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Mecânica dos fluidos/Pressão sobre corpos submersos

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Pressão sobre uma placa retangular imersa em um fluido incompressível[editar | editar código-fonte]

Uma placa retangular, de dimensões L x W, espessura desprezível, imersa em um fluido incompressível de densidade , sofre pressão sobre a sua superfície superior, devido ao peso desse fluido. Se a placa estiver imersa a uma profundidade D e perfeitamente alinhada horizontalmente, todos os pontos estarão sujeitos à mesma pressão .

Se, no entanto, apenas a sua extremidade superior estiver alinhada com a horizontal e a face fizer um ângulo Θ com esta, os pontos sofrerão uma pressão que varia com a profundidade, de no topo a na extremidade inferior. Isso dará origem não apenas a uma força resultante sobre a superfície, mas também a um torque na direção horizontal.

Para obter a força, é preciso integrar a força infinitesimal sobre cada elemento de área da placa.



A direção da pressão é sempre perpendicular à superfície da placa, pois o líquido está estático, o que simplifica o cálculo, tornando desnecessário trabalhar com vetores. Podemos introduzir a variável x, variando de 0 a L, ao longo da face da placa, sendo , para integrar a equação acima.





O torque sobre a superfície, por sua vez, tomando-se como referência a extremidade superior, será dado por




A profundidade do centro geométrico da placa é



e a pressão nessa profundidade é



que daria origem, se aplicada uniformemente a toda a placa, a uma força


que é igual à força resultante sobre a placa calculada acima. Assim, podemos escrever que a força resultante sobre a placa submersa é igual à força que apareceria se ela estivesse mergulhada na posição horizontal na profundidade em que se encontra o seu centro geométrico. Quanto ao torque, podemos dizer que ele é igual à força aplicada à posição




Esse ponto está a uma profundidade



e é a coordenada vertical do ponto de aplicação da força resultante Fc. As outras coordenadas são, obviamente:




A força Fc, por sua vez, pode ser expressa por suas componentes em cada uma das dimensões



Os 6 valores FH, FV, Fy, hΩ, zΩ e yΩ descrevem completamente a força aplicada à superficie.

Pressão sobre uma placa plana de qualquer formato imersa em um fluido incompressível[editar | editar código-fonte]

Qualquer que seja o formato da placa, podemos escrever, como acima






onde


são, respectivamente, o primeiro e o segundo momentos da área da superfície com relação ao eixo que passa pela extremidade superior.


A profundidade do centro geométrico da placa é



e a pressão nessa profundidade é



que daria origem, se aplicada uniformemente a toda a placa, a uma força


que também é igual à força resultante sobre a placa calculada acima. Assim, podemos escrever que a força resultante sobre a placa submersa, qualquer que seja o seu formato, é igual à força que apareceria se ela estivesse mergulhada na posição horizontal na profundidade em que se encontra o seu centro geométrico. Quanto ao torque, podemos lançar mão do teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Steiner) e substituir



onde é o segundo momento da área (ou momento de inércia da placa) com relação a um eixo que passa pela posição






No caso de uma placa retangular, não haverá torque na direção horizontal, devido à simetria . Para uma placa de formato qualquer, é preciso calculá-lo de acordo com as mesmas fórmulas. Os 6 valores FH, FV, Fy, hΩ, zΩ e yΩ descrevem completamente a força aplicada à superficie.

Pressão sobre uma placa curva imersa em um fluido incompressível[editar | editar código-fonte]

No caso de uma placa curva, não temos mais os infinitesimais dF apontando todos para a mesma direção. O cálculo se torna mais complexo, porque é preciso integrar separadamente as componentes vertical e horizontal dFH e dFV:




onde dAH e dAV são, respectivamente, as projeções do elemento de área dA na direção horizontal e vertical. No caso de FH, a fórmula deixa claro que a superfície curva A pode ser substituída pela sua projeção na vertical AV, sem que o cálculo seja afetado. Assim, podemos usar a fórmula geral



Quanto a FV, pode-se usar o mesmo método ou desenvolver-se a expressão



onde V_s é o volume de fluido total que se encontra sobre a placa.


O torque na direção horizontal pode ser calculado a partir da força FH como se a placa fosse plana. A direção x deve ser escolhida de forma a coincidir com o eixo vertical e a direção z, com a horizontal.




Para calcular , deve-se encontrar a coordenada horizontal do centro de massa do volume de fluido sobre a placa.


Vale ressaltar que o método usado para o cálculo de FH é totalmente geral e pode ser usado qualquer que seja a direção desejada. Dependendo da posição da placa, pode ser conveniente escolher uma direção de análise que não coincida com a horizontal ou a vertical.

Caso especial de uma placa plana retangular[editar | editar código-fonte]

Se a placa for plana e retangular, de dimensões L x W, espessura desprezível, estiver imersa a uma profundidade D e a face fizer um ângulo Θ com esta, como na seção anterior




que é a componente horizontal da força Fc calculada na seção anterior.



que é a componente vertical da força Fc calculada na seção anterior.





que é o mesmo valor calculado na seção anterior, apenas multiplicado por , devido à mudança de orientação do eixo x, de paralelo à face da placa para a vertical. Na direção horizontal, podemos escrever e calcular




que é o mesmo valor calculado na seção anterior.

Outros casos especiais[editar | editar código-fonte]

O método apresentado nesta seção é bastante genérico e serve para calcular a pressão sobre uma superfície qualquer, bastando dividi-la em um número apropriado n de superfícies (S1, S2, etc.) de forma que o cálculo se torne fácil.

  • Placa apenas parcialmente submersa: neste caso, é preciso dividir a superfície S em n partes, calcular os parâmetros (FH, FV, Fy, xΩ, yΩ e zxΩ) para cada uma das superfícies Si totalmente submersas e somar os vetores.
  • Placa submersa em fluidos diferentes: neste caso, é preciso dividir a superfície S em n partes, cada uma delas em contato com no máximo um fluido, calcular os parâmetros (FH, FV, Fy, xΩ, yΩ e zxΩ) para cada uma das superfícies totalmente submersas e somar os vetores.