Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C9

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Enunciado

Um fluido viscoso flui entre duas placas paralelas separadas por uma distância H = 4 mm. A velocidade em cada ponto é dada pela equação

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \vec v \;=\; v_1 \; \frac{z}{H} \; \vec u_x}

onde v₁ = 4 mm/s. Tinta é jogada sobre o líquido em t = 0 de maneira a formar uma cruz, com braços de comprimento L = 2 mm, e com um dos braços paralelo às placas. Calcular

• a posição do desenho em t = 1.5 s
• a taxa de deformação angular
• a taxa de rotação de uma partícula de fluido nesse fluxo

Solução

Como v tem a direção do eixo X, não haverá movimento vertical. Considerando a origem dos eixos coordenados na placa inferior, o centro geométrico do desenho é colocado em t = 0 na posição P(x(0),y₀,H/2). Em t = 1.5 s ele estará na posição

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x_c(1.5) \;=\; x_c(0) \;+\; \Delta x_c \;=\; x_c(0) \;=\; v_x \left( \frac{H}{2} \right) \; \Delta t \;=\; x_c(0) \;+\; v_1 \; \frac{\frac{H}{2}}{H} \; \Delta t}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x_c(1.5) \;=\; x_c(0) \;+\; 4 \; mm/s \cdot \frac{1}{2} \; 1.5 \; s \;=\; x_c(0) \;+\; 3 \; mm}

Todos os pontos sobre o braço paralelo às placas sofrerão o mesmo deslocamento de 3mm. Já o ponto do braço transversal às placas localizado mais próximo à placa inferior é colocado em t = 0 na posição P(x(0),y₀,H/2 - L/2). Em t = 1.5 s ele estará na posição

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x_i(1.5) \;=\; x_i(0) \;+\; \Delta x_i \;=\; x_i(0) \;=\; v_x \left( \frac{H \;-\; L}{2} \right) \; \Delta t \;=\; x_i(0) \;+\; v_1 \; \frac{(H \;-\; L)}{2H} \; \Delta t}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x_i(1.5) \;=\; x_c(0) \;+\; 4 \; mm/s \cdot \frac{(4 \; mm \;-\; 2 \; mm)}{2 \cdot 4 \; mm} \; 1.5 \; s \;=\; x_c(0) \;+\; 1.5 \; mm}

E o ponto do braço transversal às placas mais próximo à placa superior é colocado em t = 0 na posição P(x(0),y₀,H/2 + L/2). Em t = 1.5 s ele estará na posição

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x_s(1.5) \;=\; x_s(0) \;+\; \Delta x_s \;=\; x_s(0) \;=\; v_x \left( \frac{H \;+\; L}{2} \right) \; \Delta t \;=\; x_s(0) \;+\; v_1 \; \frac{(H \;+\; L)}{2H} \; \Delta t}

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle x_s(1.5) \;=\; x_c(0) \;+\; 4 \; mm/s \cdot \frac{(4 \; mm \;+\; 2 \; mm)}{2 \cdot 4 \; mm} \; 1.5 \; s \;=\; x_c(0) \;+\; 4.5 \; mm}

O objeto, portanto, sofre uma deformação, e o ângulo entre os braços diminui de 90° para

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \tan \theta \;=\; \frac{\frac{L}{2}}{\Delta x_s \;-\; \Delta x_c} \;=\; \frac{2 \; mm}{2 \; (4.5 \; mm \;-\; 1.5 \; mm)} \;=\; 0.33}

e, além disso, um dos braços é esticado. A taxa de deformação angular será

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dt} \alpha_Y \;=\; \frac{\partial v_x}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_z}{\partial x} \;=\; \frac{\partial}{\partial z} \left( v_1 \; \frac{z}{H} \right) \;=\; \frac{v_1}{H} \;=\; \frac{4 \; mm/s}{4 \; mm} \;=\; 1.0 \; s^{-1}}

A taxa de rotação será

Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \omega_y \;=\; \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_x}{\partial z} \;-\; \frac{\partial v_z}{\partial x} \right) \;=\; \frac {1}{2} \; \frac{\partial}{\partial z} \left( v_1 \; \frac{z}{H} \right) \;=\; 0.5 \; s^{-1}}