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Mecânica dos fluidos/Equações básicas para o líquido ideal

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Um líquido ideal é um fluido incompressível e invíscido (ou seja, sua viscosidade é nula). Muitos líquidos de interesse têm um comportamento que pode ser razoavelmente aproximado pelo líquido ideal. As equações básicas apresentam uma forma muito simplificada quando comparadas às equações gerais.

Portanto, para um líquido ideal, teremos



Vamos aplicar essa simplificação às equações básicas em suas diversas formas (para sistemas, integral e diferencial) e obter as equações resultantes. É importante que, como estamos tratando de líquidos, adotaremos a convenção de fazer o eixo Z apontar para baixo, e não para cima. Dessa maneira, o eixo X aponta para a direita e o eixo Y aponta para o observador.

Equações básicas em forma diferencial[editar | editar código-fonte]

Equação de continuidade[editar | editar código-fonte]

A equação de continuidade em forma diferencial



quando aplicada a um líquido ideal, simplifica-se para



Equações de Euler[editar | editar código-fonte]

Conforme visto anteriormente, as equações de Navier-Stokes








derivadas do princípio de conservação do momento linear, descrevem a dinâmica de um volume diferencial de fluido, juntamente com a equação de continuidade, mas são extremamente difíceis de resolver. No caso de um líquido ideal, as equações acima se reduzem a





Que podem ser escritas também na forma mais concisa



Essas equações são chamadas de equações de Euler.

Equações de Euler em coordenadas cilíndricas[editar | editar código-fonte]

As equações de Euler em coordenadas cilíndricas podem ser obtidas a partir da forma concisa, substituindo-se a definição da derivada direcional nesse sistema






Equações de Euler em coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]

As equações de Euler em coordenadas esféricas podem ser obtidas da mesma forma:






Equações de Euler em coordenadas de linhas de corrente[editar | editar código-fonte]

As equações de Euler em coordenadas de linhas de corrente podem ser obtidas a partir da forma concisa tomando-se um elemento de volume infinitesimal δV e aplicando-se o princípio de conservação do momento linear na direção do fluxo, após considerar ρ constante e μ = 0. Seja o fluxo normal ao eixo Y e Θ, o ângulo que a linha de corrente faz com a horizontal nesse ponto. A pressão pl- na face posterior do volume será



onde p é a pressão no centro do volume. A pressão na face anterior do volume, similarmente, será



e a diferença entre as pressões será, evidentemente



pressão esta cujo sentido é contrário ao fluxo. O peso do volume terá uma componente na direção do fluxo igual a δm · g · sen Θ, também no sentido contrário a ele. Assim, podemos escrever



onde Al é a área transversal ao fluxo e al é a aceleração do volume. Desenvolvendo, teremos



Mas, sobre uma linha de corrente



Assim



No caso de fluxo em regime permanente



Procedendo de forma similar para a componente normal à linha de corrente




Desenvolvendo, teremos



Mas a aceleração na direção normal à linha de corrente é a aceleração centrípeta



onde r é o raio de curvatura da linha de corrente no ponto considerado. O sinal negativo indica que o elemento de volume está sendo acelerado para dentro da curva. Assim



Em regiões onde as linhas de corrente são linhas retas, r = ∞, o que implica em an = 0. Nessas regiões, não há variação de presssão entre as linhas de corrente, pois .

Exercícios resolvidos[editar | editar código-fonte]