Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C10

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Enunciado

Um pistão move-se horizontalmente dentro de um cilindro cheio de gás, atingindo a velocidade de 12 m/s quando distante 0.15 m da parede lateral. Neste momento, a densidade do gás é de 18 kg/m³ e uniforme dentro do cilindro. A velocidade do gás varia linearmente a partir do repouso para pontos adjacentes à parede lateral até v₀ para pontos adjacentes ao pistão. Derive uma expressão para o valor da densidade média no cilindro e calcule taxa de variação da densidade nesse instante.

Solução

Escolhamos a origem dos eixos coordenados sobre a parede lateral do cilindro. Do enunciado, a velocidade do gás é dada por

${\vec {v}}\;=\;v_{x}\;{\vec {u}}_{x}\;=\;(a\;x\;\;+\;b){\vec {u}}_{x}\qquad v_{x}(x\;=\;0)=0\qquad v_{x}(\;=\;L)=v_{0}$

Assim

$v_{x}\;=\;{\frac {v_{0}}{L}}\;x$

Além disso, podemos escrever $L\;=\;L_{0}\;+\;v_{0}t$

Logo

$v_{x}\;=\;{\frac {v_{0}}{L_{0}\;+\;v_{0}t}}\;x$

De acordo com a equação de continuidade

$\nabla \cdot \rho {\vec {v}}\;+\;{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial \rho v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;=\;0$

pois v_y = v_z = 0. Assim

$\rho \;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{x}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;\rho \;{\frac {\partial }{\partial x}}\;{\frac {v_{0}x}{L_{0}\;+\;v_{0}t}}\;+\;{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;=\;0$

pois, de acordo com o enunciado, a densidade não varia com a posição x dentro do cilindro, apenas com o tempo. Logo,

$\rho \;{\frac {v_{0}}{L_{0}\;+\;v_{0}t}}\;+\;{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {d\rho }{\rho }}\;=\;-\;{\frac {v_{0}}{L_{0}\;+\;v_{0}t}}\;dt$

$\int _{\rho 0}^{\rho }{\frac {d\rho }{\rho }}\;=\;-\int _{0}^{t}{\frac {v_{0}}{L_{0}\;+\;v_{0}t}}\;dt\Rightarrow \;\;\;\ln {\frac {\rho }{\rho _{0}}}\;=\;-\;\ln {\frac {L_{0}\;+\;v_{0}t}{L_{0}}}$

$\rho \;=\;{\frac {\rho _{0}L_{0}}{L_{0}\;+\;v_{0}t}}\Rightarrow \;\;\;{\frac {d\rho }{dt}}\;=\;-\;{\frac {\rho _{0}L_{0}v_{0}}{(L_{0}\;+\;v_{0}t)^{2}}}$

$\left.{\frac {d\rho }{dt}}\right|_{t\;=\;0}\;=\;-\;{\frac {\rho _{0}L_{0}v_{0}}{(L_{0}\;+\;v_{0}\cdot 0)^{2}}}\;=\;-\;{\frac {\rho _{0}v_{0}}{L_{0}}}\;=\;-\;{\frac {18\;kg/m^{3}\cdot 12\;m/s}{0.15\;m}}\;=\;-1400\;kg\cdot m^{-3}\cdot s^{-1}$