Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/D2

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Enunciado[editar | editar código-fonte]

Um espaço amplo encontra-se cheio de líquido ideal. Repentinamente, estoura uma bolha esférica de raio a. Calcular o tempo para que o líquido preencha o buraco formado. Desprezar a ação da gravidade.

Solução[editar | editar código-fonte]

Devido à simetria do problema, uma vez que a gravidade será desprezada, podemos considerar que só existirá movimento na direção radial. Assim



A equação de Euler ficará então




Tanto p quanto vr são funções de r e t. Não podemos usar a equação de continuidade na forma canônica, pois o escoamento não está em regime permanente. Mas podemos afirmar que a conservação de massa exige que a vazão Φ de fluido fora do buraco seja independente de r, quer dizer, seja função apenas de t. Para integrar a equação de Euler e eliminar r, podemos escrever




Manipulando a equação de Euler:



Separando as variáveis e integrando sobre todo o espaço ocupado pelo fluido, temos




onde R é o raio do buraco, que também é uma função de t. Temos agora uma equação diferencial que só depende do tempo. Mas



Assim,





Para integrar novamente e eliminar t,






Assim




Introduzindo a variável u = v2(R,t) e integrando, temos










Podemos agora encontrar o tempo decorrido através de uma integração



onde o sinal negativo vem do fato de estarmos esperando que a velocidade do fluido esteja no sentido da diminuição do raio. Assim,



Manipulando a integral






Examinando a forma da função Beta de Binet

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Função Beta
Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
John William Strutt



reconhecemos que as integrais coincidem, se fizermos α = e β = . Assim,



Neste site pode-se obter o valor de 2,24 para a função Beta com esses argumentos. Assim, pode-se escrever



Esse problema foi resolvido em 1917, por John William Strutt (Lord Rayleigh). Ele ilustra a complexidade dos problemas que envolvem fluxo em regime transitório.