Medida e integração/Conjuntos de medida nula

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Assim como nos capítulos anteriores, ao longo deste capítulo será suposto fixado um espaço com medida

Definição 7.1

Dado um espaço com medida e um subconjunto mensurável diz-se que é um conjunto de medida nula quando

Definição

Considere um espaço com medida e uma propriedade que os pontos de podem verificar ou não. Se é um conjunto mensurável, diz-se que vale quase sempre em ou que vale em quase todo ponto de quando existe um conjunto contido em tal que e que vale em

A noção que acaba de ser definida será usada com grande frequência e por isso será abreviada como vale q.s. em ou como vale em q.t.p. de .

Observe que o conceito depende fortemente da medida então quando for preciso evitar ambiguidades, ela será indicada explicitamente, como por exemplo em vale q.s. em .

A seguir serão apresentados vários exemplos de "propriedades que valem quase sempre" em diferentes contextos, de modo que o leitor possa se familializar com este novo conceito. Por simplicidade, será usado sempre para denotar indistintamente qualquer dos conjuntos e

Exemplo

Diz-se que está definida q.s. em quando existe um conjunto mensurável tal que e que Neste caso, a notação não significa que é o domínio de mas apenas que Aqui, a afirmação de que " está no domínio de " corresponde à propriedade da definição anterior.

Exemplo

Se são funções definidas q.s. em diz-se que é igual a q.s. em se existir um conjunto mensurável tal que e que Quando este é o caso, utiliza-se a notação " q.s." ou "". A a propriedade corresponde à afirmação de que "". Note que por serem funções definidas q.s. em existem conjuntos mensuráveis e de medida nula tais que para Deste modo, pode-se trocar a exigência de que por De fato, quando tem-se

Assim, a igualdade " ", faz sentido pois os elementos de pertencem aos domínios de ambas as funções.

Mais adiante (na Definição ???), será dado o significado da mensurabilidade de funções que estejam definidas q.s. em Então, se for suposto que as funções do exemplo anterior forem mensuráveis, e que as imagens de ambas estão contidas em é possível comprovar que o conjunto pode ser trocado por De fato, como este conjunto é mensurável, pois é um aberto e é mensurável. Assim, tem-se que é igual a q.s. em se, e somente se,

Exemplo

Se é uma sequência de funções tal que cada está definida q.s. em diz-se que a sequência converge (ou tende) q.s. para a função (também definida q.s. em ) caso exista um conjunto mensurável tal que e que em Se este for o caso, utiliza-se uma das seguintes notações: q.s. ou

Exemplo

Diz-se que é finita q.s. em se existe um conjunto mensurável tal que e que

Ao longo dos próximos parágrafos serão apresentados resultados e definições com o objetivo de definir a "mensurabilidade" e a "integral" de "funções definidas quase sempre", isto é, de dizer o que significam coisas como:

  1. A frase " está definida q.s. em e é mensurável";
  2. A integral "", no caso de ser uma função do tipo acima.

Lembrando que está definida q.s. em quando existe algum conjunto mensurável (não necessariamente único), tal que e que poderia ser feita uma tentativa de definir a mensurabilidade dizendo que tal função é mensurável se sua restrição for mensurável. No entanto, como o conjunto não tem motivo para ser único, se for outro conjunto mensurável, para o qual e este conceito de mensurabilidade só estaria bem definido se fosse independente da escolha de isto é, se fosse mensurável exatamente quando fosse mensurável. O leitor pode imaginar a dificuldade que resultaria de seguir esta direção, observando que não há uma relação simples entre os conjuntos e

Uma alternativa mais simples consiste em investigar as propriedades e consequências da seguinte definição provisória para o conceito de mensurabilidade:

Definição

Uma função definida q.s. em é mensurável em se para cada aberto de

Para evitar que seja feita confusão, nos próximos parágrafos será usada a expressão "mensurável no sentido usual" para indicar que uma função é mensurável de acordo com a Definição ???.

O lema a seguir mostra como construir, por exemplo, uma função mensurável no sentido usual quando já se conhece uma função definida q.s. que seja mensurável em (no sentido da definição anterior).

Lema

Seja definida q.s. em uma função mensurável em X. Se e então a função definida por

é mensurável no sentido usual.

Observe que o domínio da função é todo o conjunto Além disso, por definição, existe um conjunto com as propriedades indicadas no enunciado e a função construída varia conforme a escolha deste conjunto Uma função construída como no lema anterior será chamada de redefinição de . Com essa nomenclatura, o lema anterior expressa o fato de que toda redefinição de uma função mensurável em é também mensurável no sentido usual.

Uma forma alternativa de se construir uma redefinição de uma função dada é estendê-la a todo atribuindo valores arbitrários aos pontos do conjunto de medida nula e então definir multiplicando pela função característica de (que irá zerar nos pontos de ):

É comum alguns autores (citação???) usarem a expressão anterior para definir uma redefinição de sem antes atribuir valores arbitrários para os pontos de Para isso, é convencionado (apenas por questões de praticidade) que "o produto de zero por algo que não existe dá zero".

Fazendo uso do lema anterior, é possível reformular a definição provisória do conceito de mensurabilidade (de funções definidas quase sempre). A forma mais geral do conceito é como segue:

Definição

Uma função definida q.s. em é mensurável em quando toda redefinição de for mensurável no sentido usual.

Lema

Seja uma sequência de funções tal que cada está definida q.s. em Se a sequência converge q.s. para a função e cada é mensurável então é mensurável (sempre no sentido da definição anterior).

Obs.: Neste ponto é razoável acrescentar uma nota sobre a coerência entre as duas definições de mensurabilidade de funções que foram apresentadas até o momento. Se uma função tem como domínio, pode-se dizer que a mesma está definida quase sempre em pois

Sendo assim, em uma primeira análise, vê-se que existem dois sentidos nos quais a função pode ser ou não mensurável:

  1. No sentido usual, dado pela Definição ???; ou
  2. Conforme a Definição ??? que acaba de ser apresentada.

Felizmente, os dois conceitos coincidem. De fato, se uma função é mensurável conforme a Definição ???, então a redefinição é mensurável no sentido usual, e consequentemente também é mensurável, pois implica que Reciprocamente, se é mensurável no sentido usual, então também é mensurável em (definição ???). Logo, aplicando o Lema ??? conclui-se que qualquer redefinição de é mensurável, isto é, é mensurável de acordo com a Definição ???.

Obs.: Pode-se estender as definições e resultados anteriores para o caso de funções (em vez de ), em que bastando trocar por conforme foi feito em ???. Assim, fixando-se um espaço com medida um conjunto mensurável e uma função definida q.s. chama-se de redefinição de a qualquer função definida como

onde é um subconjunto de de medida é nula, tal que A função diz-se mensuravel se cada uma de suas redefinições for mensurável no sentido usual (o que faz sentido já que ).

Para dar continuidade ao que foi iniciado logo depois do exemplo ???, o próximo passo é dar sentido à notação no caso de ser uma função mensurável definida q.s. em Antes disso, porém, será introduzida uma notação adicional e serão deduzidos alguns resultados preliminares bastante simples.

Conforme o exemplo ???, q.s. significa existir um conjunto mensurável tal que e que O leitor pode verificar que a relação de "ser igual quase sempre em um conjunto em relação a uma certa medida" é, na verdade, uma relação de equivalência sobre o conjunto

Isto justifica o uso de notações adicionais como ou (ou simplesmente ) quando as funções e forem iguais quase sempre em

Proposição

Sejam um espaço com medida e Se são funções mensuráveis então:

  1. Se e então
  2. Se q.s. em então
  3. q.s. em se, e somente se,

Lema

Sejam um espaço com medida e uma função definida q.s. em Se e são redefinições de então

Agora já é possível definir a integral de funções definidas q.s. em

Definição

...

Notas[editar | editar código-fonte]


Referências[editar | editar código-fonte]


Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Conjunto de medida zero