Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C5

• Teoria
• Voltar para a lista de exercícios resolvidos

Enunciado

Um sprinkler é composto por uma haste oca de 30 cm de comprimento, suportada na horizontal por um pivô fixo no ponto central, e com um furo lateral de 4 mm de diâmtro em cada extremidade. Os furos são orientados em direções opostas no plano horizontal. Quando água é bombeada para dentro da haste através de um tubo conectado ao pivô, ela é expulsa através dos furos a uma taxa de 7.5 litros por minuto, o que faz o conjunto girar a 30 rpm. Calcular a velocidade do jato e a frição no pivô.

Dados do problema

Rs	15 cm
Df	4 mm
Φ	— 7.5 l/min
ω	30 rpm
vm	a calcular
Ωp	a calcular

Solução

O jato de água, ao ser forçado a mudar de direção em 90° nas pontas da haste, exerce uma força sobre ela. Uma componente dessa força é radial, e a outra, tangencial ao sprinkler. Como cada tubo aponta para uma direção, aparece um binário de forças, que faz o sprinkler girar.

A velocidade do fluxo pode ser obtida diretamente a partir da vazão e da área de cada furo

$\Phi _{f}\;=\;v_{m}A_{f}\Rightarrow \;\;\;v_{m}\;=\;{\frac {\Phi _{f}}{A_{f}}}\;=\;{\frac {\frac {\Phi }{2}}{\frac {\pi D_{f}^{2}}{4}}}$

$\;=\;{\frac {2\cdot 7.5\;l/min}{3.1\cdot (4\;mm)^{2}}}\;=\;{\frac {2\cdot 0.0075\;m^{3}/60\;s}{3.1\cdot (0.004\;m)^{2}}}$

$\;=\;5\;m/s$

Essa velocidade é medida em relação ao sprinkler, não em relação ao referencial fixo. Para encontrar a velocidade relativa a esse referencial, é preciso subtrair a velocidade tangencial do furo, que gira junto com o sprinkler na direção oposta. Assim, v_a = v_m - ωR_s.

A componente tangencial da força exerciada pelo jato de água sobre a haste só é contraposta pelo atrito no pivô. Isso porque a pressão atmosférica, a pressão da água no pivô de entrada e o peso do conjunto não produzem momento angular, devido à simetria do problema. Assim, podemos escolher um volume de controle que envolva o sprinkler e escrever a equação de conservação do momento angular

${\vec {\Omega }}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho ({\vec {r}}\times {\vec {v}})dV\;+\;\int _{S}\rho ({\vec {r}}\times {\vec {v}})\;({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;{\vec {\Omega }}_{p}$

Mas

$\int _{C}\rho ({\vec {r}}\times {\vec {v}})dV\;=\;\int _{-R}^{R}\rho (r\cdot \omega r\;{\vec {u}}_{k})\;(A_{h}\;dr)$

onde A_h é a área transversal da haste. Assim

$\int _{C}\rho ({\vec {r}}\times {\vec {v}})dV\;=\;\rho \omega A_{h}\left(\int _{-Rs}^{R}sr^{2}dr\right)\;{\vec {u}}_{k}\;=\;\rho \omega A_{h}{\frac {2R_{s}^{3}}{3}}\;{\vec {u}}_{k}=constante\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho ({\vec {r}}\times {\vec {v}})dV\;=\;0$

Ou seja, o momento angular do sprinkler não varia no tempo. Por outro lado,

$\int _{S}\rho ({\vec {r}}\times {\vec {v}})\;({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;\rho (R_{s}\;v_{a}\;{\vec {u}}_{k})\int _{S}({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})$

porque apenas nas extremidades existe fluxo através da superfície de controle. A velocidade para o cálculo do momento angular precisa ser medida em relação ao sistema de referência fixo, por isso deve-se usar v_a em lugar de v_m. Além disso, a integral de superfície é muito difícil de ser calculada, pois a velocidade v_a muda continuamente de direção em relação à superfície do volume de controle, e por isso o fluido escapa por uma área que é maior que A_f; no entanto, sabemos que essa integral deve ser igual à vazão total Φ, de acordo com a equação de continuidade. Assim

$\int _{S}\rho ({\vec {r}}\times {\vec {v}})\;({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;\rho R_{s}v_{a}\Phi \;{\vec {u}}_{k}\;=\;\rho R_{s}\Phi (v_{m}\;-\;\omega R_{s})\;{\vec {u}}_{k}$

Então

$\Omega _{p}\;=\;\rho R_{s}\Phi (v_{m}\;-\;\omega R_{s})\;=\;1000\;kg/m^{3}\cdot 15\;cm\cdot 7500\;l/min\cdot (5\;m/s\;-\;30\;rpm\cdot 15\;cm)$

$\;=\;1000\;kg/m^{3}\cdot 0.15\;m\cdot 0.0075\;m^{3}/60\;s\cdot (5\;m/s\;-\;30\cdot {\frac {2\cdot 3.1}{60\;s}}\cdot 0.15\;m);=\;0.085\;Nm$