Mecânica dos fluidos/Equações básicas para o líquido ideal

Um líquido ideal é um fluido incompressível e invíscido (ou seja, sua viscosidade é nula). Muitos líquidos de interesse têm um comportamento que pode ser razoavelmente aproximado pelo líquido ideal. As equações básicas apresentam uma forma muito simplificada quando comparadas às equações gerais.

Portanto, para um líquido ideal, teremos

$\rho \;=\;constante\qquad \mu \;=\;0$

Vamos aplicar essa simplificação às equações básicas em suas diversas formas (para sistemas, integral e diferencial) e obter as equações resultantes. É importante que, como estamos tratando de líquidos, adotaremos a convenção de fazer o eixo Z apontar para baixo, e não para cima. Dessa maneira, o eixo X aponta para a direita e o eixo Y aponta para o observador.

Equações básicas em forma diferencial

Equação de continuidade

A equação de continuidade em forma diferencial

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;+\;(\nabla \cdot (\rho {\vec {v}}))\;=\;0$

quando aplicada a um líquido ideal, simplifica-se para

$\nabla \cdot {\vec {v}}\;=\;0$

Equações de Euler

Conforme visto anteriormente, as equações de Navier-Stokes

$\left({\frac {\partial }{\partial x}}\left(-\;p\;-\;{\frac {2}{3}}\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;+\;2\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\right)\;+\;{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;\mu {\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\right)\;+\;{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;\mu {\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\right)\right)\;=\;$

$\;=\;\rho \left(v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\right)$

$\left({\frac {\partial }{\partial y}}\left(-\;p\;-\;{\frac {2}{3}}\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;+\;2\mu {\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\right)\;+\;{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;\mu {\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\right)\;+\;{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mu {\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;+\;\mu {\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\right)\right)\;=\;$

$\;=\;\rho \left(v_{x}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial t}}\right)$

$\left({\frac {\partial }{\partial z}}\left(-\;p\;-\;{\frac {2}{3}}\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;+\;2\mu {\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;+\;{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;\mu {\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\right)\;+\;{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;+\;\mu {\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\right)\right)\;+\;\rho g\;=\;$

$\;=\;\rho \left(v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}\right)$

derivadas do princípio de conservação do momento linear, descrevem a dinâmica de um volume diferencial de fluido, juntamente com a equação de continuidade, mas são extremamente difíceis de resolver. No caso de um líquido ideal, as equações acima se reduzem a

$-\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;=\;\rho \left(v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\right)$

$-\;{\frac {\partial p}{\partial y}}\;=\;\rho \left(v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\right)$

$-\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\rho g\;=\;\rho \left(v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\right)$

Que podem ser escritas também na forma mais concisa

$\rho {\vec {g}}-\nabla p\;=\;\rho {\frac {D{\vec {v}}}{Dt}}$

Essas equações são chamadas de equações de Euler.

Equações de Euler em coordenadas cilíndricas

As equações de Euler em coordenadas cilíndricas podem ser obtidas a partir da forma concisa, substituindo-se a definição da derivada direcional nesse sistema

$\rho {\vec {g}}\;-\;\nabla p\;=\;\rho {\frac {D{\vec {v}}}{Dt}}\;=\;\rho \left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\;+\;{\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}\right)$

$\rho g_{r}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial r}}\;=\;\rho \left({\frac {\partial v_{r}}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}\;+\;v_{z}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}\;-\;{\frac {v_{\theta }^{2}}{r}}\right)$

$\rho g_{\theta }\;-\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial p}{\partial \theta }}\;=\;\rho \left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;v_{z}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}\;+\;{\frac {v_{r}v_{\theta }}{r}}\right)$

$\rho g_{z}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;=\;\rho \left({\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial \theta }}\;+\;v_{z}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)$

Equações de Euler em coordenadas esféricas

As equações de Euler em coordenadas esféricas podem ser obtidas da mesma forma:

$\rho {\vec {g}}\;-\;\nabla p\;=\;\rho \left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\;+\;{\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}\right)$

$\rho g_{r}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial r}}\;=\;\rho \left({\frac {\partial v_{r}}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {v_{\phi }}{r\;\sin(\theta )}}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial \phi }}\;-\;{\frac {v_{\phi }^{2}+v_{\theta }^{2}}{r}}\right)$

$\rho g_{\theta }\;-\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial p}{\partial \theta }}\;=\;\rho \left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}\;+\;v_{r}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {v_{\phi }}{r\;\sin(\theta )}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \phi }}\;+\;{\frac {v_{r}v_{\theta }\;-\;v_{\phi }^{2}\cot(\theta )}{r}}\right)$

$\rho g_{\phi }\;-\;{\frac {1}{r\;\sin(\theta )}}\;{\frac {\partial p}{\partial \phi }}\;=\;\rho \left({\frac {\partial v_{\phi }}{\partial t}}\;+\;v_{r}{\frac {\partial v_{\phi }}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{\phi }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {v_{\phi }}{r\;\sin(\theta )}}\;{\frac {\partial v_{\phi }}{\partial \phi }}\;+\;{\frac {v_{r}v_{\phi }\;+\;v_{\phi }v_{\theta }\cot(\theta )}{r}}\right)$

Equações de Euler em coordenadas de linhas de corrente

As equações de Euler em coordenadas de linhas de corrente podem ser obtidas a partir da forma concisa tomando-se um elemento de volume infinitesimal δV e aplicando-se o princípio de conservação do momento linear na direção do fluxo, após considerar ρ constante e μ = 0. Seja o fluxo normal ao eixo Y e Θ, o ângulo que a linha de corrente faz com a horizontal nesse ponto. A pressão p_l- na face posterior do volume será

$p_{l-}\;=\;p\;-\;{\frac {\delta p_{l}}{2}}\;=\;p\;-\;{\frac {{\frac {\partial p}{\partial l}}\;\delta l}{2}}$

onde p é a pressão no centro do volume. A pressão na face anterior do volume, similarmente, será

$p_{l+}\;=\;p\;+\;{\frac {\delta p_{l}}{2}}\;=\;p\;+\;{\frac {{\frac {\partial p}{\partial l}}\;\delta l}{2}}$

e a diferença entre as pressões será, evidentemente

$\Delta p_{l}\;=\;p_{l+}\;-\;p_{l-}\;=\;{\frac {\partial p}{\partial l}}\;\delta l$

pressão esta cujo sentido é contrário ao fluxo. O peso do volume terá uma componente na direção do fluxo igual a δm · g · sen Θ, também no sentido contrário a ele. Assim, podemos escrever

$-\;\delta m\;g\;\sin \theta \;-\;{\frac {\partial p}{\partial l}}\;\delta l\;dA_{l}\;=\;\delta m\;a_{l}$

onde A_l é a área transversal ao fluxo e a_l é a aceleração do volume. Desenvolvendo, teremos

$-\;\rho \;dl\;dn\;dy\;g\;{\frac {\partial z}{\partial l}}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial l}}\;\delta l\;dn\;dy\;=\;\rho \;dl\;dn\;dy\;a_{l}\Rightarrow \;\;\;\rho a_{l}\;=\;-\;{\frac {\partial p}{\partial l}}\;-\;\rho g{\frac {\partial z}{\partial l}}$

Mas, sobre uma linha de corrente

$a_{l}\;=\;{\frac {Dv}{Dt}}\;=\;{\frac {\partial v}{\partial t}}\;+\;v{\frac {\partial v}{\partial l}}$

Assim

$\rho \left({\frac {\partial v}{\partial t}}\;+\;v{\frac {\partial v}{\partial l}}\right)\;=\;-\;{\frac {\partial p}{\partial l}}\;-\;\rho g{\frac {\partial z}{\partial l}}$

No caso de fluxo em regime permanente

$\rho v{\frac {\partial v}{\partial l}}\;=\;-\;{\frac {\partial p}{\partial l}}\;-\;\rho g{\frac {\partial z}{\partial l}}$

Procedendo de forma similar para a componente normal à linha de corrente

$\Delta p_{n}\;=\;p_{n+}\;-\;p_{n-}\;=\;{\frac {\partial p}{\partial n}}\;\delta n$

$-\;\delta m\;g\;\cos \theta \;-\;{\frac {\partial p}{\partial n}}\;\delta n\;dA_{n}\;=\;\delta m\;a_{n}$

Desenvolvendo, teremos

$-\;\rho \;dl\;dn\;dy\;g\;{\frac {\partial z}{\partial n}}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial n}}\;\delta n\;dl\;dy\;=\;\rho \;dl\;dn\;dy\;a_{n}\Rightarrow \;\;\;\rho a_{n}\;=\;-\;{\frac {\partial p}{\partial n}}\;-\;\rho g{\frac {\partial z}{\partial n}}$

Mas a aceleração na direção normal à linha de corrente é a aceleração centrípeta

$a_{n}\;=\;-\;{\frac {v^{2}}{r}}$

onde r é o raio de curvatura da linha de corrente no ponto considerado. O sinal negativo indica que o elemento de volume está sendo acelerado para dentro da curva. Assim

$\rho {\frac {v^{2}}{r}}\;=\;{\frac {\partial p}{\partial n}}\;+\;\rho g{\frac {\partial z}{\partial n}}$

Em regiões onde as linhas de corrente são linhas retas, r = ∞, o que implica em a_n = 0. Nessas regiões, não há variação de presssão entre as linhas de corrente, pois $\;{\frac {\partial p}{\partial n}}\;=\;0$.

Exercícios resolvidos

• D1
• D2