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Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C5

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Enunciado[editar | editar código-fonte]

Um sprinkler é composto por uma haste oca de 30 cm de comprimento, suportada na horizontal por um pivô fixo no ponto central, e com um furo lateral de 4 mm de diâmtro em cada extremidade. Os furos são orientados em direções opostas no plano horizontal. Quando água é bombeada para dentro da haste através de um tubo conectado ao pivô, ela é expulsa através dos furos a uma taxa de 7.5 litros por minuto, o que faz o conjunto girar a 30 rpm. Calcular a velocidade do jato e a frição no pivô.

Dados do problema[editar | editar código-fonte]

Rs 15 cm
Df 4 mm
Φ — 7.5 l/min
ω 30 rpm
vm a calcular
Ωp a calcular

Solução[editar | editar código-fonte]

O jato de água, ao ser forçado a mudar de direção em 90° nas pontas da haste, exerce uma força sobre ela. Uma componente dessa força é radial, e a outra, tangencial ao sprinkler. Como cada tubo aponta para uma direção, aparece um binário de forças, que faz o sprinkler girar.

A velocidade do fluxo pode ser obtida diretamente a partir da vazão e da área de cada furo





Essa velocidade é medida em relação ao sprinkler, não em relação ao referencial fixo. Para encontrar a velocidade relativa a esse referencial, é preciso subtrair a velocidade tangencial do furo, que gira junto com o sprinkler na direção oposta. Assim, va = vm - ωRs.

A componente tangencial da força exerciada pelo jato de água sobre a haste só é contraposta pelo atrito no pivô. Isso porque a pressão atmosférica, a pressão da água no pivô de entrada e o peso do conjunto não produzem momento angular, devido à simetria do problema. Assim, podemos escolher um volume de controle que envolva o sprinkler e escrever a equação de conservação do momento angular



Mas



onde Ah é a área transversal da haste. Assim



Ou seja, o momento angular do sprinkler não varia no tempo. Por outro lado,



porque apenas nas extremidades existe fluxo através da superfície de controle. A velocidade para o cálculo do momento angular precisa ser medida em relação ao sistema de referência fixo, por isso deve-se usar va em lugar de vm. Além disso, a integral de superfície é muito difícil de ser calculada, pois a velocidade va muda continuamente de direção em relação à superfície do volume de controle, e por isso o fluido escapa por uma área que é maior que A_f; no entanto, sabemos que essa integral deve ser igual à vazão total Φ, de acordo com a equação de continuidade. Assim



Então