Mecânica dos fluidos/Fluxo laminar do líquido ideal

Quando o fluido pode ser aproximado pelo modelo do líquido ideal, o fluxo é sempre laminar e as equações de Euler podem ser usadas no lugar das equações de Navier-Stokes. Nessas condições, uma solução analítica pode ser encontrada para diversos problemas.

Fluxo em um tubo curvo

Consideremos um duto curvo, de seção retangular h₀ x w₀ e raio interno de curvatura r₀, em posição horizontal. Se h₀ for suficientemente pequeno, a velocidade v pode ser considerada constante ao longo da seção transversal do duto. O uso da equação de Euler relativa à componente normal à linha de corrente resulta em

$\rho {\frac {v^{2}}{r}}\;=\;{\frac {\partial p}{\partial n}}\;+\;\rho g{\frac {\partial z}{\partial n}}\Rightarrow \;\;\;\rho {\frac {v^{2}}{r}}\;=\;{\frac {\partial p}{\partial n}}\;=\;{\frac {dp}{dr}}$

Integrando,

$dp\;=\;{\frac {\rho v^{2}dr}{r}}\Rightarrow \;\;\;\int _{p1}^{p2}dp\;=\;\int _{r0}^{r0\;+\;h0}{\frac {\rho v^{2}dr}{r}}\Rightarrow \;\;\;p_{2}\;-\;p_{1}\;=\;\rho v^{2}\;\ln \left({\frac {r_{0}\;+\;h_{0}}{r_{0}}}\right)$

$v\;=\;{\sqrt {\frac {p_{2}\;-\;p_{1}}{\rho \ln \left({\frac {r_{0}\;+\;h_{0}}{r_{0}}}\right)}}}$

A equação acima relaciona a velocidade do fluxo com a diferença de pressão nas paredes interna e externa à curva. Essas pressões podem ser medidas, proporcionando uma medida da velocidade do fluxo no duto.

Fluxo sob uma comporta

Consideremos uma comporta de seção retangular de altura h₀ na parte inferior de uma parede vertical, com água até a altura h_w. A equação de Bernoulii nos dá

${\frac {v_{i}^{2}}{2}}\;+\;{\frac {p_{i}}{\rho }}\;+\;gz_{i}\;=\;{\frac {v_{f}^{2}}{2}}\;+\;{\frac {p_{f}}{\rho }}\;+\;gz_{f}$

Se escolhermos a linha de corrente que fica na superfície da água, teremos, trabalhando com pressões manométricas,

${\frac {v_{i}^{2}}{2}}\;+\;{\frac {0}{\rho }}\;+\;gh_{w}\;=\;{\frac {v_{f}^{2}}{2}}\;+\;{\frac {0}{\rho }}\;+\;gh_{0}\Rightarrow \;\;\;v_{f}\;=\;{\sqrt {2g(h_{w}\;-\;h_{0})\;+\;v_{i}^{2}}}$

Se escolhermos a linha de corrente que fica no fundo da água, teremos

${\frac {v_{i}^{2}}{2}}\;+\;{\frac {\rho gh_{w}}{\rho }}\;+\;0\;=\;{\frac {v_{f}^{2}}{2}}\;+\;{\frac {\rho gh_{0}}{\rho }}\;+\;0\Rightarrow \;\;\;v_{f}\;=\;{\sqrt {2g(h_{w}\;-\;h_{0})\;+\;v_{i}^{2}}}$

Ou seja, o resultado independe de qual linha de corrente for escolhida.

Fluxo ao redor de uma asa de avião

A equação de Bernoulli é válida para fluidos incompressíveis e com viscosidade nula. O caso do fluxo de ar ao redor da asa de um avião pode ser analisado através dessas equações, contanto que a velocidade não seja muito elevada (tipicamente abaixo de mach = 0.3). Neste caso, o ar pode ser considerado incompressível. O referencial mais conveniente a usar não é a terra, e sim o corpo do avião; se a velocidade for constante, esse referencial é inercial. Para um observador no solo, o fluxo não poderia ser considerado como de regime permanente.

A uma altitude de 1000 m, a temperatura é de cerca de 280 K, e a velocidade do som, 336 m/s. O avião poderia então mover-se, em relação ao ar, a uma velocidade de até 0.3 · 336 m/s = 112 m/s, e a equação de Bernoulli continuaria sendo válida. Tomando como referência uma linha de corrente que ataque frontalmente a asa no ponto A e passe por cima dela, teremos

${\frac {v_{ar}^{2}}{2}}\;+\;{\frac {p{ar}}{\rho }}\;+\;gz_{A}\;=\;{\frac {v_{A}^{2}}{2}}\;+\;{\frac {p_{A}}{\rho }}\;+\;gz_{A}\;=\;{\frac {v_{B}^{2}}{2}}\;+\;{\frac {p_{B}}{\rho }}\;+\;gz_{B}$

onde B é um ponto qualquer na superfície superior da asa. Obviamente, v_ar é a velocidade do avião com relação ao ar. Como v_A = 0, a pressão p_A será a pressão de estagnação.

$p_{A}\;=\;p{ar}\;+\;{\frac {\rho v_{ar}^{2}}{2}}$

A pressão estática no ponto B será dada por

$p_{B}\;=\;p{ar}\;+\;{\frac {\rho (v_{ar}^{2}\;-\;v_{B}^{2})}{2}}$

Similarmente, se escolhermos uma linha de corrente que passe por baixo da asa, teremos, num ponto C localizado na superfície inferior

$p_{C}\;=\;p{ar}\;+\;{\frac {\rho (v_{ar}^{2}\;-\;v_{C}^{2})}{2}}$

E a diferença de pressões que atua verticalmente sobre a asa será

$\Delta p\;=\;p_{C}\;-\;p_{B}\;=\;{\frac {\rho (v_{B}^{2}\;-\;v_{C}^{2})}{2}}$

A asa deve ser desenhada de forma que v_C < v_B de forma a termos p_C > p_B. Assim, a asa sofrerá a ação de uma força ascendente. O desenho mostra que a velocidade do fluxo na parte superior da asa é mais alta, uma vez que as linhas de corrente são mais próximas.