Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E15

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Enunciado

Deduzir a expressão para o valor do coeficiente de energia cinética para um escoamento turbulento a partir da Lei da Potência.

Solução

De acordo com a definição de coeficiente de energia cinética

$\alpha \;=\;{\frac {1}{\rho _{0}\Phi {\bar {v}}^{2}}}\int _{A}\rho _{0}v^{3}\;dA$

De acordo com a Lei da Potência,

$v\;=\;{\bar {v}}_{r}\;\left({\frac {2({\frac {D}{2}}\;-\;r)}{D}}\right)^{\frac {1}{n}}$

Como deduzido no exercício E5, a relação entre a velocidade média e a velocidade do escoamento no centro do tubo é

${\bar {v}}\;=\;{\bar {v}}_{r}\;{\frac {2n^{2}}{(n\;+\;1)(2n\;+\;1)}}$

e a vazão será

$\Phi \;=\;{\frac {\pi \;D^{2}}{2}}\;{\bar {v}}_{r}\;{\frac {n^{2}}{(n\;+\;1)(2n\;+\;1)}}$

Assim,

$\alpha \;=\;{\frac {1}{\rho _{0}\left({\frac {\pi \;D^{2}}{2}}\;{\bar {v}}_{r}\;{\frac {n^{2}}{(n\;+\;1)(2n\;+\;1)}}\right)\left({\bar {v}}_{r}\;{\frac {2n^{2}}{(n\;+\;1)(2n\;+\;1)}}\right)^{2}}}\int _{A}\rho _{0}\left({\bar {v}}_{r}\;\left({\frac {2\left({\frac {D}{2}}\;-\;r\right)}{D}}\right)^{\frac {1}{n}}\right)^{3}\;dA$

$\alpha \;=\;{\frac {2^{\frac {3}{n}}(n\;+\;1)^{3}(2n\;+\;1)^{3}}{2\pi \;D^{2}\;n^{6}\;D^{\frac {3}{n}}}}\int _{0}^{\frac {D}{2}}\left({\frac {D}{2}}\;-\;r\right)^{\frac {3}{n}}\;(2\pi r)\;dr$

$u\;=\;{\frac {D}{2}}\;-\;r\;\;\;\Rightarrow \alpha \;=\;{\frac {2^{\frac {3}{n}}(n\;+\;1)^{3}(2n\;+\;1)^{3}}{D^{2}\;n^{6}\;D^{\frac {3}{n}}}}\int _{0}^{\frac {D}{2}}u^{\frac {3}{n}}\left({\frac {D}{2}}\;-\;u\right)\;du$

$\alpha \;=\;{\frac {2^{\frac {3}{n}}(n\;+\;1)^{3}(2n\;+\;1)^{3}}{D^{2}\;n^{6}\;D^{\frac {3}{n}}}}\left({\frac {D}{2}}\int _{0}^{\frac {D}{2}}u^{\frac {3}{n}}\;du\;-\;\int _{0}^{\frac {D}{2}}u^{\frac {n\;+\;3}{n}}\;du\right)$

$\alpha \;=\;{\frac {2^{\frac {3}{n}}(n\;+\;1)^{3}(2n\;+\;1)^{3}}{D^{2}\;n^{6}\;D^{\frac {3}{n}}}}\left({\frac {D}{2}}\;{\frac {n}{n\;+\;3}}\left.\left[u^{\frac {n\;+\;3}{n}}\right]\right|_{0}^{\frac {D}{2}}\;-\;{\frac {n}{2n\;+\;3}}\left.\left[u^{\frac {2n\;+\;3}{n}}\right]\right|_{0}^{\frac {D}{2}}\right)$

$\alpha \;=\;{\frac {2^{\frac {3}{n}}(n\;+\;1)^{3}(2n\;+\;1)^{3}}{D^{2}\;n^{6}\;D^{\frac {3}{n}}}}\left({\frac {D}{2}}\;{\frac {n}{n\;+\;3}}\;\left({\frac {D}{2}}\right)^{\frac {n\;+\;3}{n}}\;-\;{\frac {n}{2n\;+\;3}}\;\left({\frac {D}{2}}\right)^{\frac {2n\;+\;3}{n}}\right)$

$\alpha \;=\;{\frac {2^{\frac {3}{n}}(n\;+\;1)^{3}(2n\;+\;1)^{3}}{D^{2}\;n^{6}\;D^{\frac {3}{n}}}}\;\left({\frac {D}{2}}\right)^{\frac {2n\;+\;3}{n}}\;\left({\frac {n}{n\;+\;3}}\;-\;{\frac {n}{2n\;+\;3}}\right)$

$\alpha \;=\;{\frac {(n\;+\;1)^{3}(2n\;+\;1)^{3}}{4n^{6}}}\;{\frac {n^{2}}{(n\;+\;3)(2n\;+\;3)}}$

$\alpha \;=\;{\frac {(n\;+\;1)^{3}(2n\;+\;1)^{3}}{4n^{4}(n\;+\;3)(2n\;+\;3)}}$

Para escoamentos plenamente turbulentos,

$\alpha \;=\;\lim _{n\to \infty }\left({\frac {(n\;+\;1)^{3}(2n\;+\;1)^{3}}{4n^{4}(n\;+\;3)(2n\;+\;3)}}\right)\;=\;1$