Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C3

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Enunciado

Água flui em um canal aberto de 3 m de diâmetro a uma velocidade de 0.5 m/s até atingir uma parede vertical com uma abertura de diâmetro igual a 0.4 m localizada na sua base. Comparar a força exercida pelo líquido sobre a parede nessas condições e quando a abertura está fechada por uma comporta.

Dados do problema

D1	3 m
D2	0.4 m
ventra	0.5 m/s
F1	a calcular
F2	a calcular

ρ = 1000 kg/m³

Solução

Como se trata de um canal livre, é mais fácil usar pressões manométricas. Seja F₁ a força sobre a parede com a comporta fechada e F₂ a força sobre a parede com a comporta aberta. No primeiro caso, apenas forças hidrostáticas estão presentes, e v_entra = v_sai = 0. Assim,

$F_{1}\;=\;F_{H1}\;=\;p_{c1}\;A_{V1}\;=\;(\rho gh_{c1})\;(\pi {\frac {D_{1}^{2}}{4}})\;=\;(\rho g{\frac {D_{1}}{2}})\;\left(\pi {\frac {D_{1}^{2}}{4}}\right)$

onde p_c1 é a pressão no centro geométrico da parede e h_c1 é a profundidade desse centro. Logo,

$F_{H1}\;=\;\pi \rho g{\frac {D_{1}^{3}}{8}}\;=\;3.1\cdot 1000\;kg/m\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot {\frac {(3\;m)^{3}}{8}}\;=\;103000\;N$

Para calcular F₂, apliquemos a equação da continuidade e a lei de conservação do momento linear sobre o volume de controle escolhido de forma a contornar o canal antes e depois da comporta:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho dV\;+\;\int _{S}\rho ({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;0$

${\vec {F}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho vdV\;+\;\int _{S}\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})$

Como o fluido é incompressível e as velocidades são constantes

$0\;+\;\rho \left(-\;v_{entra}A_{entra}\;+\;v_{sai}A_{sai}\right)\;=\;0\Rightarrow \;\;\;v_{sai}\;=\;{\frac {v_{entra}A_{entra}}{A_{sai}}}$

${\vec {F}}\;=\;0\;+\;\rho \left(-\;v_{entra}^{2}A_{entra}\;+\;v_{sai}^{2}A_{sai}\right)\;{\vec {u}}_{x}\;=\;\rho \left(-\;v_{entra}^{2}A_{entra}\;+\;\left({\frac {v_{entra}A_{entra}}{A_{sai}}}\right)^{2}A_{sai}\right)\;{\vec {u}}_{x}$

${\vec {F}}\;=\;\rho v_{entra}^{2}A_{entra}\left({\frac {A_{entra}}{A_{sai}}}\;-\;1\right)\;{\vec {u}}_{x}\;=\;\rho v_{entra}^{2}\;\pi \;{\frac {D_{1}^{2}}{4}}\left({\frac {D_{1}^{2}}{D_{2}^{2}}}\;-\;1\right)\;{\vec {u}}_{x}$

Essa é a força total exercida sobre o fluido; uma parte se deve às forças hidrostáticas e a outra, à ação da parede.

${\vec {F}}\;=\;{\vec {F}}_{H}\;+\;{\vec {F}}_{p}\Rightarrow \;\;\;{\vec {F}}_{p}\;=\;{\vec {F}}\;-\;{\vec {F}}_{H}$

A maneira mais fácil de calcular a força hidrostática total F_H é considerar a situação da comporta fechada, calcular a força hidrostática exercida sobre a abertura e a força exercida na parede inteira, e fazer a subtração.

${\vec {F}}_{H}\;=\;{\vec {F}}_{H1}\;-\;{\vec {F}}_{H2}\;=\;p_{c1}A_{V1}\;{\vec {u}}_{x}\;-\;p_{c2}A_{V2}\;{\vec {u}}_{x}\;=\;(\rho gh_{c1}A_{V1}\;-\;\rho gh_{c2}A_{V2})\;{\vec {u}}_{x}$

${\vec {F}}_{H}\;=\;\rho g\left({\frac {D_{1}}{2}}\;\pi \;{\frac {D_{1}^{2}}{4}}\;-\;\left(D_{1}\;-\;{\frac {D_{2}}{2}}\right)\;\pi \;{\frac {D_{2}^{2}}{4}}\right)\;{\vec {u}}_{x}$

${\vec {F}}_{H}\;=\;\pi \rho g\left({\frac {D_{1}^{3}}{8}}\;-\;{\frac {D_{1}D_{2}^{2}}{4}}\;+\;{\frac {D_{2}^{3}}{8}}\right)\;{\vec {u}}_{x}$

Assim:

${\vec {F}}_{p}\;=\;{\vec {F}}\;-\;{\vec {F}}_{H}\;=\;\rho v_{entra}^{2}\;\pi \;{\frac {D_{1}^{2}}{4}}\left({\frac {D_{1}^{2}}{D_{2}^{2}}}\;-\;1\right)\;{\vec {u}}_{x}\;-\;\pi \rho g\left({\frac {D_{1}^{3}}{8}}\;-\;{\frac {D_{1}D_{2}^{2}}{4}}\;+\;{\frac {D_{2}^{3}}{8}}\right)\;{\vec {u}}_{x}$

${\vec {F}}_{p}\;=\;\rho \pi \;\left[v_{entra}^{2}\;{\frac {D_{1}^{2}}{4}}\left({\frac {D_{1}^{2}}{D_{2}^{2}}}\;-\;1\right)\;-\;g\;\left({\frac {D_{1}^{3}}{8}}\;-\;{\frac {D_{1}D_{2}^{2}}{4}}\;+\;{\frac {D_{2}^{3}}{8}}\right)\right]\;{\vec {u}}_{x}$

$\;=\;1000\;kg/m^{3}\cdot 3.1\cdot \left[(0.5\;m/s)^{2}\cdot {\frac {(3\;m)^{2}}{4}}\;\left({\frac {(3\;m)^{2}}{(0.4\;m)^{2}}}\;-\;1\right)\;-\;\right.$

$\left.\;-\;9.8\;m/s^{2}\cdot \left({\frac {(3\;m)^{3}}{8}}\;-\;{\frac {3\;m\cdot (0.4\;m)^{2}}{4}}\;+\;{\frac {(0.4\;m)^{3}}{8}}\right)\right]\;{\vec {u}}_{x}$

$\;=\;-\;2790\;N\;{\vec {u}}_{x}$

A força exercida pelo líquido sobre a parede é igual e de sentido contrário: $2790\;N\;{\vec {u}}_{x}$.