Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C11

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Enunciado

Deduza a equação de Bernoulli a partir da forma diferencial da primeira lei da termodinâmica.

Solução

A forma diferencial da primeira lei da termodinâmica é a seguinte:

${\frac {dQ}{dm}}\;=\;\left[\left(u_{2}\;+\;{\frac {v_{2}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{2}}{\rho _{2}}}\right]\;-\;\left[\left(u_{1}\;+\;{\frac {v_{1}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{1}}{\rho _{1}}}\right]$

Para fluidos incompressíveis e com viscosidade nula, σ = - p, ρ₁ = ρ₂ = ρ₀. Além disso, a quantidade de calor fornecida ao elemento de volume é, por hipótese, nula. Assim, a diferença na energia interna u₁ - u₂ só poderá dever-se a alguma variação na energia potencial gravitacional (gz₁ - gz₂). Logo:

$0\;=\;\left[\left(u_{1}\;+\;{\frac {v_{2}^{2}}{2}}\right)\;+\;{\frac {p_{2}}{\rho _{0}}}\right]\;-\;\left[\left(u_{2}\;+\;{\frac {v_{1}^{2}}{2}}\right)\;+\;{\frac {p_{1}}{\rho _{0}}}\right]$

${\frac {v_{2}^{2}}{2}}\;+\;{\frac {p_{2}}{\rho _{0}}}\;+\;gz_{2}\;=\;{\frac {v_{1}^{2}}{2}}\;+\;{\frac {p_{1}}{\rho _{0}}}\;+\;gz_{2}$

que é a equação procurada.

Quando houver fluxo de calor para o elemento de volume, a equação continuará sendo válida, contanto que

$u_{2}\;-\;u_{1}\;=\;{\frac {dQ}{dm}}\;+\;gz_{2}\;-\;gz_{1}\Rightarrow \;\;\;\delta u_{T}\;=\;{\frac {dQ}{dm}}$

onde δu_T é a variação da energia térmica do elemento de volume. A função de Gibbs

$TdS\;=\;dU_{T}\;+\;pdV$

onde S é a entropia, é válida para qualquer substância pura, em qualquer processo; para um fluido incompressível, dV = 0. Logo

$TdS\;=\;dU_{T}\Rightarrow \;\;\;T\delta S\;=\;\delta U_{T}\Rightarrow \;\;\;T{\frac {\delta Q}{T}}\;\geq \;\delta m\;\delta u_{T}$

${\frac {\delta Q}{\delta m}}\;\geq \;\delta u_{T}$

A igualdade vale quando o processo é reversível. Assim, a equação de Bernoulli é válida também para a situação em que calor é fornecido ao elemento de volume, contanto que o fluido seja uma substância pura e o processo seja reversível.