Mecânica dos fluidos/A equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli

A aplicação das duas primeiras equações básicas (Equação de continuidade e Segunda Lei de Newton) ao escoamento unidimensional do líquido ideal dá como resultado uma equação conhecida como equação de Bernoulli. Essa equação é importante porque muitos problemas práticos podem ser aproximados razoavelmente por essa condição.

O líquido ideal é um fluido incompressível e com viscosidade nula. Escolhamos um volume de controle C que envolva o fluido de forma que não haja fluxo pelas laterais, apenas pelas faces anterior e posterior. Façamos o volume de C ser infinitesimal e sejam δA_a e δA_p as áreas de cada face, e δl o seu comprimento. Como C é muito pequeno, as propriedades importantes do campo só podem mudar infinitesimalmente no seu entorno; assim, se p e v são a pressão e a velocidade do fluido na face anterior, na face posterior serão p + δp e v + δv.

A aplicação da equação de continuidade

${\frac {d}{dt}}\int _{C}\rho dV\;+\;\int _{S}\rho {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}\;=\;0$

resultará em

$(v\;+\;\delta v)(A\;+\;\delta A)\;=\;vA\Rightarrow \;\;\;v\delta A\;+\;A\delta v\;=\;0$

pois o produto δv · δA pode ser desprezado. Aplicando-se a segunda lei de Newton

${\vec {F}}\;=\;{\frac {d}{dt}}\int _{C}\rho {\vec {v}}dV\;+\;\int _{S}\rho {\vec {v}}\;({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})$

teremos

$\delta F_{s}\;+\;\delta F_{b}\;=\;-v(\rho vA)\;+\;(v\;+\;\delta v)\;\rho \;(v\;+\;\delta v)(A\;+\;\delta A)\;=\;-v(\rho vA)\;+\;(v\;+\;\delta v)\;\rho \;vA\;=\;\rho vA\delta v$

A força δF_b será a componente do peso de C no sentido do escoamento. Seja Θ o ângulo que o fluxo faz com o eixo vertical, convencionado como o eixo Z. Assim:

$\delta F_{b}\;=\;-\delta m\cdot g\cdot \sin \theta \;=\;-(\rho \delta V)\cdot g\cdot \sin \theta \;=\;-\rho \;{\frac {A\;+\;(A\;+\;\delta A)}{2}}\;\delta l\cdot g\cdot \sin \theta \;=\;-\rho g\;{\frac {2A\;+\;\delta A}{2}}\;\delta z$

Onde δz = δl · sin Θ é a projeção na vertical do elemento de volume. O sinal negativo, obviamente, deve-se ao fato de a força apontar para baixo.

A força δF_s, na ausência de tensôes superficiais, uma vez que o fluido tem viscosidade nula, poderá ser calculada pelo método indicado na seção sobre hidrostática: somam-se os produtos da pressão no centro geométrico de cada superfície pela projeção da mesma no plano.

$\delta F_{s}\;=\;\int _{S}pdS\;=\;\delta F_{a}\;+\;\delta F_{p}\;+\;\delta F_{l}$

onde os subscritos a, p e l indicam as superfícies anterior, posterior e lateral, posteriormente. Como estamos considerando positivas as forças que atuam no sentido do fluxo:

$\delta F_{a}\;=\;pA\qquad \delta F_{p}\;=\;-(p\;+\;\delta p)(A\;+\;\delta A)\qquad \delta F_{l}\;=\;{\frac {p\;+\;(p\;+\;\delta p)}{2}}\;\delta A$

Assim:

$\delta F_{s}\;=\;pA\;-\;(p\;+\;\delta p)(A\;+\;\delta A)\;+\;{\frac {p\;+\;(p\;+\;\delta p)}{2}}\delta A\;=\;-A\delta p$

pois o termo δpδA é muito pequeno e pode ser desprezado.

Tudo isso resulta em

$-A\delta p-\rho g\;{\frac {2A\;+\;\delta A}{2}}\;\delta z\;=\;\rho vA\delta v\Rightarrow \;\;\;{\frac {1}{\rho }}\;\delta p\;+\;g\delta z\;+\;v\delta v\;=\;0$

novamente desprezando o produto de dois infinitesimais. A equação pode ser escrita

${\frac {dp}{\rho }}\;+\;gdz\;+\;{\frac {1}{2}}\;d\left(v^{2}\right)\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {p}{\rho }}\;+\;{\frac {v^{2}}{2}}\;+\;gz\;=\;constante$

que é a equação de Bernoulli.

Cumpre lembrar mais uma vez que essa equação só é válida para o líquido ideal em um escoamento laminar, e em regime permanente; apenas nessas condições o fluxo dentro do elemento de volume δv espelha bem o fluxo macroscópico real.

Carga e energia

As parcelas da equação de Bernoulli, como formulada acima, possuem a dimensão de energia especifica. Isso pode ser verificado da seguinte maneira:

D{e} = [D{F}·D{L}·D{M}^-1] = [[M·L·t^-2]·L·M^-1] = [L²·t^-2]

D{p·ρ^-1} = [D{F}·D{A}^-1]·[D{M}^-1·D{V}¹] = [[M·L·t^-2]·[L^-2][M^-1]·[L³] = [L²·t^-2]

D{v²} = [[L·t^-1]²] = [L²·t^-2]

D{gz} = [D{g}·D{z}] = [[L·t^-2]·L] = [L²·t^-2]

Como g é uma constante, podemos dividirmos todas as parcelas por ela, obtendo a equação na forma

${\frac {p}{\rho g}}\;+\;{\frac {v^{2}}{2g}}\;+\;z\;=\;constante$

onde as parcelas possuirão a dimensão de comprimento, como é fácil ver pela última parcela. A grandeza obtida dessa forma é chamada carga na literatura.

Linha de energia e linha piezométrica

A linha de energia (EGL - energy grade line) é uma linha imaginária que representa a carga do líquido ideal fluindo em um duto ou canal aberto. Ela é obtida a partir da equação de Bernoulli, formulada em termos da carga

${\frac {p}{\rho g}}\;+\;{\frac {v^{2}}{2g}}\;+\;z\;=\;constante$

A linha piezométrica (HGL - hydraulic grade line) é uma linha imaginária que representa apenas as parcelas estáticas da carga

${\frac {p}{\rho g}}\;+\;z$

A parcela ${\frac {v^{2}}{2g}}$ é chamada de carga dinâmica. Em um canal aberto, a linha piezométrica sempre coincide com a superfície do fluido.

Uma ilustração das linhas de energia e piezométrica pode ser encontrada neste local

As seguintes idéias são úteis ao desenhar-se a HGL e a EGL:

1. À medida que a velocidade do fluxo diminui, a HGL e a EGL se aproximam. Em um reservatório aberto, elas coincidem e jazem sobre a superfície do fluido;
2. As linhas inclinam-se para baixo na direção do fluxo devido à perda de carga na tubulação;
3. Mudanças bruscas na geometria, como uma curva acentuada, uma válvula, um alargamento ou uma redução; causam descidas bruscas na HGL e na EGL;
4. Uma bomba causa um aumento brusco na HGL e na EGL; uma turbina tem o efeito contrário;
5. Se uma seção de tubulação estiver acima da HGL, a pressão nesse ponto será negativa, ou seja haverá vácuo no seu interior; essa situação é comum em sifões.