunto é aberto em tem-se mensurável. Mas então cada um dos conjuntos é mensurável.

Como o complementar de um conjunto mensurável é mensurável, tem-se mensurável para todo

Reciprocamente, assumindo que é mensurável quando e tomando um aberto de deve-se mostrar que é mensurável. Há dois casos que precisam ser considerados:

A primeira situação só pode ocorrer se que é um conjunto mensurável. No segundo caso, o conjunto é não vazio e é possível escrever Sendo esta uma união finita de conjuntos mensuráveis, conclui-se que é mensurável.

Portanto a função também é mensurável.


Teorema 3.4

Seja um espaço mensurável. Se e é a função nula, então existe uma sequência de funções simples, mensuráveis em de modo que:

  1. para todo
  2. em todo ponto

Demonstração
Para cada pode-se particionar o intervalo em intervalos iguais da seguinte forma:

Considere a pré-imagem por de cada um destes intervalos:

e defina também

A seguir, será demonstrado que a sequência de funções cujos termos são dados por

satisfaz as condições estipuladas no enunciado do teorema. Isto será feito em três etapas:

  1. A sequência é não-decrescente;
  2. A sequência é limitada superiormente por
  3. A sequência converge pontualmente para

Primeiramente, fixe um ponto e um inteiro positivo Para mostrar que observe que:

Como há duas possibilidades:

  1. para algum tal que

Na primeira delas, tem-se e portanto Mas

então deve estar em um destes dois intervalos disjuntos, isto é, ou Se ocorrer então Por outro lado, caso ocorra então

Portanto,

Na segunda possibilidade, tem-se e consequentemente Além disso,

então deve estar em um destes dois intervalos disjuntos. No caso em que isto é, se deduz que A outra alternativa é que e de se conclui que

Usando isto em conjunto com a desigualdade se deduz que existe algum índice tal que e Isto implica que pela própria definição deste conjunto. Logo, Com isto, se conclui a prova de que a sequência é não-decrescente.

Agora, para garantir que basta observar que se e então

  • implica e portanto
  • implica e portanto

Finalmente, em todo ponto De fato, para cada pode ocorrer ou

  • Se então para cada tem-se e consequentemente Logo,
  • Se então existe algum para o qual quando Então para cada um destes valores de tem-se para algum satisfazendo ou seja, Logo, Neste caso,

Assim, para todo tal que

Obs. 3.5: No caso em que é uma função limitada, ou seja, quando existe uma constante para a qual em todo ponto pode-se tomar na prova acima. Nesta situação, a conclusão é que a sequência converge uniformemente para

Com relação as sequências cujos termos estão em tem-se a seguinte propriedade: Se e são sequências não decrescentes em ou seja, e para todo e existem os limites e então

Esta propriedade, juntamente com a Proposição 2.39 e o Teorema 3.4, implicam que se

Proposição 3.6

Se e são funções mensuráveis, então e também são mensuráveis.

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.