Mecânica dos fluidos/Fluxo na camada limite

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Fluxo na camada limite[editar | editar código-fonte]

Como já vimos, a solução analítica das equações de Navier-Stokes é impossível para a maioria dos casos de interesse prático. Prandtl sugeriu que esses problemas fossem resolvidos considerando-se os efeitos da viscosidade apenas para as regiões próximas a uma superfície sólida e desprezando-os nas demais. Essa abordagem simplifica as equações e possibilita a solução de um maior número de problemas. As regiões próximas às superfícies de contato recebem o nome de camada limite, e as demais, de região de fluxo livre.

O escoamento na camada limite pode ser laminar ou turbulento. O Número de Reynolds é importante na caracterização do regime, da mesma forma que nos casos de escoamento em tubulações; no entanto, no caso da camada limite, entram outros fatores complicadores: perfil de pressão no fluido e rugosidade da superfície, por exemplo. Além disso, como se trata de regiões em contato com superfícies sólidas, em geral o efeito de troca de calor com o ambiente torna-se relevante.

O perfil de velocidade na camada limite varia muito lentamente nos pontos mais afastados das superfícies de contato, o que torna difícil medir ou determinar teóricamente onde termina a camada e começa a região de fluxo livre. A espessura de distúrbio y_d é usualmente definida como aquela em que a velocidade de escoamento atinge 99% do valor da velocidade de escoamento na região de fluxo livre, para a mesma distância até o ponto de estagnação. Outras definições que podem ser úteis são a espessura de deslocamento e a espessura de momento. A espessura de deslocamento yv é igual ao deslocamento que a superfície precisaria receber para que o fluxo de massa resultante fosse o mesmo, na hipótese de a viscosidade do fluido ser nula. A espessura de momento ym é igual ao deslocamento que a superfície precisaria receber para que o fluxo de momento linear resultante fosse o mesmo, também na hipótese de a viscosidade do fluido ser nula.

Em geral, a camada limite é muito estreita em comparação com as demais dimensões do problema. Por isso é comum considerar a pressão pb no seu interior como idêntica à pressão na região de fluxo livre à mesma distância do ponto de estagnação. Como a espessura da camada limite aumenta com a distância ao ponto de estagnação, a velocidade vf também aumenta, devido à diminuição da seção de escoamento. Em vista disso, a pressão pf cai, de acordo com a equação de Bernouilli.

Em geral, a linha imaginária que limita a camada limite não é uma linha de corrente. Partículas de fluido atravessam essa linha. Isso é requerido pelo princípio da continuidade e pela suposição de incompressibilidade do fluido, uma vez que a área da seção transversal da camada limite aumenta com a distância ao ponto de estagnação. Como a área da camada limite em x1 + δx é maior que em x1, entra fluido na camada limite à medida que nos afastamos do ponto de estagnação.


Camada limite em uma placa plana de largura infinita[editar | editar código-fonte]

Número de Reynolds[editar | editar código-fonte]

O caso mais simples de camada limite é aquele em que há uma única superfície de contato, e esta é uma placa plana de largura infinita. Nessa situação, a aplicação da equação de Euler para a região de fluxo livre resultará em uma velocidade constante vx = vf, e vy = vz = 0. A velocidade constante implica em uma pressão constante pf na região. Por esse motivo, utiliza-se aqui a expressão fluxo com gradiente de pressão nulo.

O Número de Reynolds é calculado através da fórmula



onde x a distância a partir do ponto de estagnação. Na ausência de troca de calor com o ambiente, a experiência mostra que um valor até 500000 indica que o escoamento é laminar, e só a partir de 1000000 torna-se plenamente turbulento. vx é uma função tanto de x quanto de y, a distância à superfície; por conseguinte, o Número de Reynolds também o será. É por isso que, à medida que x e y crescem, o escoamento tende a tornar-se turbulento.

Largura da camada limite[editar | editar código-fonte]

A vazão mássica por uma seção transversal à superfície na região de fluxo livre é dada por



onde w é a largura da placa. Se, em lugar da espessura de distúrbio yd usarmos a espessura de delocamento yv, poderemos escrever



Assim,



Para expressar yv em função de yd, podemos também igualar a perda de vazão mássica devida à camada limite à perda devida ao deslocamento da placa. Se o líquido não fosse viscoso, a velocidade na camada limite seria igual à velocidade na região de fluxo livre. Assim, a viscosidade provoca uma perda de vazão mássica



Se, por outro lado, considera-se o líquido como ideal e a placa é deslocada de yv, ocorrerá uma perda de vazão mássica devida à diminuição da seção de escoamento, perda essa dada por



Assim,



O mesmo pode ser feito com relação à espessura de momento, resultando em



e



As espessuras yv e ym podem ser medidas mais facilmente que a espessura yd, o que justifica a introdução dos conceitos. Por exemplo, pode-se medir a velocidade e a pressão no ponto de estagnação e em outro ponto x1 e a partir daí calcular a relação entre as áreas efetivas da seção transversal nesses locais; como em x = 0 a espessura da camada limite é nula, encontra-se a espessura de deslocamento em x = x1; a partir daí, podemos determinar o valor de yd(x1).

Princípio da continuidade[editar | editar código-fonte]

Como visto acima, a vazão mássica através da seção transversal da camada limite em um ponto x = x1 é



Em x = x1 + δx, será




Assim, a vazão mássica através da linha imaginária que delimita a camada limite será




Vazão de momento[editar | editar código-fonte]

Da mesma forma, podemos calcular a vazão de momento na camada limite




Forças de superfície[editar | editar código-fonte]

Exercícios resolvidos[editar | editar código-fonte]