Medida e integração/Integração de funções positivas

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Ao longo deste capítulo estará fixado um espaço com medida

Definição 5.1

Considere uma função simples mensurável sobre , cuja forma canônica é dada por:

ou seja,

  1. tem elementos[ver nota 1];
  2. é uma partição de ; e
  3. Para cada tem-se

Nestas condições, define-se para cada a integral de sobre em relação à medida como sendo:

  • Obs. 5.2: Note como está sendo usada a convenção de que pode acontecer de existir algum índice para o qual e . A convenção foi feita de tal modo que ao colocar um coeficiente nulo em uma parcela, a medida do subconjunto de correspondente não interfira no valor final da integral.
  • Obs. 5.3: Pode ser demonstrado que o fato da função simples estar ou não expressa em sua forma canônica não influi no valor produzido pela fórmula 5.1.1.
Exercício
Justifique a afirmação feita na Observação 5.3.
Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Pelo Teorema 3.4, toda função pode ser aproximada por uma sequência não-decrescente de funções simples. Isto motiva a próxima definição, na qual é apresentada a noção de integral para um certo tipo de funções que não são simples.

Definição 5.4

Se é uma função mensurável, define-se para cada a integral de Lebesgue de sobre em relação à medida como sendo o elemento de dado por:

onde é função simples, mensurável sobre e tal que [ver nota 2]

No caso em que se diz que é integrável em . Se então se diz simplesmente que é integrável.

  • Obs. 5.5: Note que se uma função mensurável é simples, a fórmula 5.4.1 da Definição 5.4 fornece para a integral uma expressão que, a primeira vista, não tem motivo para coincidir com aquela da fórmula 5.1.1 presente na Definição 5.1. No entanto, pode-se verificar que elas de fato fornecem o mesmo valor.
Exercício
Justifique a afirmação feita na Observação 5.5.
Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.
Lema 5.6

Dado um espaço com medida e uma partição finita de em conjuntos mensuráveis, considere a função simples mensurável[ver nota 3] definida por

onde, para cada tem-se Então, para todo vale:

Demonstração
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Lema 5.7

Dado um espaço com medida e as funções simples mensuráveis e Se [ver nota 4], então para qualquer tem-se:

Demonstração
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  • Obs. 5.8: Se é mensurável, então a função que em cada valor é definida por também é mensurável. Deste modo, a Definição 5.4, que se aplica a função pode também ser aplicada à função

Proposição 5.9

Seja uma função mensurável. A integral definida anteriormente verifica as seguintes propriedades:

  1. Se é mensurável e então
  2. Se e então
  3. Se então
  4. Se para todo vale então [ver nota 5]
  5. Se então [ver nota 6]
Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.
Crystal Clear app kaddressbook.png Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Explicitar no enunciado da proposição anterior as hipóteses que devem ser feitas sobre as funções envolvidas.
  • Obs. 5.10: O último item desta proposição indica que mesmo se a integral tivesse sido definida apenas sobre o conjunto ainda seria possível definir o valor da integral sobre subconjuntos mensuráveis de usando como definição a fórmula
  • Obs. 5.11: É interessante notar que se então é possível definir um espaço com medida sobre de forma muito natural: A coleção de partes de definida por é uma -álgebra sobre (isto fica como exercício para o leitor). Então a função é uma medida positiva sobre e, consequentemente, é um espaço com medida. Este fato serve para reforçar a ideia central da observação anterior: se é definida a integral sobre os espaços de medida, então é definida automaticamente a integral sobre cada parte mensurável de tais espaços.
Corolário 5.12

Se é um conjunto mensurável, então:

  1. Para quaisquer funções mensuráveis tais que tem-se
Demonstração
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  • Obs. 5.13: Note que, ao contrário do que acontecia no item correspondente da Proposição 5.9, o primeiro item deste corolário exige apenas que a desigualdade seja válida nos pontos que pertemcem a

A essência do segundo item deste corolário é que a integral também serve para "medir conjuntos". Na verdade, isto continua válido mesmo que a função que está sendo integrada não seja Conforme a próxima proposição, a integração de uma função simples sobre conjuntos que pertencem a uma -álgebra define uma medida.

Proposição 5.14

Dada uma função simples mensurável sobre , se é a função que em cada vale

[ver nota 7]

então é uma medida sobre

Demonstração
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Outra propriedade que se poderia esperar da integração de funções simples é a somatividade:

Proposição 5.15

Se e são funções simples mensuráveis sobre então:

Demonstração
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Lema 5.16

Se a é uma função mensurável e é uma função simples mensurável, então a função é mensurável.

Demonstração
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  • Obs. 5.17: Note que
  • Obs. 5.18: O Corolário 1.14 e a observação 1.15 somente garantiam a validade deste resultado quando as imagens das funções envolvidas estavam contidas em É graças a este Lema 5.16 que será possível usar o mesmo resultado também quando a função assume o valor infinito. No entanto a demonstração é apenas uma adapatação daquela apresentada para a Proposição 1.11.

O próximo resultado é conhecido como Teorema da Convergência Monótona de Lebesgue e, além de ser um resultado importante sobre convergência, é um dos teoremas centrais de toda a teoria de Lebesgue.

Teorema 5.19

Seja um espaço com medida e, para cada seja uma função mensurável. Se a sequência é não decrescente[ver nota 8] e, para cada existe o limite então:

  1. A função definida por é mensurável;
Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.
  • Obs. 5.20: Note que no segundo item deste teorema, ambos os membros podem ser iguais a infinito.

Um resultado análogo sobre a integração de séries é apresentado no teorema seguir.

Teorema 5.21

Seja um espaço com medida e, para cada seja uma função mensurável. Então:

  1. A função definida por é mensurável;
Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

O resultado técnico apresentado a seguir, conhecido como Lema de Fatou, se mostrará extremamente importante e útil.

Teorema 5.22

Seja um espaço com medida e, para cada seja uma função mensurável. Então:

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

O próximo resultado é uma generalização da Proposição 5.14.

Teorema 5.23

Seja um espaço com medida e uma função mensurável sobre Se é a função que em cada vale

então:

  1. é uma medida sobre ;
  2. Para cada função mensurável vale

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.
  • Obs. 5.24: Alguns autores indicam o segundo item deste teorema com a notação embora isto não queira dizer que os símbolos e façam sentido individualmente. A igualdade significa apenas que vale a fórmula 5.23.2 do Teorema 5.23.

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Isto é, quando
  2. Lembre-se que significa para todo
  3. A mensurabilidade desta função segue do Lema 3.2, considerando que cada é mensurável.
  4. Ou seja, para todo
  5. Mesmo quando uma vez que se convencionou que
  6. Mesmo quando em cada vale
  7. Lembre-se que é um espaço com medida.
  8. Isto é, se para todo e para todo

Referências[editar | editar código-fonte]