Mecânica dos fluidos/Conservação da energia

Conservação da energia no escoamento

Antiga tubulação romana, feita de chumbo.

Rugosidade de tubulações

Como consideramos nula a velocidade junto às paredes do duto, não há perda de energia nesses pontos por fricção. No entanto, se as irregularidades nas paredes forem grandes o suficiente para ultrapassar a região de camada limite, passa a existir perda de energia também aí.

A rugosidade absoluta e é a altura média das irregularidades presentes nas paredes. A rugosidade relativa é a razão entre a rugosidade absoluta e uma medida da largura do duto; em dutos circulares, por exemplo, é a razão ${\frac {e}{D}}$, onde D é o diâmetro do duto.

A rugosidade em geral não influi quando o escoamento é laminar, pois a espessura da camada limite nesse caso é maior que as irregularidades das paredes. À medida que a velocidade do escoamento aumenta, o Número de Reynolds também cresce, o perfil de velocidade vai se tornando cada vez mais plano, a camada limite diminui e o efeito da rugosidade vai se tornando cada vez mais dominante.

Ao longo do tempo, a rugosidade de um duto aumenta, devido a efeitos como sedimentação e corrosão, em fatores que variam entre 5 e 10 vezes.

Expressão teórica da perda de carga

A perda de carga em um escoamento deve-se à transformação de parte da energia cinética do fluido em calor, devido à fricção entre as partículas. O calor gerado aumenta a energia interna do fluido, o que se reflete na elevação da temperatura; parte desse calor eventualmente atravessa as paredes do sistema e se perde.

A primeira lei da termodinâmica nos informa que

${\frac {dQ}{dt}}\;-\;{\frac {dW}{dt}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}e\rho _{0}\;dV\;+\;\int _{S}\left(u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}}\;+\;gh\;+\;{\frac {p}{\rho _{0}}}\right)\rho _{0}v\;dS$

Como W = 0 e a quantidade de energia dentro do volume de controle não varia no tempo, se tomarmos um intervalo curto, teremos

${\frac {dQ}{dt}}\;=\;\int _{S}u\rho _{0}v\;dS\;+\;{\frac {1}{2}}\int _{S}\rho _{0}v^{3}\;dS\;+\;\int _{S}gh\rho _{0}v\;dS\;+\;\int _{S}pv\;dS\;=\;u\rho _{0}vS\;+\;{\frac {1}{2}}\int _{S}\rho _{0}v^{3}\;dS\;+\;gh\rho _{0}vS\;+\;pvS$

${\frac {dQ}{dt}}\;=\;u\rho _{0}\Phi \;+\;{\frac {1}{2}}\int _{S}\rho _{0}v^{3}\;dS\;+\;gh\rho _{0}\Phi \;+\;p\Phi$

uma vez que a energia interna u e a pressão p podem ser consideradas constantes ao longo da seção vertical do duto. Introduzindo o chamado coeficiente de energia cinética

$\alpha \;=\;{\frac {1}{\rho _{0}\Phi {\bar {v}}^{2}}}\int _{S}\rho _{0}v^{3}\;dS\;\;\;\Rightarrow \int _{S}\rho _{0}v^{3}\;dS\;=\;\alpha \rho _{0}\Phi {\bar {v}}^{2}$

podemos escrever

${\frac {dQ}{dt}}\;=\;u\rho _{0}\Phi \;+\;{\frac {1}{2}}\alpha \rho _{0}\Phi {\bar {v}}^{2}\;+\;gh\rho _{0}\Phi \;+\;p\Phi \;=\;\Phi _{m}\left(u\;+\;{\frac {1}{2}}\;\alpha {\bar {v}}^{2}\;+\;gh\;+\;{\frac {p}{\rho _{0}}}\right)$

O coeficiente de energia cinética, que é adimensional, pode ser considerado como um fator de correção introduzido na fórmula devido ao fato de a velocidade do fluido não ser constante ao longo da seção do duto; se essa velocidade fosse constante, α seria igual a 1.

Assim, tomando dois pontos 1 e 2 no escoamento,

$\Delta \left({\frac {dQ}{dt}}\right)\;=\;\left.{\frac {dQ}{dt}}\right|_{2}\;-\;\left.{\frac {dQ}{dt}}\right|_{1}\;=\;\Phi _{m}\left(u_{2}\;+\;{\frac {1}{2}}\;\alpha _{2}{\bar {v}}_{2}^{2}\;+\;gh_{2}\;+\;{\frac {p_{2}}{\rho _{0}}}\;-\;u_{1}\;-\;{\frac {1}{2}}\;\alpha _{1}{\bar {v}}_{1}^{2}\;+\;gh_{1}\;+\;{\frac {p_{1}}{\rho _{0}}}\right)$

${\frac {\Delta \left({\frac {dQ}{dt}}\right)}{\Phi _{m}}}\;=\;(u_{2}\;-\;u_{1})\;+\;{\frac {1}{2}}\;(\alpha _{2}{\bar {v}}_{2}^{2}\;-\;\alpha _{1}{\bar {v}}_{1}^{2})\;+\;g(h_{2}\;-\;h_{1})\;+\;{\frac {p_{2}\;-\;p_{1}}{\rho _{0}}}$

A parcela u₂ - u₁ corresponde ao aumento da energia interna do fluido: energia cinética transformada em calor, devido à fricção. A parcela referente à perda de calor é

${\frac {1}{2}}\;(\alpha _{2}{\bar {v}}_{2}^{2}\;-\;\alpha _{1}{\bar {v}}_{1}^{2})\;+\;g(h_{2}\;-\;h_{1})\;+\;{\frac {p_{2}\;-\;p_{1}}{\rho _{0}}}$

O termo

${\frac {\Delta \left({\frac {dQ}{dt}}\right)}{\Phi _{m}}}\;=\;{\frac {\Delta \left({\frac {dQ}{dt}}\right)}{\rho _{0}vS}}\;=\;{\frac {\Delta Q}{\rho _{0}V}}\;=\;{\frac {\Delta Q}{m}}\;=\;\Delta H$

é a perda de calor por unidade de massa do volume de controle. A equação tem a dimensão [L²t^-2], o mesmo que energia por unidade de massa. Essa grandeza é algumas vezes chamada também de perda de carga, mas o mais comum é dividir tudo por g de forma a obter-se a perda de carga em dimensão linear.

$\Delta h\;=\;{\frac {1}{2}}\;\left({\frac {\alpha _{2}{\bar {v}}_{2}^{2}\;-\;\alpha _{1}{\bar {v}}_{1}^{2}}{g}}\;+\;(h_{2}\;-\;h_{1})\;+\;{\frac {p_{2}\;-\;p_{1}}{\rho _{0}g}}\right)$

O coeficiente de energia cinética tem valor 2 para escoamento laminar; para escoamento turbulento, de acordo com a lei da potência, seu valor é dado por

${\frac {2n^{2}}{(2n\;+\;3)(n\;+\;3)}}$

Para valores suficientemente elevados do número de Reynolds, a aproximação α = 1 é bastante razoável.

Exercícios resolvidos

• E15
• E16