Mecânica dos fluidos/Equações básicas para um volume de controle

Equações básicas para um volume de controle

As equações básicas devem ser derivadas também para volumes de controle (regiões do espaço através de cujos limites pode ocorrer fluxo de massa), que, nos problemas de dinâmica, são mais usados do que os sistemas. Na derivação que se segue, C denota o volume de controle e S, sua superfície.

Princípio da continuidade

Neste caso, o princípio de conservação exige que o aumento na quantidade de massa presente dentro do volume de controle seja igual à quantidade de massa que passa pela sua superfície, no sentido inverso (de fora para dentro). Assim:

\Delta m_{C}\;=\;\Delta m_{entra}

Tomando um intervalo de tempo δt e um elemento de volume δV, de dimensões δl x δV, na periferia de C:

\Delta m_{C}\;=\;{\frac {\partial m_{C}}{\partial t}}\delta t\;=\;\delta t\cdot {\frac {\delta }{\delta t}}\int _{C}\rho dV

\Delta m_{entra}\;=\;\sum _{S}\delta m_{entra}\;=\;\sum _{S}\rho \delta V\;=\;\sum _{S}\rho \cdot \delta (l\cdot S)\;=\;\sum _{S}\rho \cdot \delta l\cdot \delta S\;=\;\sum _{S}\rho \cdot {\frac {dl}{dt}}\delta t\cdot \delta S\;=\;\sum _{S}\delta t\cdot \rho v\cdot \delta S

onde v é a componente da velocidade ortogonal a δS. Escrevendo a segunda equação em forma vetorial

\sum _{S}\delta m_{entra}\;=\;\sum _{S}\left(-\delta t\cdot \rho \cdot {\vec {v}}\cdot \delta {\vec {S}}\right)

onde o sinal negativo advém da convenção de que um vetor no sentido positivo aponta para fora da superfície. Integrando por toda a superfície:

\Delta m_{entra}\;=\;-\delta t\int _{S}\rho {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}

Assim, podemos escrever

{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho dV\;=\;-\int _{S}\rho {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}

Ou

{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho dV+\int _{S}\rho {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}\;=\;0

Essa equação é chamada equação da continuidade. Se o fluido for incompressível, ρ não é função do tempo; como o volume de controle pode ser escolhido à vontade, é conveniente escolhe-lo de maneira a que sua forma seja constante, e a equação se torna

\rho {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}dV+\rho \int _{S}{\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}\;=\;0

{\frac {\partial }{\partial t}}V+\int _{S}{\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}\;=\;0

\int _{S}{\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}\;=\;0

A integral $\int _{A}{\vec {v}}\cdot d{\vec {A}}$ , calculada sobre um segmento A da superfície S é chamada vazão volumétrica (Φ). A razão ${\frac {\Phi }{A}}$ é chamada de velocidade média do fluido $({\bar {v}})$ .

Segunda lei do movimento de Newton

Neste caso, a lei exige que a taxa de aumento no momento linear presente do volume de controle seja igual à força aplicada externamente mais a taxa de entrada de momento linear pela sua superfície. Assim, tomando um intervalo de tempo δt e um elemento de volume δV, de dimensões δl x δV, na periferia de C:

\Delta {\vec {M}}_{C}\;=\;{\vec {F}}\cdot \delta t\;+\;\Delta {\vec {M}}_{entra}

Desenvolvendo como no item anterior:

{\vec {M}}_{C}\;=\;\int _{C}\rho {\vec {v}}dV

Evidentemente, a velocidade v deve ser entendida como sendo a velocidade do fluido em relação ao volume de controle.

\Delta {\vec {M}}_{C}\;=\;\delta t\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho {\vec {v}}dV

\delta {\vec {M}}_{entra}\;=\;\delta m_{entra}\cdot {\vec {v}}\;=\;\rho \delta V\cdot {\vec {v}}\;=\;\rho \cdot \delta l\cdot \delta S\cdot {\vec {v}}\;=\;\rho \cdot v\cdot \delta t\cdot \delta S\cdot {\vec {v}}

\delta {\vec {M}}_{entra}\;=\;-\delta t\cdot \rho \cdot ({\vec {v}}\cdot {\vec {\delta }}S)\cdot {\vec {v}}

\Delta {\vec {M}}_{entra}\;=\;\sum _{S}\delta {\vec {M}}_{entra}\;=\;-\int _{S}\delta t\cdot \rho \cdot ({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\cdot {\vec {v}}

\Delta {\vec {M}}_{C}\;=\;{\vec {F}}\cdot \delta t\;+\;\Delta {\vec {M}}_{entra}\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho {\vec {v}}dV\;=\;{\vec {F}}\;-\;\int _{S}\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})

Ou, como é mais comum escrever:

{\vec {F}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho {\vec {v}}dV\;+\;\int _{S}\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})

Cabe lembrar mais uma vez que a velocidade v deve ser entendida como a velocidade do fluido em relação ao elemento de volume. Assim, a expressão é válida para qualquer sistema de referência inercial. Se o sistema de referência estiver acelerado, será preciso corrigir a fórmula da forma seguinte:

{\vec {F}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho {\vec {v}}dV\;+\;\int _{S}\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;+\;\int _{C}{\vec {a}}\rho dV

onde a é a aceleração do sistema de referência com relação a um sistema de referência inercial.

A força F deve ser entendida como a soma de todas forças atuantes sobre o volume de controle: F = F_s + F_b.

Conservação do momento angular

Considerando-se um volume de controle estacionário e procedendo-se como nos itens anteriores, chega-se à expressão

{\vec {\Omega }}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho {\vec {r}}\times {\vec {v}}dV\;+\;\int _{S}\rho {\vec {r}}\times {\vec {v}}({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})

O torque, por sua vez, pode ser expresso da seguinte forma:

{\vec {\Omega }}\;=\;{\vec {r}}\times {\vec {F}}_{s}+\int _{C}{\vec {r}}\times d{\vec {F}}_{b}\;+\;{\vec {\Omega }}_{s}

onde ${\vec {\Omega }}_{s}$ é o torque externo (aplicado por um eixo que atravesse a superfície S, por exemplo). Normalmente, a única força não superficial que deve ser levada em conta é o peso do fluido; assim,

\int _{C}{\vec {r}}\times d{\vec {F}}_{b}\;=\;\int _{C}{\vec {r}}\times {\vec {g}}\rho dV

Como mencionado acima, a expressão é válida para um volume de controle estacionário. Se C estiver em movimento ou girando, será preciso aplicar uma correção. Como no caso da equação de conservação do momento linear, a velocidade deve ser medida em relação ao volume de controle.

Primeira lei da termodinâmica

Procedendo como nos itens anteriores, pode-se chegar a

{\frac {dE}{dt}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho edV\;+\;\int _{S}\rho e({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})

Mas podemos exprimir a energia através das relações

\Delta E\;=\;\delta Q+\delta C\Rightarrow \;\;\;{\frac {dE}{dt}}\;=\;{\frac {dQ}{dt}}\;+\;{\frac {dW}{dt}}

e\;=\;u+{\frac {v^{2}}{2}}

O que resulta na expressão alternativa

{\frac {dQ}{dt}}\;+\;{\frac {dW}{dt}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})dV\;+\;\int _{S}\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})

Também pode-se notar que o calor necessariamente fluirá através da superfície e escrever

Q\;=\;\int _{S}{\frac {\partial Q}{\partial S}}\;dS\;=\;\int _{S}qdS

onde q é o fluxo de calor por unidade de área através da superfície.

Em problemas onde W se relaciona basicamente a um eixo que realiza trabalho sobre o volume de controle, é mais útil escrever a equação em termos desse trabalho, que denotaremos por W_Ω. Para tanto, subdividimos o trabalho total em componentes W = W_Ω + W_τ + W_σ + W_outro, onde W_τ é o trabalho realizado na direção tangencial ao corpo, W_σ é o trabalho realizado na direção tangencial ao corpo e W_outro é a somatória das demais formas de trabalho possíveis. W_σ é realizado pela força normal à superfície em um deslocamento linear:

\delta W_{\sigma }\;=\;\delta {\vec {F}}_{\sigma }\cdot \delta {\vec {l}}\;=\;\sigma \delta {\vec {A}}\cdot \delta {\vec {l}}

{\frac {d\delta W_{\sigma }}{dt}}\;=\;\sigma d\delta {\vec {A}}\cdot {\frac {d\delta {\vec {l}}}{dt}}\;=\;\sigma d\delta {\vec {A}}\cdot {\vec {v}}

{\frac {dW_{\sigma }}{dt}}\;=\;\int _{S}\sigma d{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}\;=\;\int _{S}\sigma {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}

Similarmente

{\frac {dW_{\tau }}{dt}}\;=\;\int _{S}\tau {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}

Normalmente, para simplificar a solução, escolhe-se o volume de controle de forma a tornar W_τ nulo. Isso se consegue fazendo a superfície de controle ser sempre perpendicular ao fluxo. Assim:

{\frac {dQ}{dt}}\;+\;{\frac {dW}{dt}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})dV\;+\;\int _{S}\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})

{\frac {dQ}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{\Omega }}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{\sigma }}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{\tau }}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{outro}}{dt}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})dV\;+\;\int _{S}\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})

{\frac {dQ}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{\Omega }}{dt}}\;+\;\int _{S}\sigma {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}\;+\;{\frac {dW_{\tau }}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{outro}}{dt}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})dV\;+\;\int _{S}\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})

{\frac {dQ}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{\Omega }}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{\tau }}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{outro}}{dt}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})dV\;+\;\int _{S}\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;-\;\int _{S}\sigma {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}

{\frac {dQ}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{\Omega }}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{\tau }}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{outro}}{dt}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})dV\;+\;\int _{S}[\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})\;-\;\sigma ]({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})

É útil lembrar que, em fluidos de baixa viscosidade, a tensão σ pode ser aproximada pela pressão termodinâmica p. Além disso, a energia potencial interna u deve levar em conta tanto a temperatura quanto a energia potencial gravitacional.