Medida e integração/Conjuntos de medida nula

Assim como nos capítulos anteriores, ao longo deste capítulo será suposto fixado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ).$

Definição 7.1

Dado um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ),$ e um subconjunto mensurável $Z\in {\mathfrak {M}},$ diz-se que $Z$ é um conjunto de medida nula quando

$\mu (Z)=0\,$

Definição

Considere um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ e uma propriedade $P$ que os pontos $x$ de $X$ podem verificar ou não. Se $E$ é um conjunto mensurável, diz-se que $\mathbf {P}$ vale quase sempre em $E$ ou que $\mathbf {P}$ vale em quase todo ponto de $E$ quando existe um conjunto $N\in {\mathfrak {M}}$ contido em $E,$ tal que $\mu (N)=0$ e que $P$ vale em $E\smallsetminus N.$

A noção que acaba de ser definida será usada com grande frequência e por isso será abreviada como $P$ vale q.s. em $E$ ou como $P$ vale em q.t.p. de $E$.

Observe que o conceito depende fortemente da medida $\mu ,$ então quando for preciso evitar ambiguidades, ela será indicada explicitamente, como por exemplo em $P$ vale q.s.$[\mu ]$ em $E$.

A seguir serão apresentados vários exemplos de "propriedades que valem quase sempre" em diferentes contextos, de modo que o leitor possa se familializar com este novo conceito. Por simplicidade, será usado sempre $\Gamma$ para denotar indistintamente qualquer dos conjuntos ${\overline {\mathbb {R} }},$ ${\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ e $\mathbb {K} .$

Exemplo

Diz-se que $f:E\mapsto \Gamma$ está definida q.s.$[\mu ]$ em $E$ quando existe um conjunto mensurável $N\subset E,$ tal que $\mu (N)=0$ e que $E\smallsetminus N\subset \operatorname {Dom} f.$ Neste caso, a notação $f:E\mapsto \Gamma$ não significa que $E$ é o domínio de $f,$ mas apenas que $\operatorname {Dom} f\subset E.$ Aqui, a afirmação de que "$x$ está no domínio de $f$" corresponde à propriedade $P(x)$ da definição anterior.

Exemplo

Se $f_{1},f_{2}:E\mapsto \Gamma$ são funções definidas q.s.$[\mu ]$ em $E,$ diz-se que $f_{1}$ é igual a $f_{2}$ q.s.$[\mu ]$ em $E$ se existir um conjunto mensurável $N\subset E,$ tal que $\mu (N)=0,$ $E\smallsetminus N\subset \operatorname {Dom} f_{1}\cap \operatorname {Dom} f_{2}$ e que $f_{1}(x)=f_{2}(x),$ $\forall x\in E\smallsetminus N.$ Quando este é o caso, utiliza-se a notação "$f_{1}=f_{2}$ q.s.$[\mu ]$" ou "$f_{1}{\stackrel {q.s.}{=}}f_{2}$". A a propriedade $P(x)$ corresponde à afirmação de que "$f_{1}(x)=f_{2}(x)$". Note que por serem funções definidas q.s.$[\mu ]$ em $E,$ existem conjuntos mensuráveis $N_{1}$ e $N_{2}$ de medida nula tais que $\operatorname {Dom} f_{i}\supset E\smallsetminus N_{i},$ para $i=1,2.$ Deste modo, pode-se trocar a exigência de que $E\smallsetminus N\subset \operatorname {Dom} f_{1}\cap \operatorname {Dom} f_{2}$ por $N_{1}\cup N_{2}\subset N.$ De fato, quando $N_{1}\cup N_{2}\subset N$ tem-se

$x\in E\smallsetminus N\Rightarrow x\notin N\Rightarrow x\notin N_{1}\cup N_{2}\Rightarrow x\in E\smallsetminus N_{i}\Rightarrow x\in \operatorname {Dom} f_{1}\cap \operatorname {Dom} f_{2}.$

Assim, a igualdade "$f_{1}(x)=f_{2}(x),$ $\forall x\in E\smallsetminus N$", faz sentido pois os elementos de $E\smallsetminus N$ pertencem aos domínios de ambas as funções.

Mais adiante (na Definição ???), será dado o significado da mensurabilidade de funções que estejam definidas q.s.$[\mu ]$ em $E.$ Então, se for suposto que as funções $f_{i}$ do exemplo anterior forem mensuráveis, e que as imagens de ambas estão contidas em $\mathbb {K} ,$ é possível comprovar que o conjunto $N$ pode ser trocado por $\{x\in E|f_{1}(x)\not =f_{2}(x)\}.$ De fato, como $\{x\in E|f_{1}(x)\not =f_{2}(x)\}=\left(f_{1}-f_{2}\right)^{-1}(\mathbb {K^{*}} ),$ este conjunto é mensurável, pois $\mathbb {K^{*}}$ é um aberto e $f_{1}-f_{2}$ é mensurável. Assim, tem-se que $f_{1}$ é igual a $f_{2}$ q.s.$[\mu ]$ em $E$ se, e somente se, $\mu (\{x\in E|f_{1}(x)\not =f_{2}(x)\})=0.$

Exemplo

Se $\left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ é uma sequência de funções tal que cada $f_{n}:E\mapsto \Gamma$ está definida q.s.$[\mu ]$ em $E,$ diz-se que a sequência converge (ou tende) q.s.$[\mu ]$ para a função $f:E\mapsto \Gamma$ (também definida q.s.$[\mu ]$ em $E$) caso exista um conjunto mensurável $N\subset E,$ tal que $\mu (N)=0$ e que $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ em $E\smallsetminus N.$ Se este for o caso, utiliza-se uma das seguintes notações: $f_{n}\to f$ q.s.$[\mu ],$ $f_{n}{\stackrel {q.s.}{\to }}f,$ $f{\stackrel {q.s.}{=}}\lim _{n\to \infty }f_{n}$ ou $f{\stackrel {q.s.}{=}}\lim f_{n}.$

Exemplo

Diz-se que $f:E\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ é finita q.s.$[\mu ]$ em $E$ se existe um conjunto mensurável $N\subset E,$ tal que $\mu (N)=0$ e que $f(x)\in \mathbb {R} ,\forall x\in E\smallsetminus N.$

Ao longo dos próximos parágrafos serão apresentados resultados e definições com o objetivo de definir a "mensurabilidade" e a "integral" de "funções definidas quase sempre", isto é, de dizer o que significam coisas como:

1. A frase "$f:X\to \Gamma$ está definida q.s.$[\mu ]$ em $X$ e $f$ é mensurável";
2. A integral "$\int _{X}f{\text{d}}\mu$", no caso de $f$ ser uma função do tipo acima.

Lembrando que $f:X\to \Gamma$ está definida q.s.$[\mu ]$ em $X$ quando existe algum conjunto mensurável $N\subset X$ (não necessariamente único), tal que $\mu (N)=0$ e que $X\smallsetminus N=N^{c}\subset \operatorname {Dom} f,$ poderia ser feita uma tentativa de definir a mensurabilidade dizendo que tal função $f$ é mensurável se sua restrição $f|_{N^{c}}:N^{c}\to \Gamma$ for mensurável. No entanto, como o conjunto $N$ não tem motivo para ser único, se $N'\subset X$ for outro conjunto mensurável, para o qual $\mu (N')=0$ e $N'^{c}\subset \operatorname {Dom} f,$ este conceito de mensurabilidade só estaria bem definido se fosse independente da escolha de $N,$ isto é, se $f|_{N^{c}}$ fosse mensurável exatamente quando $f|_{N'^{c}}$ fosse mensurável. O leitor pode imaginar a dificuldade que resultaria de seguir esta direção, observando que não há uma relação simples entre os conjuntos $N^{c}$ e $N'^{c}.$

Uma alternativa mais simples consiste em investigar as propriedades e consequências da seguinte definição provisória para o conceito de mensurabilidade:

Definição

Uma função $f:X\to \Gamma$ definida q.s.$[\mu ]$ em $X$ é mensurável em $X$ se $f^{-1}(V)\in {\mathfrak {M}}$ para cada aberto $V$ de $\Gamma .$

Para evitar que seja feita confusão, nos próximos parágrafos será usada a expressão "mensurável no sentido usual" para indicar que uma função é mensurável de acordo com a Definição ???.

O lema a seguir mostra como construir, por exemplo, uma função mensurável no sentido usual $f:X\to \Gamma$ quando já se conhece uma função $f:X\to \Gamma$ definida q.s.$[\mu ]$ que seja mensurável em $X$ (no sentido da definição anterior).

Lema

Seja $f:X\to \Gamma$ definida q.s.$[\mu ]$ em $X$ uma função mensurável em X. Se $N\in {\mathfrak {M}},$ $\mu (N)=0$ e $N^{c}\subset \operatorname {Dom} f,$ então a função ${\tilde {f}}:X\to \Gamma$ definida por

${\tilde {f}}(x)={\begin{cases}f(x)&,{\text{ se }}x\in N^{c}\\0&,{\text{ se }}x\in N\end{cases}}$

é mensurável no sentido usual.

Observe que o domínio da função ${\tilde {f}}$ é todo o conjunto $X.$ Além disso, por definição, existe um conjunto $N$ com as propriedades indicadas no enunciado e a função ${\tilde {f}}$ construída varia conforme a escolha deste conjunto $N.$ Uma função ${\tilde {f}}$ construída como no lema anterior será chamada de redefinição de $f$. Com essa nomenclatura, o lema anterior expressa o fato de que toda redefinição ${\tilde {f}}$ de uma função $f$ mensurável em $X$ é também mensurável no sentido usual.

Uma forma alternativa de se construir uma redefinição de uma função $f$ dada é estendê-la a todo $X$ atribuindo valores arbitrários aos pontos do conjunto de medida nula $N$ e então definir ${\tilde {f}}$ multiplicando $f$ pela função característica de $N^{c}$ (que irá zerar nos pontos de $N$):

${\tilde {f}}=X_{N^{c}}\cdot f.$

É comum alguns autores (citação???) usarem a expressão anterior para definir uma redefinição de $f$ sem antes atribuir valores arbitrários para os pontos de $N.$ Para isso, é convencionado (apenas por questões de praticidade) que "o produto de zero por algo que não existe dá zero".

Fazendo uso do lema anterior, é possível reformular a definição provisória do conceito de mensurabilidade (de funções definidas quase sempre). A forma mais geral do conceito é como segue:

Definição

Uma função $f:X\to \Gamma$ definida q.s.$[\mu ]$ em $X$ é mensurável em $X$ quando toda redefinição ${\tilde {f}}$ de $f$ for mensurável no sentido usual.

Lema

Seja $\left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ uma sequência de funções tal que cada $f_{n}:X\mapsto \Gamma$ está definida q.s.$[\mu ]$ em $X.$ Se a sequência converge q.s.$[\mu ]$ para a função $f:E\mapsto \Gamma$ e cada $f_{n}$ é mensurável então $f$ é mensurável (sempre no sentido da definição anterior).

Obs.: Neste ponto é razoável acrescentar uma nota sobre a coerência entre as duas definições de mensurabilidade de funções que foram apresentadas até o momento. Se uma função $f:X\to \Gamma$ tem $X$ como domínio, pode-se dizer que a mesma está definida quase sempre em $X,$ pois

$\exists N=\emptyset \in {\mathfrak {M}}{\text{ tal que }}N=\emptyset \subset X{\text{ e }}\operatorname {Dom} f=X\supset N^{c}=\emptyset ^{c}=X.$

Sendo assim, em uma primeira análise, vê-se que existem dois sentidos nos quais a função $f$ pode ser ou não mensurável:

1. No sentido usual, dado pela Definição ???; ou
2. Conforme a Definição ??? que acaba de ser apresentada.

Felizmente, os dois conceitos coincidem. De fato, se uma função $f$ é mensurável conforme a Definição ???, então a redefinição ${\tilde {f}}=f\cdot X_{\emptyset ^{c}}$ é mensurável no sentido usual, e consequentemente $f$ também é mensurável, pois $\operatorname {Dom} f=X$ implica que $f={\tilde {f}}.$ Reciprocamente, se $f$ é mensurável no sentido usual, então $f$ também é mensurável em $X$ (definição ???). Logo, aplicando o Lema ??? conclui-se que qualquer redefinição de $f$ é mensurável, isto é, $f$ é mensurável de acordo com a Definição ???.

Obs.: Pode-se estender as definições e resultados anteriores para o caso de funções $f:E\to \Gamma$ (em vez de $f:X\to \Gamma$), em que $E\in {\mathfrak {M}},$ bastando trocar $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ por $(X,{\mathfrak {M}}|_{E},\mu |_{E})$ conforme foi feito em ???. Assim, fixando-se um espaço com medida $(X,{\mathfrak {M}},\mu ),$ um conjunto mensurável $E\in {\mathfrak {M}},$ e uma função $f:E\to \Gamma$ definida q.s.$\mu ,$ chama-se de redefinição de $f$ a qualquer função ${\tilde {f}}$ definida como

${\tilde {f}}(x)={\begin{cases}f(x)&,{\text{ se }}x\in E\smallsetminus N\\0&,{\text{ se }}x\in N\end{cases}}$

onde $N\in {\mathfrak {M}}$ é um subconjunto de $E,$ de medida é nula, tal que $E\supset \operatorname {Dom} f\supset E\smallsetminus N.$ A função $f$ diz-se mensuravel se cada uma de suas redefinições for mensurável no sentido usual (o que faz sentido já que $\operatorname {Dom} {\tilde {f}}=E$).

Para dar continuidade ao que foi iniciado logo depois do exemplo ???, o próximo passo é dar sentido à notação $\int _{X}f{\text{d}}\mu$ no caso de $f:X\to \Gamma$ ser uma função mensurável definida q.s.$[\mu ]$ em $X.$ Antes disso, porém, será introduzida uma notação adicional e serão deduzidos alguns resultados preliminares bastante simples.

Conforme o exemplo ???, $f_{1}=f_{2}$ q.s.$[\mu ]$ significa existir um conjunto mensurável $N\subset E,$ tal que $\mu (N)=0,$ $E\smallsetminus N\subset \operatorname {Dom} f_{1}\cap \operatorname {Dom} f_{2}$ e que $f_{1}(x)=f_{2}(x),$ $\forall x\in E\smallsetminus N.$ O leitor pode verificar que a relação de "ser igual quase sempre em um conjunto em relação a uma certa medida" é, na verdade, uma relação de equivalência sobre o conjunto

${\mathcal {M}}(E;{\overline {\mathbb {R} }}):=\{f:E\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}|f{\text{ e mensuravel}}\}.$

Isto justifica o uso de notações adicionais como $f{\stackrel {\mu }{\sim }}g$ ou $f{\stackrel {E}{\sim }}g$ (ou simplesmente $f\sim g$) quando as funções $f$ e $g$ forem iguais quase sempre $[\mu ]$ em $E.$

Proposição

Sejam $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ um espaço com medida e $E\in {\mathfrak {M}}.$ Se $f,g:E\to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ são funções mensuráveis então:

1. Se $N\in {\mathfrak {M}},$ $N\subset E$ e $\mu (N)$ então $\int _{E}f=\int _{E\smallsetminus N}f;$
2. Se $f=g$ q.s.$[\mu ]$ em $E$ então $\int _{E}f=\int _{E}g;$
3. $f=0$ q.s.$[\mu ]$ em $E$ se, e somente se, $\int _{E}f=0;$

Lema

Sejam $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ um espaço com medida e $f:E\to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ uma função definida q.s.$[\mu ]$ em $E.$ Se $E\in {\mathfrak {M}}$ e ${\tilde {f_{1}}},{\tilde {f_{2}}}:E\to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}$ são redefinições de $f$ então $\int _{E}{\tilde {f_{1}}}=\int _{E}{\tilde {f_{2}}}.$

Agora já é possível definir a integral de funções definidas q.s.$[\mu ]$ em $E.$

Definição

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