Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E14

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Enunciado

Calcular o diâmetro que a tubulação do exercício E11 precisaria ter para que se garantisse uma vazão mínima de 10 l/s através de um tubo de 50 m de comprimento, considerando que a altura da água no reservatório será mantida no mínimo em 5 m.

Solução

Do exercício E12, sabemos que

$g\;\Delta h\;=\;{\frac {1}{2}}\;\left(N_{fi}\;+\;N_{fl}\;{\frac {L}{D}}\;+\;1\right){\bar {v}}^{2}\;\;\;\Rightarrow {\frac {N_{fl}}{D}}\;=\;{\frac {1}{L}}\;\left({\frac {2g\;\Delta h}{{\bar {v}}^{2}}}\;-\;N_{fi}\;-\;1\right)$

Assim

${\frac {0.25\left[log\left({\frac {e}{3.7\;D}}\;+\;5.74\;N_{Re}^{-0.9}\right)\right]^{-2}}{D}}\;=\;{\frac {1}{L}}\;\left({\frac {2g\;\Delta h}{\left({\frac {4\Phi }{\pi D^{2}}}\right)^{2}}}\;-\;N_{fi}\;-\;1\right)$

${\frac {1}{4D\cdot \left[log\left({\frac {e}{3.7\;D}}\;+\;5.74\;N_{Re}^{-0.9}\right)\right]^{2}}}\;=\;{\frac {\left({\frac {\pi ^{2}gD^{4}\;\Delta h}{8\Phi ^{2}}}\;-\;N_{fi}\;-\;1\right)}{L}}$

$4D\cdot \left[log\left({\frac {e}{3.7\;D}}\;+\;5.74\;N_{Re}^{-0.9}\right)\right]^{2}\cdot \left({\frac {\pi ^{2}gD^{4}\;\Delta h}{8\Phi ^{2}}}\;-\;N_{fi}\;-\;1\right)\;=\;L$

$4D\cdot \left[log\left({\frac {0.15\;mm}{3.7\;D}}\;+\;5.74\;N_{Re}^{-0.9}\right)\right]^{2}\cdot \left({\frac {3.14^{2}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 5\;m}{8\cdot (10\;l/s)^{2}}}\cdot D^{4}\;-\;0,5\;-\;1\right)\;=\;50\;m$

$4D\cdot \left[log\left({\frac {0.00015\;m}{3.7\;D}}\;+\;5.74\;N_{Re}^{-0.9}\right)\right]^{2}\cdot \left({\frac {3.14^{2}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 5\;m}{8\cdot (0.010\;m^{3}/s)^{2}}}\cdot D^{4}\;-\;0,5\;-\;1\right)\;=\;50\;m$

O cálculo é difícil, pois tanto o Número de Reynolds quanto o coeficiente de atrito dependem do diâmetro do tubo. Por isso, será preciso usar um processo iterativo.

Iteração 1

No primeiro passo, consideremos um diâmetro de 50 mm. Assim

$N_{Re}\;=\;{\frac {4\rho _{0}\;\Phi }{\pi \mu _{0}D}}\;=\;{\frac {4\cdot 1000\;kg/m^{3}\cdot 10\;l/s}{3.14\cdot 0,0010\;kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}\cdot 50\;mm}}$

$N_{Re}\;=\;{\frac {4\cdot 1000\;kg/m^{3}\cdot 0.010\;m^{3}/s}{3.14\cdot 0,0010\;kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}\cdot 0.050\;m}}\;=\;250000$

Calcula-se então o lado esquerdo da equação:

$4\cdot 50\;mm\cdot \left[log\left({\frac {0.00015\;m}{3.7\cdot 50\;mm}}\;+\;5.74\cdot 250000^{-0.9}\right)\right]^{2}\cdot \left({\frac {3.14^{2}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 5\;m}{8\cdot (0.010\;m^{3}/s)^{2}}}\cdot (50\;mm)^{4}\;-\;0,5\;-\;1\right)\;=\;$

$4\cdot 0.050\;m\cdot \left[log\left({\frac {0.00015\;m}{3.7\cdot 0.050\;m}}\;+\;5.74\cdot 250000^{-0.9}\right)\right]^{2}\cdot \left({\frac {3.14^{2}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 5\;m}{8\cdot (0.010\;m^{3}/s)^{2}}}\cdot (0.050\;m)^{4}\;-\;0,5\;-\;1\right)\;=\;-\;1,5\;m$

O valor obtido muito baixo, o que indica que o diâmetro precisa aumentar bastante.

Iteração 2

Consideremos um diâmetro de 300 mm. Assim

$N_{Re}\;=\;{\frac {4\cdot 1000\;kg/m^{3}\cdot 0.010\;m^{3}/s}{3.14\cdot 0,0010\;kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}\cdot 0.30\;m}}\;=\;42000$

Calcula-se então o lado esquerdo da equação:

$4\cdot 0.30\;m\cdot \left[log\left({\frac {0.00015\;m}{3.7\cdot 0.30\;m}}\;+\;5.74\cdot 250000^{-0.9}\right)\right]^{2}\cdot \left({\frac {3.14^{2}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 5\;m}{8\cdot (0.010\;m^{3}/s)^{2}}}\cdot (0.30\;m)^{4}\;-\;0,5\;-\;1\right)\;=\;47\;m$

O valor obtido ainda está um pouco baixo, o que indica que o diâmetro precisa aumentar um pouco mais.

Iteração 3

Consideremos um diâmetro de 310 mm. Assim

$N_{Re}\;=\;{\frac {4\cdot 1000\;kg/m^{3}\cdot 0.010\;m^{3}/s}{3.14\cdot 0,0010\;kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}\cdot 0.31\;m}}\;=\;41000$

Calcula-se então o lado esquerdo da equação:

$4\cdot 0.31\;m\cdot \left[log\left({\frac {0.00015\;m}{3.7\cdot 0.31\;m}}\;+\;5.74\cdot 250000^{-0.9}\right)\right]^{2}\cdot \left({\frac {3.14^{2}\cdot 9.8\;m/s^{2}\cdot 5\;m}{8\cdot (0.010\;m^{3}/s)^{2}}}\cdot (0.31\;m)^{4}\;-\;0,5\;-\;1\right)\;=\;54\;m$

O valor obtido indica que o diâmetro mínimo está entre 300 e 310 mm. Como numa aplicação prática usam-se sempre tubos com diâmetros padronizados, a informação obtida é suficientemente exata para a escolha do diêmetro da tubulação.