Medida e integração/Medida

Definição 4.1

1. Seja ${\mathfrak {M}}$ uma $\sigma$-álgebra sobre um conjunto $X.$ Uma medida positiva sobre ${\mathfrak {M}}$ é uma função $\mu :{\mathfrak {M}}\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ satisfazendo a seguinte propriedade:
   1. Dada uma sequência $\left(A_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ de elementos de ${\mathfrak {M}},$ cujos termos são dois a dois disjuntos, vale $\textstyle \mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }^{\infty }\mu (A_{i});$
   2. Existe algum conjunto $A\in {\mathfrak {M}}$ para o qual $\mu (A)<\infty .$
2. Um espaço com medida ou espaço de medida é uma terna ordenada $(X,{\mathfrak {M}},\mu ),$ em que ${\mathfrak {M}}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre o conjunto $X$ (ou seja, $(X,{\mathfrak {M}})$ é um espaço mensurável) e $\mu$ é uma medida positiva sobre ${\mathfrak {M}}.$
3. Uma medida complexa limitada é uma função $\mu :{\mathfrak {M}}\mapsto \mathbb {C}$ para a qual $\textstyle \mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }^{\infty }\mu (A_{i}),$ para toda sequência disjunta $\left(A_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ de elementos de ${\mathfrak {M}}.$

• Obs. 4.2: Apesar de serem chamadas de "positivas" as medidas abordadas neste capítulo tomam valores "não negativos". Neste sentido, talvez fosse preferível a terminologia "medida não negativa", em vez da adotada neste texto. No entanto, o uso da expressão mais simples não deve gerar confusão.
• Obs. 4.3: A exigência de que algum elemento da $\sigma$-álgebra tenha medida finita é apenas para evitar trivialidades, como a "medida" que toma o valor infinito em todos os elementos de ${\mathfrak {M}}.$
• Obs. 4.4: Uma vez que este capítulo irá abordar essencialmente as medidas positivas, elas serão chamadas simplesmente de "medidas" quando isto não causar confusão.

Proposição 4.5

Se $\mu$ é uma medida positiva sobre uma $\sigma$-álgebra ${\mathfrak {M}},$ então:

1. $\mu (\emptyset )=0;$
2. Se $\left(A_{i}\right)_{1\leq i\leq n}$ é uma sequência disjunta finita cujos termos estão em ${\mathfrak {M}},$ então $\textstyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i});$
3. Se $A$ e $B$ estão em ${\mathfrak {M}}$ e $A\subset B,$ então $\mu (A)\leq \mu (B)$ e $\mu (A\cup B)\leq \mu (A)+\mu (B).$ Se, além disso, $\mu (A)<\infty ,$ então $\mu (B\smallsetminus A)=\mu (B)-\mu (A);$
4. Se $\left(A_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ é uma sequência cujos termos estão em ${\mathfrak {M}}$ e verificam $A_{i}\subset A_{i+1},$ para todo $n\in \mathbb {N} ,$ então $\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})=\mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right);$
5. Se $\left(A_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ é uma sequência cujos termos estão em ${\mathfrak {M}}$ e verificam $A_{i}\supset A_{i+1},$ para todo $n\in \mathbb {N}$ e $\mu (A_{0})<\infty ,$ então $\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})=\mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right).$

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

• Obs. 4.6: Com exceção do terceiro item desta proposição, as demais propriedades continuam valendo no caso das medidas complexas finitas, pois a prova é idêntica.

Antes de passar aos exemplos mais interessantes de medidas, pode-se apresentar alguns tipos bem simples, conforme os próximos exemplos mostram. A medida de Lebesgue sobre $\mathbb {R} ^{n}$ possui uma construção mais elaborada, e por isso será introduzida em um capítulo posterior.

Exemplos

Medida da contagem

Dado um conjunto arbitrário $X,$ pode-se definir uma medida $\mu :{\mathcal {P}}(X)\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ da seguinte maneira:

$\mu (E)={\begin{cases}\infty ,&{\text{se }}E{\text{ tem infinitos elementos}}\\n,&{\text{se }}E{\text{ tem }}n{\text{ elementos}}\end{cases}}$

A verificação de que esta função é realmente uma medida fica a cargo do leitor. Sinta-se convidado a melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Medida de Dirac em $x_{0}$

Dado um conjunto arbitrário $X$ e um ponto qualquer $x_{0}\in X,$ define-se $\delta _{x_{0}}:{\mathcal {P}}(X)\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ como

$\delta _{x_{0}}(E)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x_{0}\in E\\0,&{\text{se }}x_{0}\not \in E\end{cases}}$

A verificação de que esta função é realmente uma medida fica a cargo do leitor. Sinta-se convidado a melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Esta medida também é conhecida popularmente pelo nome de "medida da massa unitária concentrada em $x_{0}$".

Generalização

Os exemplos anteriores são casos particulares de um tipo mais geral de medida. Para perceber isto, é preciso considerar um tipo de "soma" que envolve famílias não enumeráveis de números reais não negativos. Considere um conjunto $X$ e uma função $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}_{+}.$ Defina

$\sum _{x\in X}f(x):=\sup \left\{\sum _{x\in F}f(x):F\subset X{\text{ e }}|F|<\infty \right\}$

Posteriormente será visto que esta soma é a "integral de $f$" em relação a medida da contagem sobre $X.$ Agora que foi estabelecida uma notação para este tipo de soma, observe que a função $f$ determina uma medida positiva sobre a $\sigma$-álgebra ${\mathcal {C}},$ da seguinte maneira:

$\mu _{f}(E):=\sum _{x\in E}f(x)$

Com as notações anteriores, tem-se a medida da contagem sobre $X$ quando $f$ é a função constante igual a $1.$

Analogamente, a medida de Dirac em $x_{0}$ é obtida quando existe algum $x_{0}\in X$ tal que

$f(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x=x_{0}\\0,&{\text{se }}x\not =x_{0}\end{cases}}.$

Contra-exemplo

No último item da Proposição 4.5, é realmente necessário que se verifique a hipótese $\mu (A_{0})<\infty ,$ caso contrário não se tem garantia sobre qualquer relação entre $\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})$ e $\textstyle \mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right).$ Por exemplo, se $\mu$ é a medida da contagem sobre $X=\mathbb {N}$ e se define para cada $n\in \mathbb {N}$ o conjunto $A_{n}=\{p\in \mathbb {N} :p\geq n\},$ então obviamente $A_{n}\supset A_{n+1},$ para todo $n\in \mathbb {N}$ e $\textstyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\emptyset .$ No entanto, $\mu (A_{n})=\infty ,$ para todo $n\in \mathbb {N}$ e, em particular, $\mu (A_{0})=\infty .$ Neste caso,

$\mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\mu (\emptyset )=0<\infty =\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n}).$

Sobre a as notações e a terminologia

Na definição Definição 4.1, caracterizou-se um "espaço de medida" como sendo uma terna ordenada $(X,{\mathfrak {M}},\mu ),$ em que $X$ é um conjunto, ${\mathfrak {M}}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X$ e $\mu$ é uma medida positiva sobre ${\mathfrak {M}}.$ Analogamente, na definição de "espaço mensurável", é explicitado um par ordenado $(X,{\mathfrak {M}}),$ no qual $X$ é um conjunto e ${\mathfrak {M}}$ é uma $\sigma$-álgebra sobre $X.$ A presença de todo este formalismo é geralmente vantajosa, e por vezes necessária, principalmente ao se definir os novos conceitos. No entanto, tal formalismo é de certo modo dispensável: Ao definir um espaço de medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ),$ é considerada a função $\mu .$ Como toda função tem um domínio, e no caso de $\mu ,$ o domínio é uma $\sigma$-álgebra, basta conhecer a medida para saber quem é ${\mathfrak {M}}.$ Além disso, sabendo-se quem é ${\mathfrak {M}},$ se deduz qual é o conjunto $X,$ pois ele é simplesmente o maior conjunto que pertence a qualquer $\sigma$-álgebra sobre $X.$

Sendo assim, é aceitável usar expressões informais como, por exemplo, "seja $\mu$ uma medida". No caso de ser necessário dar alguma ênfase para a $\sigma$-álgebra ou para o conjunto $X,$ poderia ser dito "seja $\mu$ uma medida sobre ${\mathfrak {M}}$" ou "seja $\mu$ uma medida sobre X".

Em síntese, é de uso corrente nos livros da área expressões e notações simples, em vez de suas formulações "logicamente impecáveis", então o leitor não deve se espantar ao se deparar com frases do tipo "seja $X$ um espaço com medida", já que em tais situações ficará implícito que há alguma medida definida sobre alguma $\sigma$-álgebra sobre $X,$ conforme as observações anteriores sugerem.

Ver também

• Counting measure: Artigo sobre a medida da contagem, na Wikipédia inglesa;
• Dirac measure: Artigo sobre a medida de Dirac, na Wikipédia inglesa;