Medida e integração/Integração de funções mais gerais

Origem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa


Assim como no capítulo anterior, ao longo deste capítulo será suposto fixado um espaço com medida

Definição 6.1

Dado um espaço com medida uma função mensurável e um conjunto mensurável a integral de sobre é definida como sendo o elemento de dado por

desde que pelo menos uma das integrais que aparecem no segundo membro seja finita.

  • Obs. 6.2: Toda função que toma valores reais e é mensurável continua mensurável se for vista como uma função que toma valores na reta extendia, isto é, se é uma função mensurável, então a função definida por em cada também é mensurável. Consequentemente, a Definição 6.1 também é aplicável às funções mensuráveis.
Justificativa
Fica a cargo do leitor justificar este fato. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo a justificativa neste módulo.

Reciprocamente, dada qualquer função mensurável para a qual a sua restrição definida por em cada também é uma função mensurável.

Justificativa
Fica a cargo do leitor justificar este fato. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo a justificativa neste módulo.
Definição 6.3

Dado um espaço com medida define-se o espaço das funções integráveis sobre em relação à medida [1] como sendo

O conjunto costuma ser simbolizado por notações mais simples como, por exemplo, ou mesmo Nestes casos, os itens que forem omitidos deverão estar claros pelo contexto. Alguns autores preferem usar , colocando o índice como sobrescrito[2].

Definição 6.4

Para cada par de funções mensuráveis e define-se a integral da função complexa em cada como sendo:

O leitor deve observar que as funções e que aparecem na Definição 6.4 são mensuráveis, reais e não-negativas. Deste modo, existem as integrais correspondentes sobre o conjunto (ver Definição 5.4). Note também que e também de modo que, pelos itens 1 e 2 da Proposição 5.9, as integrais destas funções são finitas e, consequentemente, conforme a Definição 6.1,

  • Obs. 6.5: Se então qualquer que seja , o valor da integral de em é real, isto é:

Justificativa
Fica a cargo do leitor justificar este fato. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo a justificativa neste módulo.

O teorema a seguir mostra que é um espaço vetorial seminormado (ver exercício).

Teorema 6.6

Se e e e então

  1. é um espaço vetorial e a função , que associa com é uma seminorma sobre

Notas[editar | editar código-fonte]


Referências[editar | editar código-fonte]

  1. O espaço é um exemplo particular dos espaços (formados pelas funções cuja -ésima potência é integrável) que serão definidos mais adiante. Veja por exemplo, Rana (2002), Definição 8.4.1, p. 261.
  2. Ver, por exemplo, de Barra (2008), p. 109, seção 6.1.