Assim como no capítulo anterior, ao longo deste capítulo será suposto fixado um espaço com medida
- Definição 6.1
Dado um espaço com medida
uma função mensurável
e um conjunto mensurável
a integral de
sobre
é definida como sendo o elemento de
dado por
desde que pelo menos uma das integrais que aparecem no segundo membro seja finita.
- Obs. 6.2: Toda função que toma valores reais e é mensurável continua mensurável se for vista como uma função que toma valores na reta extendia, isto é, se
é uma função mensurável, então a função
definida por
em cada
também é mensurável. Consequentemente, a Definição 6.1 também é aplicável às funções
mensuráveis.
Justificativa
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Fica a cargo do leitor justificar este fato. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo a justificativa neste módulo.
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Reciprocamente, dada qualquer função mensurável
para a qual
a sua restrição
definida por
em cada
também é uma função mensurável.
Justificativa
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- Definição 6.3
Dado um espaço com medida
define-se o espaço das funções integráveis sobre
em relação à medida
[1] como sendo
O conjunto
costuma ser simbolizado por notações mais simples como, por exemplo,
ou mesmo
Nestes casos, os itens que forem omitidos deverão estar claros pelo contexto. Alguns autores preferem usar
, colocando o índice como sobrescrito[2].
O leitor deve observar que as funções
e
que aparecem na Definição 6.4 são mensuráveis, reais e não-negativas. Deste modo, existem as integrais correspondentes sobre o conjunto
(ver Definição 5.4). Note também que
e também
de modo que, pelos itens 1 e 2 da Proposição 5.9, as integrais destas funções são finitas e, consequentemente, conforme a Definição 6.1,
- Obs. 6.5: Se
então qualquer que seja
, o valor da integral de
em
é real, isto é:
Justificativa
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O teorema a seguir mostra que
é um espaço vetorial seminormado (ver exercício).
- Teorema 6.6
Se
e
e
e
então
![{\displaystyle \alpha f+\beta g\in {\mathcal {L}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705aaec8cec6d989823799dd3594ba13d2c6c67f)
![{\displaystyle \textstyle \int _{X}(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} \mu =\alpha \int _{X}f\,\mathrm {d} \mu +\beta \int _{X}g\,\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b7f26425703f6847caba428e3db88d1349f933)
é um espaço vetorial e a função
, que associa
com
é uma seminorma sobre ![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d40ad0ff9e886cf76a6c2996501daecc5ccb25)
- ↑ O espaço
é um exemplo particular dos espaços
(formados pelas funções cuja
-ésima potência é integrável) que serão definidos mais adiante. Veja por exemplo, Rana (2002), Definição 8.4.1, p. 261.
- ↑ Ver, por exemplo, de Barra (2008), p. 109, seção 6.1.