Medida e integração/Integração de funções mais gerais

Assim como no capítulo anterior, ao longo deste capítulo será suposto fixado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ).$

Definição 6.1

Dado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ),$ uma função mensurável $f:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}=\left[-\infty ,+\infty \right]$ e um conjunto mensurável $E,$ a integral de ${\boldsymbol {f}}$ sobre $E$ é definida como sendo o elemento de ${\overline {\mathbb {R} }}$ dado por

$\int \limits _{E}f\,\mathrm {d} \mu :=\int \limits _{E}f^{+}\,\mathrm {d} \mu -\int \limits _{E}f^{-}\,\mathrm {d} \mu ,$

desde que pelo menos uma das integrais que aparecem no segundo membro seja finita.

• Obs. 6.2: Toda função que toma valores reais e é mensurável continua mensurável se for vista como uma função que toma valores na reta extendia, isto é, se $f:X\mapsto \mathbb {R}$ é uma função mensurável, então a função $f_{1}:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ definida por $f_{1}(x)=f(x)$ em cada $x\in \mathbb {R}$ também é mensurável. Consequentemente, a Definição 6.1 também é aplicável às funções $f:X\mapsto \mathbb {R}$ mensuráveis.

Justificativa
Fica a cargo do leitor justificar este fato. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo a justificativa neste módulo.

Reciprocamente, dada qualquer função mensurável $g:X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ para a qual $\operatorname {Im} (g)\subset \mathbb {R} ,$ a sua restrição $g_{0}:X\mapsto \mathbb {R}$ definida por $g_{0}(x)=g(x)$ em cada $x\in \mathbb {R}$ também é uma função mensurável.

Justificativa
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Definição 6.3

Dado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ),$ define-se o espaço das funções integráveis sobre $\mathbf {E}$ em relação à medida ${\boldsymbol {\mu }}$ como sendo

$\textstyle {\mathcal {L}}_{1}(X,{\mathfrak {M}},\mu ;\mathbb {K} ):=\left\{f:X\mapsto \mathbb {K} |f{\mbox{ é mensurável e }}\int _{X}|f|\mathrm {d} \mu <\infty \right\}$

O conjunto ${\mathcal {L}}_{1}(X,{\mathfrak {M}},\mu ;\mathbb {K} )$ costuma ser simbolizado por notações mais simples como, por exemplo, ${\mathcal {L}}_{1}(X,\mu ;\mathbb {K} ),$ ${\mathcal {L}}_{1}(X,\mu ),$ ${\mathcal {L}}_{1}(X)$ ou mesmo ${\mathcal {L}}_{1}.$ Nestes casos, os itens que forem omitidos deverão estar claros pelo contexto. Alguns autores preferem usar ${\mathcal {L}}^{1}$, colocando o índice como sobrescrito.

Definição 6.4

Para cada par de funções mensuráveis $u:X\mapsto \mathbb {R}$ e $v:X\mapsto \mathbb {R} ,$ define-se a integral da função complexa $f:=u+vi\in {\mathcal {L}}_{1}(X,\mu ;\mathbb {C} )$ em cada $E\in {\mathfrak {M}}$ como sendo:

$\int \limits _{E}f\,\mathrm {d} \mu :=\left(\int \limits _{E}u^{+}\,\mathrm {d} \mu -\int \limits _{E}u^{-}\,\mathrm {d} \mu \right)+i\left(\int \limits _{E}v^{+}\,\mathrm {d} \mu -\int \limits _{E}v^{-}\,\mathrm {d} \mu \right).$

O leitor deve observar que as funções $u^{+},$ $u^{-},$ $v^{+}$ e $v^{-}$ que aparecem na Definição 6.4 são mensuráveis, reais e não-negativas. Deste modo, existem as integrais correspondentes sobre o conjunto $E\in {\mathfrak {M}}$ (ver Definição 5.4). Note também que $u^{+},u^{-}\leq |u|\leq |f|$ e também $v^{+},v^{-}\leq |v|\leq |f|,$ de modo que, pelos itens 1 e 2 da Proposição 5.9, as integrais destas funções são finitas e, consequentemente, conforme a Definição 6.1, $\textstyle \int \limits _{E}f\,\mathrm {d} \mu \in \mathbb {C} ,\forall E\in {\mathfrak {M}}.$

• Obs. 6.5: Se $f\in {\mathcal {L}}_{1}(X,\mu ;\mathbb {R} ),$ então qualquer que seja $E\in {\mathfrak {M}}$, o valor da integral de $f$ em $E$ é real, isto é:

$\int \limits _{E}f\,\mathrm {d} \mu =\int \limits _{E}f^{+}\,\mathrm {d} \mu -\int \limits _{E}f^{-}\,\mathrm {d} \mu \in \mathbb {R}$

Justificativa
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O teorema a seguir mostra que ${\mathcal {L}}_{1}(X,\mu ;\mathbb {K} )$ é um espaço vetorial seminormado (ver exercício).

Teorema 6.6

Se $f\in {\mathcal {L}}_{1}={\mathcal {L}}_{1}(X,\mu ;\mathbb {R} )$ e $g\in {\mathcal {L}}_{1}$ e $\alpha \in \mathbb {K}$ e $\beta \in \mathbb {K} ,$ então

1. $\alpha f+\beta g\in {\mathcal {L}}_{1}$
2. $\textstyle \int _{X}(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} \mu =\alpha \int _{X}f\,\mathrm {d} \mu +\beta \int _{X}g\,\mathrm {d} \mu$
3. ${\mathcal {L}}_{1}$ é um espaço vetorial e a função $\|\cdot \|:{\mathcal {L}}_{1}\mapsto \mathbb {R} ^{+}$, que associa $f$ com $\textstyle \int _{X}f\,\mathrm {d} \mu ,$ é uma seminorma sobre ${\mathcal {L}}_{1}.$