Mecânica dos fluidos/Cinemática de um elemento de volume diferencial

Cinemática de um elemento de volume diferencial

Como preparação para obter as equações básicas em forma diferencial, é preciso em primeiro lugar desenvolver formas de descrever o comportamento de um elemento de volume diferencial, ou microscópico, em oposição ao elemento de volume macroscópico usado quando se aplicam as equações em sua forma integral. Descrevem-se abaixo os efeitos de translação, rotação e deformação a que um tal volume está sujeito. Em oposição, o elemento de volume macroscópico é escolhido cuidadosamente de forma que esses efeitos estejam ausentes ou que pelo menos possam ser descritos muito facilmente.

Aceleração linear de um elemento de volume em um campo de velocidades

Um elemento de volume δV imerso em um campo de velocidades está sujeito, evidentemente, em primeiro lugar a uma translação ao longo desse campo. A aceleração linear será dada por

${\vec {a}}_{\delta V}\;=\;{\frac {d{\vec {v}}_{\delta V}}{dt}}$

A velocidade do volume δV (v_δV) não coincide, em geral, com a velocidade v do fluxo. Por isso, é preciso escrever (escolhendo coordenadas cartesianas)

${\vec {v}}_{\delta V}\;=\;{\vec {f}}(x,y,z,t)\Rightarrow \;\;\;{\vec {a}}_{\delta V}\;=\;{\frac {d{\vec {f}}}{dt}}\;=\;{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial x}}{\frac {dx_{\delta V}}{dt}}\;+\;{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial y}}{\frac {dy_{\delta V}}{dt}}\;+\;{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial z}}{\frac {dz_{\delta V}}{dt}}\;+\;{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}{\frac {dt}{dt}}$

${\vec {a}}_{\delta V}\;=\;{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial x}}({\vec {v}}_{\delta V}\cdot {\vec {u}}_{x})\;+\;{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial y}}({\vec {v}}_{\delta V}\cdot {\vec {u}}_{y})\;+\;{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial z}}({\vec {v}}_{\delta V}\cdot {\vec {u}}_{z})\;+\;{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}\;=\;({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\;+\;{\frac {\partial {\vec {f}}}{\partial t}}$

onde u_x, u_y e u_z são os vetores unitários nas direções dos eixos coordenados (X,Y e Z) e x_δV, y_δV e z_δV, a posição do elemento de volume em um tempo t. Essa equação é chamada de derivada substancial ou derivada material da velocidade, por referir-se a um corpo físico e não ao campo em si, e escrita

${\vec {a}}_{\delta V}\;=\;{\frac {D}{Dt}}{\vec {v}}$

O operador

$({\vec {g}}\cdot \nabla ){\vec {f}}$

é chamado de derivada direcional de ${\vec {f}}$ ao longo do vetor ${\vec {g}}$. O termo

$({\vec {v}}_{\delta V}\cdot \nabla ){\vec {v}}\;=\;{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial x}}({\vec {v}}_{\delta V}\cdot {\vec {u}}_{x})\;+\;{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial y}}({\vec {v}}_{\delta V}\cdot {\vec {u}}_{y})\;+\;{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial z}}({\vec {v}}_{\delta V}\cdot {\vec {u}}_{z})$

que, em termos matemáticos, é a derivada direcional de ${\vec {v}}$ ao longo do vetor ${\vec {v}}_{\delta V}$, é chamado de aceleração convectiva; é a componente da aceleração do corpo devida ao movimento deste em relação ao fluxo, em oposição ao termo ${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}$, que é a aceleração que o próprio fluxo está sofrendo naquele local.

Deformação angular de um elemento de volume em um campo de velocidades

O elemento de volume δV, não sendo um corpo rígido, deforma-se ao mover-se no campo de velocidades. Assim, além do movimento de translação, que pode ser entendido como o movimento linear de seu centro de massa, é preciso analisar a deformação sofrida ao longo do tempo. Essa deformação pode ser dividida em dois tipos: deformação angular e deformação linear.

Tratemos inicialmente da deformação angular. Consideremos o corpo C como um cubo infinitesimal e chamemos aos seus oito vértices P_(x+,y+,z+) P_(x-,y+,z+), P_(x+,y-,z+), P_(x-,y-,z+) e assim por diante, conforme o vértice esteja no plano positivo ou negativo ortogonal a cada um dos eixos coordenados. Tomemos um vértice qualquer; ele estará na posição (x₀,y₀,z₀) no momento t₀ = 0 e na posição (x_Δt,y_Δt,z_Δt) após um intervalo Δt. Como a velocidade em cada vértice é, em geral, diferente da velocidade nos demais, as arestas do corpo não mais formarão um cubo perfeito. É isso que se chama deformação angular.

A deformação de cada face do cubo original está univocamente determinada pelo ângulo α que as arestas paralelas a ela formam em um dos vértices. Isso porque os lados do corpo precisam manter seus tamanhos originais, uma vez que não estamos considerando que haja deformação linear. Teremos sempre faces em forma de losango; os outros ângulos serão, necessariamente, iguais a α (o oposto) e 180° - α (os adjacentes). Assim, precisamos de apenas 3 ângulos, que chamaremos α_X, α_Y e α_Z, conforme correspondam à deformação da face inicialmente paralela a cada um dos eixos coordenados.

Tomemos a face originalmente contida no plano Z positivo. Os vértices que a limitam são P_(x-,y-,z+), P_(x-,y+,z+), P_(x+,y-,z+) e P_(x+,y+,z+). A componente v_x da velocidade em y = y₀ é diferente para y = y₀ + δy, e isso faz com que as arestas que eram paralelas ao eixo Y em t₀ passem em fazer com ele um ângulo α_z+. Anteriormente foi derivado o resultado

${\frac {d\alpha }{dt}}\;=\;{\frac {v_{x}}{dy}}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\tau _{yx}$

Assim

$\alpha \;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{yx}\;\delta t$

Recordemos que τ_yx é a tensão na superfície normal ao eixo Y devida à componente da velocidade paralela ao eixo X, e que μ é a viscosidade do fluido (constante em um fluido Newtoniano mas dependente de diversos fatores em caso contrário). Neste caso, v_x deve ser substituída por δv_yx, que é a diferença entre as velocidades na direção do eixo X em y = y₀ e em y = y₀ + δy.

$\delta v_{yx}\;=\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;\delta y$

Essas mesmas arestas, no entanto, também sofrem um efeito similar e cumulativo (ou seja, tende a desviar ainda mais o losango da forma quadrada original) devido aos diferentes valores de v_y em x = x₀ e x₀ + δt; essa diferença de velocidades será denotada, evidentemente, por δv_xy.

$\delta v_{xy}\;=\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\;\delta x$

Assim, a fórmula completa a ser usada é a seguinte:

${\frac {d}{dt}}\;\alpha _{Z}\;=\;{\frac {\delta v_{yx}}{\delta y}}\;+\;{\frac {\delta v_{xy}}{\delta x}}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{yx}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{xy}$

${\frac {d}{dt}}\;\alpha _{Z}\;=\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{yx}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{xy}$

Similarmente

${\frac {d}{dt}}\;\alpha _{Y}\;=\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{zx}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{xz}$

${\frac {d}{dt}}\;\alpha _{X}\;=\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{yz}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\;\tau _{zy}$

Deformação linear de um elemento de volume em um campo de velocidades

Tratemos agora da deformação linear. Consideremos o corpo C como um cubo infinitesimal; suas arestas terão comprimentos δx, δy e δz. Já vimos o que acontece quando a componente v_x, por exemplo, varia de acordo com as coordenadas Y e Z; o corpo sofrerá uma deformação angular. A deformação linear aparece quando v_x varia de acordo com a coordenada X; o corpo sofrerá um alongamento ou um encurtamento nessa direção, devido ao fato de as faces paralelas ao eixo X moverem-se com velocidades diferentes. Após um intervalo Δt, a face que estava originalmente em x = x₀ estará na posição x = x₀ + v(x₀) · Δt, e a face que estava originalmente em x = x₀ + δx estará na posição x = x₀ + δx + v(x₀) · Δt. A distância entre as faces, portanto, passará de δx a δx + (v(x₀ + δx) - v(x₀)) · Δt, ou seja

$\Delta (\delta x)\;=\;\delta v_{x}\cdot \ \Delta t\;=\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\cdot \delta x\cdot \ \Delta t$

${\frac {d}{dt}}\;\delta x\;=\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;\delta x$

Similarmente

${\frac {d}{dt}}\;\delta y\;=\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;\delta y$

${\frac {d}{dt}}\;\delta z\;=\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;\delta z$

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${\frac {d}{dt}}\;\delta V\;=\;{\frac {d}{dt}}(\delta x\cdot \delta y\cdot \delta z)\;=\;\delta y\cdot \delta z\cdot {\frac {\partial \delta x}{\partial t}}\;+\;\delta x\cdot \delta z\cdot {\frac {\partial \delta y}{\partial t}}\;+\;\delta x\cdot \delta y\cdot {\frac {\partial \delta z}{\partial t}}$

${\frac {d}{dt}}\;\delta V\;=\;\delta y\cdot \delta z\cdot {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;\delta x\;+\;\delta x\cdot \delta z\cdot {\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;\delta y\;+\;\delta x\cdot \delta y\cdot {\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;\delta z\;=\;\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\delta V$

A taxa de dilatação volumétrica pode ser definida por

$\delta _{e}V\;=\;{\frac {\Delta \delta V}{\delta V}}\;=\;\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\delta t$

${\frac {d}{dt}}\delta _{e}V\;=\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;=\;\nabla \cdot {\vec {v}}$

Rotação de um elemento de volume em um campo de velocidades

Tratemos agora da rotação. Consideremos o corpo C novamente como um cubo infinitesimal; suas arestas terão comprimentos δx, δy e δz. Já vimos que, quando a componente v_x, por exemplo, varia de acordo com as coordenadas Y e Z, o corpo sofrerá uma deformação angular, devido ao deslocamento dos vértices. Esse deslocamento será o mesmo nos vértices opostos (P_(x+,y+,z+) e P_(x-,y-,z+), P_(x+,y+,z-) e P_(x-,y-,z-), e assim por diante). Se esses vértices se deslocarem de forma diferente, podemos dizer que, além de deformação angular, o corpo estará sofrendo também uma rotação.

Consideremos a face que se situa no plano Z negativo. Se chamarmos α₁ o ângulo formado no vértice P_(x-,y-,z-) e α₂ o ângulo formado no vértice P_(x+,y+,z-), podemos definir a deformação angular como resultado da variação da média de α₁ e α₂ e a rotação como o resultado da variação da diferença entre esses ângulos.

$\Delta \alpha \;=\;{\frac {\Delta (\alpha _{1}\;+\;\alpha _{2})}{2}}\qquad \qquad \Delta \beta \;=\;{\frac {\Delta (\alpha _{1}\;-\;\alpha _{2})}{2}}$

Com essa definição, a rotação é positiva no sentido anti-horário, o que está de acordo com a regra da mão direita. Além disso, a soma da rotação e da deformação angular resultam no movimento original em cada vértice.

Podemos escrever que, após um intervalo de tempo Δt, o vértice move-se na direção do eixo Y por uma distância igual a Δy₁, enquanto o vértice adjacente P_(x+,y-,z-) move-se na direção do eixo Y por uma distância igual a Δy₂, e que o ângulo α₁ é dado por

$\sin \alpha _{1}\;=\;{\frac {\Delta y_{2}\;-\;\Delta y_{1}}{\delta x}}\;=\;{\frac {v_{y}(x_{0})\Delta t\;-\;v_{y}(x_{0}\;+\;\delta x)\Delta t}{\delta x}}\;=\;{\frac {\delta v_{y}\Delta t}{\delta x}}\;=\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\;\Delta t$

O mesmo vale para o ângulo α₂, que está no vértice P_(x+,y+,z+); como esses ângulos são muito pequenos, podemos aproximar sen α₁ = α₁ e sen α₂ = α₂. Assim:

$\Delta \beta \;=\;{\frac {\alpha _{1}\;-\;\alpha _{2}}{2}}\;=\;{\frac {{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\;\Delta t\;-\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;\Delta t}{2}}$

$\omega _{z}\;=\;\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \beta }{\Delta t}}\;=\;{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\;-\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)$

o subscrito z indicando que a rotação ocorre em torno do eixo Z. A rotação total é, portanto

${\vec {\omega }}\;=\;{\frac {1}{2}}\;\left(\left({\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;-\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\right){\vec {u}}_{x}\;+\;\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;-\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\right){\vec {u}}_{y}\;+\;\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\;-\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right){\vec {u}}_{z}\right)$

onde u_x, u_y e u_z são os vetores unitários na direção de cada eixo coordenado. Assim:

${\vec {\omega }}\;=\;{\frac {1}{2}}\;\nabla \times {\vec {v}}$

Um fluxo onde não ocorre rotação é chamado de irrotacional.

De acordo com o Teorema de Stokes em duas dimensões:

$\int _{A}(\nabla \times {\vec {v}})\;dA\;=\;\oint {\vec {v}}\cdot d{\vec {l}}$

esse valor é chamado circulação e denotado pelo símbolo Γ. Fisicamente, o teorema estabelece que a integral de linha do produto da velocidade pelo elemento de arco ao longo de qualquer curva fechada em torno de uma área A é igual ao dobro da integral da rotação nessa área.

Exercícios resolvidos

• C8
• C9