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As equações básicas para volumes de controle têm todas uma forma similar:
∂
∂
t
∫
C
ρ
d
V
+
∫
S
ρ
v
→
⋅
d
S
→
=
d
m
d
t
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho dV+\int _{S}\rho {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}\;=\;{\frac {dm}{dt}}}
∂
∂
t
∫
C
ρ
v
→
d
V
+
∫
S
ρ
v
→
(
v
→
⋅
d
S
→
)
=
d
v
→
d
t
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho {\vec {v}}dV\;+\;\int _{S}\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}}
∂
∂
t
∫
C
ρ
(
r
→
×
v
→
)
d
V
+
∫
S
ρ
(
r
→
×
v
→
)
(
v
→
⋅
d
S
→
)
=
d
H
→
d
t
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho ({\vec {r}}\times {\vec {v}})dV\;+\;\int _{S}\rho ({\vec {r}}\times {\vec {v}})({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;{\frac {d{\vec {H}}}{dt}}}
∂
∂
t
∫
C
ρ
e
d
V
+
∫
S
ρ
e
(
v
→
⋅
d
S
→
)
=
d
E
d
t
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho edV\;+\;\int _{S}\rho e({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;{\frac {dE}{dt}}}
∂
∂
t
∫
C
ρ
s
d
V
+
∫
S
ρ
s
(
v
→
⋅
d
S
→
)
=
d
S
d
t
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho sdV\;+\;\int _{S}\rho s({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;{\frac {dS}{dt}}}
que pode ser escrita como
∂
∂
t
∫
C
η
d
V
+
∫
S
η
(
v
→
⋅
d
S
→
)
=
d
ζ
d
t
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\eta dV\;+\;\int _{S}\eta ({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;{\frac {d\zeta }{dt}}}
onde η é uma propriedade intensiva e ς, uma propriedade extensiva correspondente:
η
∈
{
ρ
,
ρ
v
→
,
ρ
(
r
→
×
v
→
)
,
ρ
e
,
ρ
s
}
ζ
∈
{
m
,
M
→
,
Ω
→
,
E
,
S
}
{\displaystyle \eta \in \{\rho ,\rho {\vec {v}},\rho ({\vec {r}}\times {\vec {v}}),\rho e,\rho s\}\qquad \zeta \in \{m,{\vec {M}},{\vec {\Omega }},E,S\}}
A maneira como as equações básicas foi derivada para um volume de controle é bastante genérica, de forma que a expressão pode ser estendida a qualquer par de propriedades relacionadas da forma
ζ
=
∫
η
d
V
{\displaystyle \zeta \;=\;\int \eta dV}