Mecânica dos fluidos/Fluxo na camada limite

Fluxo na camada limite

Como já vimos, a solução analítica das equações de Navier-Stokes é impossível para a maioria dos casos de interesse prático. Prandtl sugeriu que esses problemas fossem resolvidos considerando-se os efeitos da viscosidade apenas para as regiões próximas a uma superfície sólida e desprezando-os nas demais. Essa abordagem simplifica as equações e possibilita a solução de um maior número de problemas. As regiões próximas às superfícies de contato recebem o nome de camada limite, e as demais, de região de fluxo livre.

O escoamento na camada limite pode ser laminar ou turbulento. O Número de Reynolds é importante na caracterização do regime, da mesma forma que nos casos de escoamento em tubulações; no entanto, no caso da camada limite, entram outros fatores complicadores: perfil de pressão no fluido e rugosidade da superfície, por exemplo. Além disso, como se trata de regiões em contato com superfícies sólidas, em geral o efeito de troca de calor com o ambiente torna-se relevante.

O perfil de velocidade na camada limite varia muito lentamente nos pontos mais afastados das superfícies de contato, o que torna difícil medir ou determinar teóricamente onde termina a camada e começa a região de fluxo livre. A espessura de distúrbio y_d é usualmente definida como aquela em que a velocidade de escoamento atinge 99% do valor da velocidade de escoamento na região de fluxo livre, para a mesma distância até o ponto de estagnação. Outras definições que podem ser úteis são a espessura de deslocamento e a espessura de momento. A espessura de deslocamento y_v é igual ao deslocamento que a superfície precisaria receber para que o fluxo de massa resultante fosse o mesmo, na hipótese de a viscosidade do fluido ser nula. A espessura de momento y_m é igual ao deslocamento que a superfície precisaria receber para que o fluxo de momento linear resultante fosse o mesmo, também na hipótese de a viscosidade do fluido ser nula.

Em geral, a camada limite é muito estreita em comparação com as demais dimensões do problema. Por isso é comum considerar a pressão p_b no seu interior como idêntica à pressão na região de fluxo livre à mesma distância do ponto de estagnação. Como a espessura da camada limite aumenta com a distância ao ponto de estagnação, a velocidade v_f também aumenta, devido à diminuição da seção de escoamento. Em vista disso, a pressão p_f cai, de acordo com a equação de Bernouilli.

Em geral, a linha imaginária que limita a camada limite não é uma linha de corrente. Partículas de fluido atravessam essa linha. Isso é requerido pelo princípio da continuidade e pela suposição de incompressibilidade do fluido, uma vez que a área da seção transversal da camada limite aumenta com a distância ao ponto de estagnação. Como a área da camada limite em x₁ + δx é maior que em x₁, entra fluido na camada limite à medida que nos afastamos do ponto de estagnação.

Camada limite em uma placa plana de largura infinita

Número de Reynolds

O caso mais simples de camada limite é aquele em que há uma única superfície de contato, e esta é uma placa plana de largura infinita. Nessa situação, a aplicação da equação de Euler para a região de fluxo livre resultará em uma velocidade constante v_x = v_f, e v_y = v_z = 0. A velocidade constante implica em uma pressão constante p_f na região. Por esse motivo, utiliza-se aqui a expressão fluxo com gradiente de pressão nulo.

O Número de Reynolds é calculado através da fórmula

$N_{Re}\;=\;{\frac {\rho _{0}v_{x}x}{\mu _{0}}}$

onde x a distância a partir do ponto de estagnação. Na ausência de troca de calor com o ambiente, a experiência mostra que um valor até 500000 indica que o escoamento é laminar, e só a partir de 1000000 torna-se plenamente turbulento. v_x é uma função tanto de x quanto de y, a distância à superfície; por conseguinte, o Número de Reynolds também o será. É por isso que, à medida que x e y crescem, o escoamento tende a tornar-se turbulento.

Largura da camada limite

A vazão mássica por uma seção transversal à superfície na região de fluxo livre é dada por

$\Phi _{m}\;=\;w\int _{0}^{\infty }\rho _{0}vdy\;=\;w\left(\int _{0}^{yd}\rho _{0}v_{x}dy\;+\;\int _{yd}^{\infty }\rho _{0}v_{f}dy\right)$

onde w é a largura da placa. Se, em lugar da espessura de distúrbio y_d usarmos a espessura de delocamento y_v, poderemos escrever

$\Phi _{m}\;=\;w\int _{yv}^{\infty }\rho _{0}v_{f}dy$

Assim,

$\int _{0}^{yd}v_{x}dy\;+\;\int _{yd}^{\infty }v_{f}dy\;=\;\int _{yv}^{\infty }v_{f}dy$

Para expressar y_v em função de y_d, podemos também igualar a perda de vazão mássica devida à camada limite à perda devida ao deslocamento da placa. Se o líquido não fosse viscoso, a velocidade na camada limite seria igual à velocidade na região de fluxo livre. Assim, a viscosidade provoca uma perda de vazão mássica

$\Delta \Phi _{m}\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}(v_{f}\;-\;v_{x})\;dy$

Se, por outro lado, considera-se o líquido como ideal e a placa é deslocada de y_v, ocorrerá uma perda de vazão mássica devida à diminuição da seção de escoamento, perda essa dada por

$\Delta \Phi _{m}\;=\;w\rho _{0}v_{f}y_{v}$

Assim,

$v_{f}y_{v}\;=\;\int _{0}^{yd}v_{f}\;-\;v_{x})\;dy\;\;\;\Rightarrow y_{v}\;=\;\int _{0}^{yd}\left(1\;-\;{\frac {v_{x}}{v_{f}}}\right)\;dy$

O mesmo pode ser feito com relação à espessura de momento, resultando em

$\int _{0}^{yd}v_{x}^{2}dy\;+\;\int _{yd}^{\infty }v_{f}^{2}dy\;=\;\int _{ym}^{\infty }v_{f}^{2}dy$

e

$y_{m}\;=\;\int _{0}^{yd}{\frac {v_{x}}{v_{f}}}\;\left(1\;-\;{\frac {v_{x}}{v_{f}}}\right)\;dy$

As espessuras y_v e y_m podem ser medidas mais facilmente que a espessura y_d, o que justifica a introdução dos conceitos. Por exemplo, pode-se medir a velocidade e a pressão no ponto de estagnação e em outro ponto x₁ e a partir daí calcular a relação entre as áreas efetivas da seção transversal nesses locais; como em x = 0 a espessura da camada limite é nula, encontra-se a espessura de deslocamento em x = x₁; a partir daí, podemos determinar o valor de y_d(x₁).

Princípio da continuidade

Como visto acima, a vazão mássica através da seção transversal da camada limite em um ponto x = x₁ é

$\Phi _{m}(x_{1})\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}\;v_{x}(x_{1})\;dy$

Em x = x₁ + δx, será

$\Phi _{m}(x_{1}\;+\;\delta x)\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}\;v_{x}(x_{1}\;+\;\delta x)\;dy$

$\Phi _{m}(x_{1}\;+\;\delta x)\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}\;\left(v_{x}(x_{1})\;+\;\delta v_{x})\right)\;dy\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}\left(v_{x}(x_{1})\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;\delta x\right)\;dy$

Assim, a vazão mássica através da linha imaginária que delimita a camada limite será

$\delta \Phi _{m}\;=\;\Phi _{m}(x_{1}\;+\;\delta x)\;-\;\Phi _{m}(x_{1})\;=\;w\rho _{0}\left[\int _{0}^{yd}\left(v_{x}(x_{1})\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;\delta x\right)dy\;-\;\int _{0}^{yd}\;v_{x}(x_{1})\;dy\right]$

$\delta \Phi _{m}\;=\;w\rho _{0}\int _{0}^{yd}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;\delta x\;dy$

Vazão de momento

Da mesma forma, podemos calcular a vazão de momento na camada limite

$\Phi _{v}\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}\;v_{x}^{2}(x_{1})\;dy$

$\Phi _{v}(x_{1}\;+\;\delta x)\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}\left(v_{x}(x_{1})\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;\delta x\right)^{2}\;dy\;=\;w\int _{0}^{yd}\rho _{0}\left(v_{x}^{2}(x_{1})\;+\;2\;v_{x}(x_{1})\cdot {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;\delta x\right)\;dy$

$\delta \Phi _{v}\;=\;2w\rho _{0}\int _{0}^{yd}v_{x}(x_{1})\cdot {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\cdot \delta x\;dy$

Exercícios resolvidos

• E19