Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C6

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Enunciado

Ar ingressa num compressor a uma velocidade de 0.01 m/s, pressão de 1 atm e temperatura de 25 °C e deixa-o a pressão de 3 atm e a uma temperatura de 50 °C, através de uma abertura de 30 cm². Calcular a taxa de transferência de calor se a vazão mássica é de 10 kg/s e a potência do compressor é de 600 HP.

Dados do problema

vi	0.01 m/s
pi	1 atm
Ti	25 °C
pf	3 atm
Tf	50 °C
Af	30 cm2
Φm	10 kg/s
P	600 HP
dQ/dt	a calcular

c_p = 1000 J.kg^-1.K^-1

R_e = 290 J.kg^-1.K^-1

Solução

Como neste problema temos um eixo que realiza trabalho, deve-se usar a seguinte forma da equação da primeira lei da termodinâmica:

${\frac {dQ}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{\Omega }}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{\tau }}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{outro}}{dt}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})dV\;+\;\int _{S}[\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})\;-\;\sigma ]({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})$

Escolhendo-se o volume de controle em torno do compressor, com a superfície de controle perpendicular ao fluxo, desprezando-se os efeitos da viscosidade e considerando que a energia se distribui uniformemente pelo compressor, teremos

${\frac {dQ}{dt}}\;+\;P\;+\;0\;+\;0\;=\;0\;+\;\int _{S}[\rho (u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})\;+\;p]({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})$

${\frac {dQ}{dt}}\;+\;P\;=\;\int _{S}(u\;+\;{\frac {p}{\rho }}\;+\;{\frac {v^{2}}{2}})\rho ({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})$

o que mostra por que essa forma da equação é a mais conveniente no caso presente.

A energia interna u é em parte termodinâmica e em parte gravitacional (u = u_t + gz). Introduzindo a grandeza entalpia específica

$h\;=\;{\frac {H}{m}}\;=\;{\frac {U_{t}\;+\;pV}{m}}\;=\;{\frac {U_{t}}{m}}\;+\;{\frac {p}{\rho }}\;=\;u_{t}\;+\;{\frac {p}{\rho }}$

podemos escrever

${\frac {dQ}{dt}}\;+\;P\;=\;\int _{S}(h\;+\;{\frac {v^{2}}{2}}\;+\;gz)\rho ({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})$

${\frac {dQ}{dt}}\;=\;-\;P\;+\;\left.(h\;+\;{\frac {v^{2}}{2}}\;+\;gz)(\rho vA)\right|_{i}^{f}$

${\frac {dQ}{dt}}\;=\;-\;P\;+\;(h_{f}\;+\;{\frac {v_{f}^{2}}{2}}\;+\;gz_{f})(\rho _{f}v_{f}A_{f})\;-\;(h_{i}\;+\;{\frac {v_{i}^{2}}{2}}\;+\;gz_{i})(\rho _{i}v_{i}A_{i})$

Mas, da equação de continuidade

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho dV\;+\;\int _{S}\rho {\vec {v}}\cdot d{\vec {s}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial m}{\partial t}}\;+\;\left.{\frac {}{}}\rho vA\right|_{i}^{f}\;=\;0$

$0\;+\;\rho _{f}v_{f}A_{f}-\rho _{i}v_{i}A_{i}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;\rho _{f}v_{f}A_{f}\;=\;\rho _{i}v_{i}A_{i}$

Assim

${\frac {dQ}{dt}}\;=\;-\;P\;+\;\rho _{f}v_{f}A_{f}\left(h_{f}\;+\;{\frac {v_{f}^{2}}{2}}\;+\;gz_{f}\;-\;h_{i}\;-\;{\frac {v_{i}^{2}}{2}}\;-\;gz_{i}\right)$

${\frac {dQ}{dt}}\;=\;-\;P\;+\;\Phi _{m}\left(h_{f}\;-\;h_{i}\;+\;{\frac {v_{f}^{2}}{2}}\;-\;{\frac {v_{i}^{2}}{2}}\right)$

Assumindo que o ar obedece à equação de estado do gás ideal, ΔH = C_p ΔT, onde C_p é a capacidade calorífica a pressão constante, e Δh = c_p ΔT, onde c_p é a capacidade calorífica específica a pressão constante

${\frac {dQ}{dt}}\;=\;-\;P\;+\;\Phi _{m}\left(c_{p}(T_{f}\;-\;T_{i})\;+\;{\frac {v_{f}^{2}\;-\;v_{i}^{2}}{2}}\right)$

A equação de estado do gás ideal diz que

$p_{f}V_{f}\;=\;nRT_{f}\Rightarrow \;\;\;p_{f}{\frac {m}{\rho _{f}}}\;=\;nRT_{f}\Rightarrow \;\;\;\rho _{f}\;=\;{\frac {p_{f}m}{nRT_{f}}}\;=\;{\frac {p_{f}m_{e}}{RT_{f}}}\;=\;{\frac {p_{f}}{R_{e}T_{f}}}$

onde m_e é o peso molecular do gás e R_e = R/m_e é a constante específica para o gás.

Assim, podemos calcular a velocidade v_f:

$\Phi _{m}\;=\;v_{f}\rho _{f}A_{f}\Rightarrow \;\;\;v_{f}\;=\;{\frac {\Phi _{m}}{\rho _{f}A_{f}}}\;=\;{\frac {\Phi _{m}R_{e}T_{f}}{p_{f}A_{f}}}$

${\frac {dQ}{dt}}\;=\;-\;P\;+\;\Phi _{m}\left(c_{p}(T_{f}\;-\;T_{i})\;+\;{\frac {({\frac {\Phi _{m}R_{e}T_{f}}{p_{f}A_{f}}})^{2}\;-\;v_{i}^{2}}{2}}\right)$

$\;=\;-\;600HP\;+\;10\;kg/s\cdot \left(1000\;J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}\cdot (50^{o}C\;-\;25^{o}C)\;+\;{\frac {({\frac {10\;kg/s\cdot 290\;J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}\cdot 50^{o}C}{3\;atm\cdot 30\;cm^{2}}})^{2}\;-\;(0.01\;m/s)^{2}}{2}}\right)$

$\;=\;-\;600\cdot 750\;W\;+\;10\;kg/s\cdot \left(1000\;J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}\cdot 25\;K\;+\;{\frac {({\frac {10\;kg/s\cdot 290\;J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}\cdot (50\;+\;273)\;K}{300000\;Pa\cdot 0.0030\;m^{2}}})^{2}\;-\;(0.01\;m/s)^{2}}{2}}\right)$

$\;=\;-\;450000\;W\;+\;250000\;W\;+\;150000\;W\;=\;-\;50000\;W\;=\;-\;67\;HP$

O valor é negativo porque o calor deixa o volume de controle.