Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C9

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Enunciado

Um fluido viscoso flui entre duas placas paralelas separadas por uma distância H = 4 mm. A velocidade em cada ponto é dada pela equação

${\vec {v}}\;=\;v_{1}\;{\frac {z}{H}}\;{\vec {u}}_{x}$

onde v₁ = 4 mm/s. Tinta é jogada sobre o líquido em t = 0 de maneira a formar uma cruz, com braços de comprimento L = 2 mm, e com um dos braços paralelo às placas. Calcular

• a posição do desenho em t = 1.5 s
• a taxa de deformação angular
• a taxa de rotação de uma partícula de fluido nesse fluxo

Solução

Como v tem a direção do eixo X, não haverá movimento vertical. Considerando a origem dos eixos coordenados na placa inferior, o centro geométrico do desenho é colocado em t = 0 na posição P(x(0),y₀,H/2). Em t = 1.5 s ele estará na posição

$x_{c}(1.5)\;=\;x_{c}(0)\;+\;\Delta x_{c}\;=\;x_{c}(0)\;=\;v_{x}\left({\frac {H}{2}}\right)\;\Delta t\;=\;x_{c}(0)\;+\;v_{1}\;{\frac {\frac {H}{2}}{H}}\;\Delta t$

$x_{c}(1.5)\;=\;x_{c}(0)\;+\;4\;mm/s\cdot {\frac {1}{2}}\;1.5\;s\;=\;x_{c}(0)\;+\;3\;mm$

Todos os pontos sobre o braço paralelo às placas sofrerão o mesmo deslocamento de 3mm. Já o ponto do braço transversal às placas localizado mais próximo à placa inferior é colocado em t = 0 na posição P(x(0),y₀,H/2 - L/2). Em t = 1.5 s ele estará na posição

$x_{i}(1.5)\;=\;x_{i}(0)\;+\;\Delta x_{i}\;=\;x_{i}(0)\;=\;v_{x}\left({\frac {H\;-\;L}{2}}\right)\;\Delta t\;=\;x_{i}(0)\;+\;v_{1}\;{\frac {(H\;-\;L)}{2H}}\;\Delta t$

$x_{i}(1.5)\;=\;x_{c}(0)\;+\;4\;mm/s\cdot {\frac {(4\;mm\;-\;2\;mm)}{2\cdot 4\;mm}}\;1.5\;s\;=\;x_{c}(0)\;+\;1.5\;mm$

E o ponto do braço transversal às placas mais próximo à placa superior é colocado em t = 0 na posição P(x(0),y₀,H/2 + L/2). Em t = 1.5 s ele estará na posição

$x_{s}(1.5)\;=\;x_{s}(0)\;+\;\Delta x_{s}\;=\;x_{s}(0)\;=\;v_{x}\left({\frac {H\;+\;L}{2}}\right)\;\Delta t\;=\;x_{s}(0)\;+\;v_{1}\;{\frac {(H\;+\;L)}{2H}}\;\Delta t$

$x_{s}(1.5)\;=\;x_{c}(0)\;+\;4\;mm/s\cdot {\frac {(4\;mm\;+\;2\;mm)}{2\cdot 4\;mm}}\;1.5\;s\;=\;x_{c}(0)\;+\;4.5\;mm$

O objeto, portanto, sofre uma deformação, e o ângulo entre os braços diminui de 90° para

$\tan \theta \;=\;{\frac {\frac {L}{2}}{\Delta x_{s}\;-\;\Delta x_{c}}}\;=\;{\frac {2\;mm}{2\;(4.5\;mm\;-\;1.5\;mm)}}\;=\;0.33$

e, além disso, um dos braços é esticado. A taxa de deformação angular será

${\frac {d}{dt}}\alpha _{Y}\;=\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial z}}\left(v_{1}\;{\frac {z}{H}}\right)\;=\;{\frac {v_{1}}{H}}\;=\;{\frac {4\;mm/s}{4\;mm}}\;=\;1.0\;s^{-1}$

A taxa de rotação será

$\omega _{y}\;=\;{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;-\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\right)\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\frac {\partial }{\partial z}}\left(v_{1}\;{\frac {z}{H}}\right)\;=\;0.5\;s^{-1}$